高考数学一轮复习第九章计数原理概率随机变量及其分布列第五节离散型随机变量的分布列均值与方差课时规范练理含解析新人教版

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第五节 离散型随机变量的分布列、均值与方差

[A组　基础对点练]
1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球　　　　　 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
解析：选项AB表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.
答案：C
2．某射手射击所得环数X的分布列为
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　)
A．0.28 B．0.88
C．0.79 D．0.51
解析：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
答案：C
3．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)
A．ξ＝4 B．ξ＝5
C．ξ＝6 D．ξ≤5
解析：“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.
答案：C
4．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析：如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.
答案：C
5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(　　)
A． B．
C． D．
解析：P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.
答案：D
6．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1 A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
解析：显然P(ξ>x2)＝β，P(ξx2)－P(ξ 答案：B
7．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a(其中k＝1，2，3)，则a的值为(　　)
A．1 B．
C． D．
解析：因为随机变量X的分布列为
P(X＝k)＝a(k＝1，2，3)，
所以根据分布列的性质有a·＋a＋a＝1，所以a＝a·＝1，所以a＝.
答案：D
8．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　　)
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
解析：依题意知，是取了3次，所以取出白球应为2个．
答案：D
9．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)
A．10% B．20%
C．30% D．40%
解析：设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，∴x＝2或8.
∵次品率不超过40%，∴x＝2，∴次品率为＝20%.
答案：B
10．若随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为________．
解析：P(ξ＝n)＝，∴＋＋＋＝1，
∴a＝.P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝a＝.
答案：
11．已知随机变量X的概率分别为p1，p2，p3，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
解析：由分布列的性质及等差数列的性质得
p1＋p2＋p3＝3p2＝1，p2＝，
又即得－≤d≤.
答案：
12．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列．
解析：(1)由已知，得P(A)＝＝，
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，
其中P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)，
故P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P




[B组　素养提升练]
1．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道抢答题，比赛规定：对于每一道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
解析：X＝－1，甲抢到一题但答错了．
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，且一对一错．
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对．
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．
答案：－1，0，1，2，3
2．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．
解析：(1)设事件A：选派的三人中恰有2人会法语，则
P(A)＝＝.
(2)依题意知X的取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P




3.如图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至12日中的某一天到达该市，并停留3天．

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列．
解析：设Ai表示事件“此人于11月i日到达该市”(i＝1，2，…，12).依题意知，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅(i≠j).
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝.
即此人到达当日空气重度污染的概率为.
(2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝＝，
P(ξ＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝＝，
P(ξ＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝＝，
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－－＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P





[A组　基础对点练]
1．某人上班途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的数学期望为(　　)
A．0.4 B．1.2
C．0.43 D．0.6
解析：因为途中遇到红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3，0.4)，所以E(X)＝3×0.4＝1.2.
答案：B
2．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为(　　)
A.1＋a，4 B．1＋a，4＋a
C．1，4 D．1，4＋a
解析：＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.
答案：A
3．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P



则X的数学期望E(X)＝(　　)
A． B．2
C． D．3
解析：由数学期望公式得E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案：A
4．已知离散型随机变量X的分布列为
X
6
3
2
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，且E(X)＝3，则D(X)＝(　　)
A． B．
C．2 D．3
解析：由题意，得解得
所以D(X)＝(6－3)2×＋(3－3)2×＋(2－3)2×＝2.
答案：C
5．(2020·安徽合肥模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝(　　)
A． B．
C．4 D．
解析：由题意知，X的所有可能取值为3，4，5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
答案：B
6．某班有14名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(2X＋1)＝(　　)
A． B．
C．3 D．
解析：因为X～B，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝.
答案：D


7．(2021·山东聊城模拟)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌均匀后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：X的分布列为
X
0
1
2
3
P




E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：B
8．(2021·河南南阳模拟)设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的数学期望为E(X)＝3，则a－b＝(　　)
A． B．0
C．－ D．
解析：∵离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b，
∴(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，
又X的数学期望E(X)＝3，
则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，
∴a＝，b＝0，∴a－b＝.
答案：A
9．(2019·高考浙江卷)设0 X
0
a
1
P



则当a在(0，1)内增大时，(　　)
A．D(X)增大 B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大
解析：由题意知E(X)＝0×＋a×＋1×＝，
因此，D(X)＝×＋×＋×
＝[(a＋1)2＋(1－2a)2＋(a－2)2]＝(6a2－6a＋6)
＝.
当0 当 即当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大．
答案：D
10．一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________．
解析：将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4.其中，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.
答案：1
11．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．
解析：“事件X＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X＝4)＝＝.
答案：
12．(2020·山东威海模拟)随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组从某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45)
人数
4
5
8
5
3
年龄
[45，50)
[50，55)
[55，60)
[60，65)
[65，70]
人数
6
7
3
5
4
年龄在[25，30)，[55，60)的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
(1)求从年龄在[25，30)的被调查者中选取的2人都赞成的概率；
(2)求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；
(3)若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
解析：(1)设“年龄在[25，30)的被调查者中选取的2人都赞成”为事件A，
所以P(A)＝＝.
(2)设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B，
所以P(B)＝＋＋＝.
(3)X的可能取值为0，1，2，3，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
X
0
1
2
3
P




所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
[B组　素养提升练]
1．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，最后选择题的得分为Y分，则D(Y)－D(X)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：设A学生答对题的个数为m，得分为5m分，则m～B，D(m)＝12××＝，∴D(X)＝25×＝.设B学生答对题的个数为n，得分为5n分，则n～B，D(n)＝12××＝，∴D(Y)＝25×＝.∴D(Y)－D(X)＝－＝.
答案：A
2．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为
X
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1

Y
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
解析：甲、乙两人一天中出现废品数的均值分别为
E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，
E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，
所以E(X)＞E(Y)，故乙的技术较好．
答案：乙
3．(2021·江西九江模拟)某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能：10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱．现处理价格为每箱8 400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望作为决策依据．
(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．
①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和数学期望；
②若已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，判断是否可以购买？
解析：(1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8 500，
∵8 500＞8 400，
∴在不开箱检验的情况下，可以购买．
(2)①X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝C×0.20×0.82＝0.64，
P(X＝1)＝C×0.21×0.81＝0.32，
P(X＝2)＝C×0.22×0.80＝0.04，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
0.64
0.32
0.04
E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
②设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，
则P(A)＝C×0.2×0.8×0.5＋C×0.1×0.9×0.5＝0.25，
一箱产品中，设正品的价格的期望为η元，
则η＝8 000，9 000，
设事件B1：抽取废品率为20%的一箱，
则P(η＝8 000)＝P(B1|A)＝
＝＝0.64，
设事件B2：抽取废品率为10%的一箱，
则P(η＝9 000)＝P(B2|A)＝
＝＝0.36，
∴E(η)＝8 000×0.64＋9 000×0.36＝8 360.
∵8 360＜8 400，
∴已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，则不可以购买．
4．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．
规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
解析：(1)X的可能取值为0，500，1 000.
P(X＝0)＝＋××＝，P(X＝500)＝×＝，P(X＝1 000)＝××＝，
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为
X
0
500
1 000
P



(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×＋1 000×＝520.
若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B，
则E(ξ)＝3×＝，抽奖所获奖金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故选择方案甲更划算．