高考数学一轮复习第七章立体几何第一节空间几何体的结构三视图和直观图课时规范练含解析文北师大版

第七章　立体几何

第一节　空间几何体的结构、三视图和直观图

课时规范练

A组——基础对点练

1．(2020·青岛模拟)以下命题：

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为(　　)

A．0　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

解析：由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．

答案：B

2．如图(1)所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图(2)所示，则可以作为其主视图的是(　　)

解析：根据该几何体的直观图和俯视图知，其主视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B，D；而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A.

答案：C

3．一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是(　　)

A．2  B．4

C.  D．都不对

解析：根据斜二测画法的规则，正三角形的底边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的2倍，而正三角形的高是，故原三角形的高为2，于是其面积为×2×2＝2.

答案：A

4.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A、E、C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的主视图是(　　)

解析：取DD1的中点F，连接AF，C1F.平面AFC1E为截面．如图：

则上半部分的主视图如A选项，故选A.

答案：A

5．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为(　　)

A．三棱台  B．三棱柱

C．四棱柱  D．四棱锥

解析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示，这是一个三棱柱．

答案：B

6.如图所示，右面的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是(　　)

A．①②  B．②③

C．③④  D．①⑤

解析：圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥在截面上为双曲线的一支，此时⑤符合条件，故截面图形可能是①⑤.故选D.

答案：D

7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和左视图完全相同时，它的俯视图可能是(　　)

解析：根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当主视图和左视图完全相同时，俯视图为B，故选B.

答案：B

8．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其左视图如图所示，那么此三棱柱主视图的面积为________．

解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得主视图是一个矩形，其中一边的长是左视图中三角形的高，另一边是棱长．∵左视图中三角形的边长为2，∴高为，∴主视图的面积为2.

答案：2

9．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为

12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.

解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.

在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．

∴AB＝＝13(cm)．

答案：13

10.如图所示，三棱锥V­ABC的底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，侧面VAC与底面ABC垂直，若以垂直于平面VAC的方向作为主视图的方向，垂直于平面ABC的方向为俯视图的方向，已知其主视图的面积为2，则其左视图的面积是________．

解析：设三棱锥的高为h，边AB＝BC＝a，则AC＝2a，S主视图＝×2a×h＝2⇒h＝，则S左视图＝ah＝×＝.

答案：

B组——素养提升练

11．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)

A．3  B．2

C．2  D．2

解析：由三视图还原为如图所示的四棱锥A­BCC1B1，从图中易得最长的棱长为AC1＝＝＝2，故选B.

答案：B

12．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P­BCD的主视图与左视图的面积之比为(　　)

A．1∶1      B．2∶1

C．2∶3      D．3∶2

解析：由题意知三棱锥P­BCD的主视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长，高为正四棱柱的高；左视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长，高为正四棱柱的高，故两视图面积之比为1∶1.故选A.

答案：A

13．某四面体的三视图如图所示，在该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是(　　)

A．2  B．4

C．2＋  D．4＋2

解析：由三视图可得原几何体如图所示，由三视图知该几何体的高PO＝2，底面ABC是腰长为2的等腰直角三角形，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，则BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴直角三角形有△PBC和△ACB，易求得PC＝＝.又BC＝2，∴S△PBC＝×2×＝.又S△ABC＝×2×2＝2，∴该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为2＋，故选C.

答案：C

14．(2020·惠州调研)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于________．

解析：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r＝×(6＋8－10)＝2.

答案：2

15．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．

解析：先求面数，有如下两种方法．

法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．

法二：一般地，对于凸多面体，

顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2(欧拉公式)．

由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，

故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.

再求棱长．

作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝x.

又AM＋MN＋NF＝1，即x＋x＋x＝1.

解得x＝－1，即半正多面体的棱长为－1.

答案：26　－1

16．关于空间中任意放置的棱长为2的正四面体ABCD，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的序号)

①正四面体ABCD的主视图面积可能是；

②正四面体ABCD的主视图面积可能是；

③正四面体ABCD的主视图面积可能是；

④正四面体ABCD的主视图面积可能是2；

⑤正四面体ABCD的主视图面积可能是4.

解析：对于正四面体ABCD，如图①：

当主视方向垂直于底面BCD时，主视图为△BCD，其面积为×2×＝，③正确；当主视方向平行于底面BCD，垂直于BD方向时，主视图是以BD为底，正四面体的高AO为高的三角形，则其面积为×2×＝，②正确；当主视方向平行于底面BCD，沿CD方向时，主视图为图①中△ABE，则其面积为×2×× ＝，①正确；将正四面体放入正方体中，如图②，主视方向垂直于正方体正对我们的面时，主视图是正方形，其面积为×＝2，并且此时主视图面积最大，故④正确，⑤不正确．

答案：①②③④