高考数学一轮复习第十一章选修4_4坐标系与参数方程课时作业理含解析北师大版

选修4-4 坐标系与参数方程

授课提示：对应学生用书第399页

[A组　基础保分练]

1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.

（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，P（－1，2），求|PA|·|PB|的值.

解析：（1）消去参数，得直线l的普通方程为x＋y－1＝0.

由ρcos2θ＝sin θ，得ρ2cos2θ＝ρsin θ，

则y＝x2，故曲线C的直角坐标方程为y＝x2.

（2）将代入y＝x2，得t2＋t－2＝0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－2，易知直线l过点P（－1，2），故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.

2.（2021·成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），.圆C的参数方程为（θ为参数）.

（1）设P为线段MN的中点，求直线OP的直角坐标方程；

（2）判断直线l与圆C的位置关系.

解析：（1）由题易知M，N的直角坐标分别为（2，0），，所以点P的直角坐标为，所以直线OP的直角坐标方程为y－＝（x－1），即x－y＝0.

（2）由（1）易得直线l的方程为x＋y－2＝0，

由圆C的参数方程得圆C的普通方程为（x－2）2＋（y＋）2＝4，

则圆心C（2，－）到直线l的距离d＝＝<2，

所以直线l与圆C相交.

[B组　能力提升练]

1.（2021·广州模拟）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，直线l1：θ＝（ρ∈R），直线l2：θ＝（ρ∈R）.以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.

（1）求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；

（2）已知直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求△AOB的面积.

解析：（1）依题意，得直线l1的直角坐标方程为y＝x，

直线l2的直角坐标方程为y＝x，

由ρ＝2cos θ＋2sin θ得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，

∵ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，

∴曲线C的直角坐标方程为（x－）2＋（y－1）2＝4，

∴曲线C的参数方程为（α为参数）.

（2）联立方程，得得|OA|＝|ρ1|＝4，

同理，得|OB|＝|ρ2|＝2.

又∠AOB＝，

∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝×4×2×＝2，

故△AOB的面积为2.

2.（2020·高考全国卷Ⅱ）已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

解析：（1）C1的普通方程为x＋y＝4（0≤x≤4）.

由C2的参数方程得x2＝t2＋＋2，y2＝t2＋－2，

所以x2－y2＝4.故C2的普通方程为x2－y2＝4.

（2）由得所以P的直角坐标为.

设所求圆的圆心的直角坐标为（x0，0），

由题意得x＝＋，解得x0＝.

因此，所求圆的极坐标方程为ρ＝cos θ.