高考数学一轮复习第六章第一节不等式的性质一元二次不等式课时作业理含解析北师大版

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第一节 不等式的性质、一元二次不等式授课提示：对应学生用书第331页[A组　基础保分练]1．已知a，b∈R，若a＜b，则一定有（　　）A．a＜2b　　　　　　　 B．ab＜b2C．a＜b  D．a3＜b3解析：因为－2＜－1，而－2＜2×（－1）不成立，A项错误；当b＝0时，B项错误；当两者均小于0时，根式没有意义，C项错误；y＝x3是增函数，若a＜b，则a3＜b3，D项正确．答案：D2．设m＝－，n＝－，p＝－，则m，n，p的大小关系为（　　）A．m＞p＞n  B．p＞n＞mC．n＞m＞p  D．m＞n＞p解析：m－n＝－－＋＝2－（＋），因为（2）2＝24，（＋）2＝12＋2＜12＋2×6＝24，所以m－n＞0，同理n＞p，所以m，n，p的大小关系是m＞n＞p．答案：D3．（2021·湖北黄冈元月调研）关于x的不等式ax＋b>0的解集是（1，＋∞），则关于x的不等式（ax＋b）（x－2）<0的解集是（　　）A．（－∞，1）∪（2，＋∞） B．（－1，2）C．（1，2）  D．（－∞，－1）∪（2，＋∞）解析：因为关于x的不等式ax＋b>0的解集是（1，＋∞），所以a>0，且－＝1，所以关于x的不等式（ax＋b）（x－2）<0可化为（x－2）<0，即（x－1）（x－2）<0，所以不等式的解集为{x|1<x<2}．答案：C4．（2021·六安一中第四次月考）在区间（1，2）上，不等式x2＋mx＋4＞0有解，则m的取值范围为（　　）A．m＞－4  B．m＜－4C．m＞－5  D．m＜－5解析：记f（x）＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图像知，f（1）＞0或f（2）＞0时，不等式x2＋mx＋4＞0一定有解，即m＋5＞0或2m＋8＞0，解得m＞－5．答案：C5．若存在x∈[－2，3]，使不等式2x－x2≥a成立，则实数a的取值范围是（　　）A．（－∞，1]  B．（－∞，－8]C．[1，＋∞）  D．[－8，＋∞）解析：设f（x）＝2x－x2，则当x∈[－2，3]时，f（x）＝－（x－1）2＋1∈[－8，1]，因为存在x∈[－2，3]，使不等式2x－x2≥a成立，所以a≤f（x）max，所以a≤1．答案：A6．若命题“存在x∈R，使得x2＋mx＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是（　　）A．[2，6]  B．[－6，－2]C．（2，6）  D．（－6，－2）解析：由题意知不等式x2＋mx＋2m－3≥0对一切x∈R恒成立，所以Δ＝m2－4（2m－3）≤0，解得2≤m≤6．答案：A7．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，即＜；若ab＞0，则＞．所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b．答案：a＜0＜b8．已知关于x的不等式＜0的解集是（－∞，－1）∪，则a＝________．解析：＜0⇔（ax－1）（x＋1）＜0，根据解集的结构可知，a＜0且＝－，∴a＝－2．答案：－29．已知函数f（x）＝kx2＋kx＋2（k∈R）．（1）若k＝－1，求不等式f（x）≤0的解集；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数k的取值范围．解析：（1）若k＝－1，则f（x）＝－x2－x＋2≤0，x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1，所以不等式的解集为（－∞，－2]∪[1，＋∞）．（2）当k＝0时，f（x）＝2＞0，显然恒成立，解集为R；当k≠0时，要使f（x）＝kx2＋kx＋2＞0的解集为R，则k＞0且Δ＝k2－8k＜0，即0＜k＜8．综上所述，k∈[0，8）．10．设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，函数F（x）＝f（x）－x的两个零点为m，n（m＜n）．（1）若m＝－1，n＝2，求不等式F（x）＞0的解集；（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f（x）与m的大小．解析：（1）由题意知，F（x）＝f（x）－x＝a（x－m）·（x－n），当m＝－1，n＝2时，不等式F（x）＞0，即a（x＋1）（x－2）＞0．当a＞0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；当a＜0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．（2）f（x）－m＝a（x－m）（x－n）＋x－m＝（x－m）（ax－an＋1），因为a＞0，且0＜x＜m＜n＜，所以x－m＜0，1－an＋ax＞0．所以f（x）－m＜0，即f（x）＜m．[B组　能力提升练]1．（2021·安徽蒙城五校联考）在关于x的不等式x2－（a＋1）x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围是（　　）A．