高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第四节合情推理与演绎推理课时规范练含解析文北师大版

第六章　不等式、推理与证明

第四节　合情推理与演绎推理

课时规范练

A组——基础对点练

1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．

答案：A

2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(　　)

A．f(x)　　　　　　　 B．－f(x)

C．g(x)  D．－g(x)

解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．

∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．

∴g(－x)＝－g(x)．

答案：D

3．(2020·丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第70个“整数对”为(　　)

A．(3，9)  B．(4，8)

C．(3，10)  D．(4，9)

解析：因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1，12)，第68个“整数对”是(2，11)，第69个“整数对”是(3，10)，第70个“整数对”是(4，9)．故选D.

答案：D

4．下列结论正确的个数为(　　)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．

(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．

(4)平面内，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：(1)不正确．(2)(3)(4)正确．

答案：D

5．如图所示的数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15，2)表示为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：由已知中归纳可得第n行的第一个数和最后一个数均为，其他数字等于上一行该数字“肩膀”上两个数字的和，

故A(15，2)

＝＋＋＋＋…＋

＝＋2×

＝.

故选C.

答案：C

6．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2＝0⇒z1＝z2”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b ＝c＋d ⇒a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2>0⇒z1>z2.”

其中类比得到的结论正确的个数是(　　)

A．0　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

解析：由复数的减法运算可知①正确；因为a，b，c，d都是有理数，是无理数，所以②正确；因为复数不能比较大小，所以③不正确．

答案：C

7．若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为(　　)

A.　　 B．q2　　　

C.　　　 D.

解析：由题设得，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq.

所以＝b1q，所以等比数列{}的公比为 .

答案：C

8．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N＋)，观察下列运算：

a1·a2＝log23·log34＝·＝2；

a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝··…·＝3；….

若a1·a2·a3·…·ak(k∈N＋)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·…·ak＝2 016时，“企盼数”k为(　　)

A．22 016＋2  B．22 016

C．22 016－2  D．22 016－4

解析：a1·a2·a3·…·ak＝＝2 016，lg(k＋2)＝lg 22 016，故k＝22 016－2.

答案：C

9．观察如图，可推断出“x”处应该填的数字是________．

解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.

答案：183

10．观察下列等式：

1－＝，

1－＋－＝＋，

1－＋－＋－＝＋＋，

…

据此规律，第n个等式可为________．

解析：等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.

答案：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋

B组——素养提升练

11．(2020·南阳模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．

甲说：我在1日和3日都有值班；

乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．

据此可判断丙必定值班的日期是(　　)

A．2日和5日  B．5日和6日

C．6日和11日  D．2日和11日

解析：1～12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10日和12日；而乙在8日和9日都有值班，8＋9＝17，所以11日只能是丙去值班了，余下还有2日、4日、5日、6日、7日五天，显然，6日只能是丙去值班了．

答案：C

12．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为11，9，7，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai，j，比如a3，2＝9，a4，2＝15，a5，4＝23，若ai，j＝2 017，则i＋j＝(　　)

A．64  B．65

C．71  D．72

解析：奇数数列an＝2n－1＝2 017⇒n＝1 009，按照蛇形排列，第1行到第i行末共有1＋2＋…＋i＝个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1 035个奇数；则2 017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2 017位于第45行，从右到左第19列，则i＝45，j＝27⇒i＋j＝72.

答案：D

13．(2020·合肥模拟)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}(i＝0，1，2)，信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是(　　)

A．11010  B．01100

C．10111  D．00011

解析：对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.

答案：C

14．(2020·福州模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，d∈N＋)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.141 59…，若令＜π＜，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：由题意：第一次用“调日法”后得 是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第二次用“调日法”后得是π的更为精确的不足近似值，即＜π＜，第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得＝是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜.

答案：A

15．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N＋)，其中λ＞0，{an}的通项公式是________．

解析：a1＝2，a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22，

a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23，

a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.

由此猜想出数列{an}的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n.

答案：an＝(n－1)λn＋2n

16．(2020·合肥模拟)已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上的不同两点，则类似地有________成立．

解析：运用类比思想与数形结合思想，可知y＝sin x(x∈(0，π))的图像是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y＝sin x(x∈(0，π))图像上的点 的纵坐标，即＜sin 成立．

答案：＜sin