高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间点直线平面之间的位置关系课时规范练理含解析新人教版

第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系

[A组　基础对点练]

1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　)

A．b⊂α

B．b∥α

C．b⊂α或b∥α

D．b与α相交或b⊂α或b∥α

解析：b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．

答案：D

2．(2020·湖北荆州模拟)设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)

A．若a⊥b，b⊥α，则a∥α

B．若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b是异面直线

C．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β

D．若α∩β＝b，a∥b，则a∥α且a∥β

解析：选项A，a可能在α内，故选项A错；选项B，a与b可能平行可能异面，故选项B错；选项D，a可能在α或β内，故选项D错．

答案：C

3．(2021·河北模拟)若a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)

A．若a∥α，b∥β，a⊥b，则α⊥β

B．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β

C．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β

D．若a∥α，b⊥β，a⊥b，则α∥β

解析：∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α，又b⊥β，∴α∥β.

答案：C

4．(2020·江西景德镇模拟)将图①中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　　)

A．相交且垂直     B．相交但不垂直

C．异面且垂直     D．异面但不垂直

解析：在题图①中，AD⊥BC，故在题图②中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD.又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面．

答案：C

5．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　)

A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交

C．至少与a，b中的一条相交

D．与a，b都平行

解析：若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．

答案：C

6．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　)

A．α内的所有直线都与直线a异面

B．α内不存在与a平行的直线

C．α内的直线都与a相交

D．直线a与平面α有公共点

解析：直线a不平行于平面α，则a与平面α相交或a⊂α，所以选项D正确．

答案：D

7．(2021·安徽安庆模拟)在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是(　　)

A．AD1⊥DP     B．AC1⊥DP

C．AP⊥B1C     D．A1P⊥B1C

解析：在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，

∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，∴B1C⊥平面ABC1D1.

∵点P是线段BC1上任意一点，∴AP⊂平面ABC1D1，∴AP⊥B1C.

答案：C

8．(2020·广东东莞模拟)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)

A．CC1与B1E是异面直线

B．AC⊥平面ABB1A1

C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1

D．A1C1∥平面AB1E

解析：因为CC1与B1E都在平面CC1B1B内，且CC1与B1E是相交直线，所以选项A错误．假设AC⊥平面ABB1A1，则AC⊥AB，即∠CAB＝90°，从而可得∠C1A1B1＝90°，这与题设“底面三角形A1B1C1是正三角形”矛盾，故假设错误，即选项B错误．因为点B1∉AE，直线B1C1交平面AEB1于点B1，所以AE，B1C1为异面直线；由题意可知△ABC是正三角形，又E是BC的中点，所以AE⊥BC，结合BC∥B1C1可得AE⊥B1C1，故选项C正确．因为直线AC交平面AB1E于点A，又AC∥A1C1，所以直线A1C1与平面AB1E相交，故选项D错误．

答案：C

9．(2020·江西高安模拟)已知直四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，AA1＝，则异面直线A1B1与BD1所成角的大小为________．

解析：∵A1B1∥AB，∴∠ABD1为异面直线A1B1与BD1所成的角，连接AD1(图略)，则在Rt△ABD1中，AB＝1，易得AD1＝，∴tan ∠ABD1＝＝，

∴∠ABD1＝60°.

答案：60°

10．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③若α∥β，l⊂α，则l∥β；

④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中正确的命题是________．(填序号)

解析：①不正确，α，β可能相交．

②不正确，当直线m，n平行时，α，β还可能相交；根据面面平行的判定定理只有当m，n相交时，α∥β.

③正确，根据面面平行的定义可知l与β无公共点，即可知l∥β.

④正确，因为α∩β＝l，可知l⊂α，l⊂β又因为l∥γ，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则m∥n.

答案：③④

11．(2021·江西赣州模拟)正四面体的平面展开图如图所示，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

解析：还原成正四面体(图略)知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN为异面直线，且所成的角为90°，即DE与MN垂直．

答案：②③④

12．正方体表面的一种展开图如图所示，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．

解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行，故互为异面的直线有且只有3对．

答案：3

[B组　素养提升练]

1．(2020·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：

①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；

③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.

其中正确的命题是(　　)

A．①④     B．③④

C．①②     D．①③

解析：对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除选项B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，故④正确．

答案：A

2．下列命题中成立的个数是(　　)

①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若直线l在平面α外，则l∥α；

③若直线l∥b，直线b⊂α，则l∥α；

④若直线l∥b，直线b⊂α，那么直线l就平行于平面α内的无数条直线．

A．1     B．2

C．3     D．4

解析：直线l平行于平面α内的无数条直线，包括l⊂α和l∥α，故①不成立；直线l在平面α外，包括l与α相交和l∥α，故②不成立；直线l∥b，直线b⊂α，包括l⊂α和l∥α，故③不成立；直线l∥b，直线b⊂α，那么l平行于α内与直线b平行的所有直线，所以直线l就平行于平面α内的无数条直线，故只有④成立．

答案：A

3．(2021·河南安阳模拟)在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cos θ＝________．

解析：如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为P，容易证明OP∥A1D，所以直线l即为直线OP，角θ即∠POC1.

设正方体的棱长为2，则OP＝A1D＝，OC1＝，PC1＝，

则cos ∠POC1＝＝＝.

答案：

4．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.

(1)证明：E，F，G，H四点共面；

(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？

(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.

解析：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.

又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.

所以E，F，G，H四点共面．

(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．

因为＝＝，所以EH＝BD.

同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n.

故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．

(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，

∴EF∥AC.

又∵AC⊥BD，

∴∠FEH是AC与BD所成角或其补角，

∴∠FEH＝90°，

从而平行四边形EFGH为矩形，

∴EG＝FH.