高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第十节导数的概念及运算定积分与微积分基本定理课时规范练含解析文北师大版

第二章　函数、导数及其应用

第十节　变化率与导数、导数的运算

课时规范练

A组——基础对点练

1．(2020·衡阳模拟)曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a＝(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．－1

C．7  D．－7

解析：f′(x)＝＝，

又∵f′(1)＝tan＝－1，∴a＝7.

答案：C

2．(2020·福州质检)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)

A．－1  B．0

C．2  D．4

解析：依题意得f(3)＝k×3＋2＝1，k＝－，则f′(3)＝k＝－，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0，故选B.

答案：B

3．(2020·成都模拟)直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　)

A．2       B．ln 2＋1

C．ln 2－1      D．ln 2

解析：∵y＝ln x的导数为y′＝，∴＝，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.

答案：C

4．(2020·宁夏中卫质检)函数y＝f(x)的图像在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　)

A．1         B．2

C．3         D．4

解析：由条件知f′(5)＝－1，又点P在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3，

∴f(5)＋f′(5)＝2.

答案：B

5．(2020·赣州二模)设曲线y＝ln x在x＝2处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a的值为(　　)

A．2  B．－2

C.  D．－

解析：由f(x)＝y＝ln x知f′(x)＝，所以f′(2)＝，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，即×(－a)＝－1，所以a＝2.故选A.

答案：A

6．(2020·吉林模拟)已知函数f(x)＝(x2＋x－1)ex，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)

A．y＝3ex－2e  B．y＝3ex－4e

C．y＝4ex－5e  D．y＝4ex－3e

解析：f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x－1)ex＝(x2＋3x)ex，因此f(1)＝e，f′(1)＝4e.

所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.

故选D.

答案：D

7．若函数y＝f(x)上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)

A．y＝ln x  B．y＝sin x

C．y＝ex  D．y＝x3

解析：由题意知，选项A，C，D中函数均为定义域上的增函数，在任意点处切线斜率总为正数，不存在切线互相垂直，选项B中，y′＝cos x，x＝0与x＝π时，切线斜率分别为1，－1，切线垂直，具有T性质，故选B.

答案：B

8．已知曲线f(x)＝ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为(　　)

A．e  B．－e

C.  D．－

解析：法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝.设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率k＝f′(x0)＝＝，∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝＝.

法二：(数形结合法)在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x及曲线f(x)＝ln x经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C.

答案：C

9．(2020·哈尔滨师大附中模拟)已知函数f(x)为偶函数，当x＞0时，f(x)＝xln x－x，则曲线y＝f(x)在点(－e，f(－e))处的切线方程为________．

解析：由题设可得，当x＞0时，f′(x)＝1＋ln x－1＝ln x，所以由偶函数的对称性可知曲线在点(－e，f(－e))处的切线的斜率k＝－ln e＝－1，切线方程为y－0＝－(x＋e)，即y＝－x－e.

答案：y＝－x－e.

10．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1,0)的切线方程为________．

解析：由y＝2ln  x得y′＝.

因为k＝y′|x＝1＝2，点(1,0)为切点，

所以切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.

答案：2x－y－2＝0

B组——素养提升练

11．若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝(　　)

A．－1  B．0

C．1  D．2

解析：依题意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，b＝0，m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.

答案：C

12．(2020·四川名校联考)已知函数f(x)的图像如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)

A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)

B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)

C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)

D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)

解析：由函数f(x)的图像可得函数f(x)的导函数f′(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，f(x)在[2，3]上的平均变化率小于函数f(x)在点(2，f(2))处的瞬时变化率，大于f(x)在点(3，f(3))处的瞬时变化率，所以0＜f′(3)＜＜f′(2)，即0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)．

答案：C

13．(2020·江西新余质检)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)

A．－1  B．－3

C．－4  D．－2

解析：∵f′(x)＝，

∵直线l的斜率k＝f′(1)＝1.

又f(1)＝0，∴直线l的方程为y＝x－1.

g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)图像的切点为(x0，y0)，则

∴－m＝(1－m)2＋m(1－m)＋，得m＝－2，故选D.

答案：D

14．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：∵y＝，

∴y′＝＝＝.

∵ex＞0，∴ex＋≥2，

∴y′∈[－1，0)，∴tan α∈[－1，0)．

又α∈[0，π)，∴α∈，故选A.

答案：A

15．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．

解析：令x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，

又f(－x)＝f(x)，

∴f(x)＝ln x－3x(x＞0)，则f′(x)＝－3(x＞0)，

∴f′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，则y＝－2x－1.

答案：y＝－2x－1

16．(2020·潍坊模拟)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

解析：∵f(x)＝x2－ax＋ln x的定义域为(0，＋∞)，

∴f′(x)＝x－a＋.

∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，

即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)．

答案：[2，＋∞)