2025年高考数学一轮复习-第七章-第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第七章-第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系-课时作业【含解析】，共12页。
1.已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.下列叙述错误的是（ ）
A.若P∈α∩β，且α∩β＝l，则P∈l
B.若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面
C.三点A，B，C确定一个平面
D.若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α
3.（多选）如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图形是（ ）
4.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（ ）
A.π6 B.π4
C.π3 D.π2
5.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B.过空间中任意三点有且仅有一个平面
C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D.若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
6.在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A.AE＝CF，AC与EF是共面直线
B.AE≠CF，AC与EF是共面直线
C.AE＝CF，AC与EF是异面直线
D.AE≠CF，AC与EF是异面直线
7.（多选）设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A.若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B.若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C.若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D.若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
8.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有 对.
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行.设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cs θ＝ .
10.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2.求：
（1）三棱锥P－ABC的体积；
（2）异面直线BC与AD所成角的余弦值.
11.在四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF的长度.
[B组 能力提升练]
12.（2024·山西太原）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，D是CC1的中点，则CA1与BD所成角的大小是（ ）
A.π3 B.5π12
C.π2 D.7π12
13.（多选）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A.CM与PN是异面直线
B.CM＞PN
C.PA与DC所成的角为90°
D.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
14.（多选）正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
A.截面形状可能为正三角形
B.截面形状可能为正方形
C.截面形状可能为正六边形
D.截面面积最大值为33
15.已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 .
16.已知三棱锥P?ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝23，AC＝2，BC＝4，则：
（1）球O的表面积为 ；
（2）若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是 .
17.在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为棱A1D1，CC1的中点，过P，Q，A作正方体的截面，则截面多边形的周长是 .
18.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.
（1）求四棱锥O－ABCD的体积；
（2）求异面直线OC与MD所成角的正切值.
2025年高考数学一轮复习-第七章-第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l两两相交或a，b，l中有两条直线平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，
所以a，b，l在同一平面，则a，b，l两两相交不一定成立；
而若a，b，l两两相交，则a，b，l在同一平面成立.
故“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的充分不必要条件.
2.下列叙述错误的是（ ）
A.若P∈α∩β，且α∩β＝l，则P∈l
B.若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面
C.三点A，B，C确定一个平面
D.若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α
答案：C
解析：选项A，点P是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；
选项B，由基本事实的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；
选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；
选项D，由基本事实2，直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内.
3.（多选）如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图形是（ ）
答案：ABC
解析：在A中分别连接PS，QR（图略），易证PS∥QR，所以P，Q，R，S四点共面；在B中过点P，Q，R，S可作一正六边形，所以P，Q，R，S四点共面；在C中分别连接PQ，RS（图略），易证PQ∥RS，所以P，Q，R，S共面；在D中PS与QR为异面直线，所以四点不共面.
4.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（ ）
A.π6 B.π4
C.π3 D.π2
答案：C
解析：在正方体中，A1B∥D1C，所以A1D与A1B所成的角即异面直线A1D与D1C所成的角.
因为△A1BD为正三角形，所以A1D与A1B所成的角为π3，所以异面直线A1D与D1C所成的角为π3.
5.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B.过空间中任意三点有且仅有一个平面
C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D.若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
答案：AD
解析：对于A，由题意设直线l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，则A，B，C三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A∈α，B∈α，C∈α，所以AB⊂α，BC⊂α，CA⊂α，即l1⊂α，l2⊂α，l3⊂α，所以A正确.对于B，当A，B，C三点不共线时，过A，B，C三点有且仅有一个平面；当A，B，C三点共线时，过A，B，C的平面有无数个，所以B错误.对于C，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以C错误.对于D，很显然D正确.
6.在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A.AE＝CF，AC与EF是共面直线
B.AE≠CF，AC与EF是共面直线
C.AE＝CF，AC与EF是异面直线
D.AE≠CF，AC与EF是异面直线
答案：D
解析：如图，由题意知，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，E是BC的中点，F是AB的中点，
AC⊂平面ABC，EF与平面ABC相交，且与AC无交点，
所以AC与EF是异面直线，故A，B错误；
又CF＝ 12＋22＝5，AE＝ 22＋（2）2＝6，所以AE≠CF，故C错误.
7.（多选）设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A.若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B.若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C.若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D.若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
答案：ABC
8.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有 对.
答案：3
解析：画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有（AB，GH），（AB，CD），（GH，EF）.故共有3对.
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行.设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cs θ＝ .
答案：36
解析：如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为P，容易证明OP∥A1D，所以直线l即为直线OP，角θ即∠POC1.
设正方体的棱长为2，则
OP＝12A1D＝2，OC1＝6，PC1＝6，
则cs∠POC1＝2+6－62×2×6＝123＝36.
10.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2.求：
（1）三棱锥P－ABC的体积；
（2）异面直线BC与AD所成角的余弦值.
