高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第五节直接证明与间接证明课时规范练含解析文北师大版

第六章　不等式、推理与证明

第五节　直接证明与间接证明

课时规范练

A组——基础对点练

1．在△ABC中，sin Asin C＜cos Acos C，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形　　　　　 B．直角三角形

C．钝角三角形  D．不确定

解析：由sin Asin C＜cos Acos C，得cos Acos C－sin Asin C＞0，

即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是锐角，

从而B＞，故△ABC必是钝角三角形．

答案：C

2．分析法又称执果索因法，已知x＞0，用分析法证明＜1＋时，索的因是(　　)

A．x2＞2  B．x2＞4

C．x2＞0  D．x2＞1

解析：因为x＞0，所以要证＜1＋，

只需证()2＜(1＋)2，

即证0＜，即证x2＞0，

因为x＞0，所以x2＞0成立，故原不等式成立．

答案：C

3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是(　　)

A．a－b＞0  B．a－c＞0

C．(a－b)(a－c)＞0  D．(a－b)(a－c)＜0

解析：由题意知＜a⇐b2－ac＜3a2⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0

⇐－2a2＋ac＋c2＜0⇐2a2－ac－c2＞0

⇐(a－c)(2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.

选C.

答案：C

4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)

A．恒为负值  B．恒等于零

C．恒为正值  D．无法确定正负

解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，

由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，

则f(x1)＋f(x2)＜0.

答案：A

5．已知a＞b＞0，证明－＜可选择的方法，以下最合理的是(　　)

A．综合法  B．分析法

C．类比法  D．归纳法

解析：首先，排除C，D.然后，比较综合法、分析法．

我们选择分析法，欲证－＜，只需证＜＋，即证a＜b＋(a－b)＋2，只需证0＜2.选B.

答案：B

6．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是(　　)

A．①与②的假设都错误

B．①与②的假设都正确

C．①的假设正确；②的假设错误

D．①的假设错误；②的假设正确

解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．

答案：D

7．(2020·山东青岛模拟)设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)

A．都大于2

B．都小于2

C．至少有一个不大于2

D．至少有一个不小于2

解析：因为a＞0，b＞0，c＞0，

所以＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.选D.

答案：D

8．用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________．

答案：a，b都不能被5整除

9．如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是________．

解析：因为a＋b－(a＋b)

＝(a－b)＋(b－a)

＝(－)(a－b)

＝(－)2(＋)．

所以当a≥0，b≥0且a≠b时，

(－)2(＋)＞0.

所以a＋b＞a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.

答案：a≥0，b≥0且a≠b

B组——素养提升练

10．(2020·太原模拟)用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．

解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．

答案：x≠－1且x≠1

11．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是________．

解析：(补集法)

令

解得p≤－3或p≥，

故满足条件的p的取值范围为(－3，)．

答案：(－3，)

12．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.

求证：＋＝.

证明：要证＋＝，

即证＋＝3也就是＋＝1，

只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，

需证c2＋a2＝ac＋b2，

又△ABC三个内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，

由余弦定理，得

b2＝c2＋a2－2ac cos 60°，

即b2＝c2＋a2－ac，

故c2＋a2＝ac＋b2成立．

于是原等式成立．

13．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：(－1)(－1)(－1)＞8.

证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，

所以－1＝＝＞，①

－1＝＝＞，②

－1＝＝＞，③

又x，y，z为正数，由①×②×③，

得(－1)(－1)(－1)＞8.

14．已知a＞0，求证 － ≥a＋－2.

证明：要证 －≥a＋－2，

只需要证 ＋2≥a＋＋.

∵a＞0，

故只需要证2≥2，

即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，

从而只需要证2≥，

只需要证4≥2，

即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，

故原不等式成立．