（－3，5）  B．（－2，4）C． [－3，5]  D．[－2，4]解析：因为关于x的不等式x2－（a＋1）x＋a<0可化为（x－1）（x－a）<0，当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}；当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2，所以实数a的取值范围是a∈[－2，4]．答案：D2．若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间（1，4）内有解，则实数a的取值范围是（　　）A．a＜－2  B．a＞－2C．a＞－6  D．a＜－6解析：令g（x）＝x2－4x－2，不等式x2－4x－2－a＞0在区间（1，4）内有解，等价于a＜g（x）的最大值，因为g（x）＝（x－2）2－6，x∈（1，4），所以g（x）＜g（4）＝－2，所以a＜－2．答案：A3．已知函数f（x）＝ax2＋（a＋2）x＋a2为偶函数，则不等式（x－2）f（x）<0的解集为（　　）A．（－，）∪（2，＋∞）  B．（－，＋∞）C．（2，＋∞）  D．（－，2）解析：因为函数f（x）＝ax2＋（a＋2）x＋a2为偶函数，所以a＋2＝0，得a＝－2，所以f（x）＝－2x2＋4，所以不等式（x－2）f（x）<0可转化为或即或解得－<x<或x>2．故原不等式的解集为（－，）∪（2，＋∞）．答案：A4．设实数x，y满足0<xy<4，且0<2x＋2y＜4＋xy，则x、y的取值范围是（　　）A．x>2且y＞2  B．x<2且y<2C．0<x<2且0<y<2  D．x>2且0<y<2解析：由题意得则由2x＋2y－4－xy＝（x－2）·（2－y）<0，得或又xy<4，可得答案：C5．函数y＝的定义域为________．解析：函数y＝ 的定义域应保证满足0<4x2－3x≤1，解得－≤x＜0或<x≤1．答案：∪6．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝＋a＋b（a，b为非负实数），若1⊙k2<3，则k的取值范围是________．解析：因为定义a⊙b＝＋a＋b（a，b为非负实数），1⊙k2<3，所以＋1＋k2<3，化为（|k|＋2）（|k|－1）<0，所以|k|<1，所以－1<k<1．答案：（－1，1）7．已知函数f（x）＝ax2＋（b－8）x－a－ab，当x∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f（x）<0，当x∈（－3，2）时，f（x）>0．（1）求f（x）在[0，1]内的值域；（2）若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．解析：（1）因为当x∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f（x）<0，当x∈（－3，2）时，f（x）>0．所以－3，2是方程ax2＋（b－8）x－a－ab＝0的两个根．所以所以a＝－3，b＝5．所以f（x）＝－3x2－3x＋18＝－3＋．因为函数图像关于x＝－对称且抛物线开口向下，所以f（x）在[0，1]上为减函数，所以f（x）max＝f（0）＝18，f（x）min＝f（1）＝12，故f（x）在[0，1]内的值域为[12，18]．（2）由（1）知不等式ax2＋bx＋c≤0可化为－3x2＋5x＋c≤0，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ＝25＋12c≤0，所以c≤－，所以实数c的取值范围为．[C组　创新应用练]1．若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x＋4y＋5，则（　　）A．a＋b－c的最小值为2B．a－b＋c的最小值为－4C．a＋b－c的最大值为4D．a－b＋c的最大值为6解析：当x＝1，y＝－1时，－6≤a－b＋c≤4，所以a－b＋c的最小值为－6，最大值为4，故B、D两项错误；当x＝－1，y＝－1时，－12≤－a－b＋c≤－2，则2≤a＋b－c≤12，所以a＋b－c的最小值为2，最大值为12，故A项正确，C项错误．答案：A2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝x3，若不等式f（－4t）＞f（2m＋mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（　　）A．（－∞，－）　　　　 B．（－，0）C．（－∞，0）∪[，＋∞）  D．（－∞，－）∪[，＋∞）解析：∵f（x）在R上为奇函数，且在[0，＋∞）上为增函数，∴f（x）在R上是增函数，结合题意得－4t＞2m＋mt2对任意实数t恒成立⇒mt2＋4t＋2m＜0对任意实数t恒成立⇒⇒m∈（－∞，－）．答案：A3．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为________．解析：由已知及三角形的三边关系得所以所以两式相加得，0<2×<4，所以的取值范围为（0，2）．答案：（0，2）