解：（1）S△ABC＝12×2×23＝23，三棱锥P－ABC的体积为V＝13S△ABC·PA＝13×23×2＝433.
（2）如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角.
在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，则cs∠ADE＝22＋22－22×2×2＝34.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为34.
11.在四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF的长度.
解：如图，取BC的中点O，连接OE，OF.
因为OE∥AC，OF∥BD，所以OE与OF所成的角即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝12.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×34＝32.
故EF的长度为12或32.
[B组 能力提升练]
12.（2024·山西太原）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，D是CC1的中点，则CA1与BD所成角的大小是（ ）
A.π3 B.5π12
C.π2 D.7π12
答案：C
解析：如图，取A1C1的中点E，连接BE，DE，则DE∥A1C，所以∠BDE（或其补角）即为CA1与BD所成的角，设为θ.由几何体ABC－A1B1C1是正三棱柱且AB＝BB1，可设其棱长为2.在△BDE中，BD＝5，BE＝7，DE＝2，由余弦定理可得cs θ＝BD2＋DE2－BE22BD·DE＝0，所以θ＝π2.
13.（多选）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A.CM与PN是异面直线
B.CM＞PN
C.PA与DC所成的角为90°
D.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
答案：BCD
解析：由题知，点C，N，A共线，即CN，PM交于点A，∴A，N，C，P，M共面，因此CM，PN共面，故A错误；
记∠PAC＝θ，则PN2＝AP2＋AN2－2AP·ANcs θ＝AP2＋14AC2－AP·ACcs θ，CM2＝AC2＋AM2－2AC·AMcs θ＝AC2＋14AP2－AP·ACcs θ，又AP＜AC，
CM2－PN2＝34（AC2－AP2）＞0，
∴CM2＞PN2，即CM＞PN，故B正确；
∵DC⊥平面ADD1A1，
∴DC⊥PA，C正确；
过P，A，C三点的正方体的截面与C1D1相交于点Q，则AC∥PQ，且PQ＜AC，因此一定是等腰梯形，故D正确.
14.（多选）正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
A.截面形状可能为正三角形
B.截面形状可能为正方形
C.截面形状可能为正六边形
D.截面面积最大值为33
答案：ACD
解析：易知A，C正确，B不正确，下面说明D正确，
如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN＝22，GH＝2，
OE＝OO'2＋O'E2＝1+222＝62，
所以S＝2×12×（2＋22）×62＝33，
故D正确.
15.已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 .
答案：105
解析：如图所示，补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，
则所求角为∠BC1D或其补角.
∵BC1＝2，BD＝22+1－2×2×1×cs60°＝3，C1D＝AB1＝5，
易得C1D2＝BD2＋BC12，即BC1⊥BD，
因此cs∠BC1D＝BC1C1D＝25＝105.
16.已知三棱锥P?ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝23，AC＝2，BC＝4，则：
（1）球O的表面积为 ；
（2）若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是 .
答案：（1）52π （2）4π
解析：（1）由题意，根据勾股定理可得AC⊥AB，则可将三棱锥P?ABC放入以AP，AC，AB为长、宽、高的长方体中，则体对角线为外接球直径，设外接球半径为r，即2r＝ 22＋62＋（23）2＝213，则r＝13，所以球O的表面积为4πr2＝4π×（13）2＝52π.
（2）由题意，得△ABC为直角三角形，所以D为底面ABC的外接圆圆心，当DO⊥截面时，截面面积最小，即截面为平面ABC的外接圆，半径为2，故截面面积的最小值为π×22＝4π.
17.在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为棱A1D1，CC1的中点，过P，Q，A作正方体的截面，则截面多边形的周长是 .
答案：25+95+2133
解析：如图所示，
过点Q作QM∥AP交BC于M，
由A1P＝CQ＝2，tan∠APA1＝2，
则tan∠CMQ＝2，CM＝CQtan∠CMQ＝1，
延长MQ交B1C1的延长线于点E，连接PE，交D1C1于点N，
则多边形AMQNP即为截面，
根据平行线性质有C1E＝CM＝1，
C1NND1＝C1EPD1＝12，
则C1N＝43，D1N＝83，
因此NQ＝22＋432＝2133，
NP＝22＋832＝103.
又AP＝42＋22＝25，AM＝42＋32＝5，
MQ＝12＋22＝5，
所以多边形AMQNP的周长为
AM＋MQ＋QN＋NP＋PA
＝5＋5＋2133＋103＋25
＝25+95+2133.
18.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.
（1）求四棱锥O－ABCD的体积；
（2）求异面直线OC与MD所成角的正切值.
解：（1）由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
∴四棱锥O－ABCD的体积
V＝13×4×2＝83.
（2）如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA的中点，
∴ME∥OC，
则∠EMD（或其补角）为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝2，EM＝3，MD＝5.
∵（2）2＋（3）2＝（5）2，即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝DEEM＝23＝63，
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为63.