北师大版5.1估计总体的分布当堂达标检测题

十　最小二乘估计

(20分钟·35分)

1.某商品的销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)负相关,则其回归方程可能是              (　　)

A.y=-10x+200    B.y=10x+200

C.y=-10x-200    D.y=10x-200

【解析】选A.结合图像(图略),知选项B,D为正相关,选项C不符合实际意义,只有选项A正确.

2.已知一组观测值具有线性相关关系,若对于y=bx+a,求得b=0.51,=61.75,

=38.14,则线性回归方程为 (　　)

A.y=0.51x+6.65     B.y=6.65x+0.51

C.y=0.51x+42.30    D.y=42.30x+0.51

【解析】选A.a=-b=38.14-0.51×61.75≈6.65.

则线性回归方程为y=0.51x+6.65.

3.已知x与y之间的一组数据:

若y与x线性相关,则y与x的回归直线y=bx+a必过定点 (　　)

A.(2,2)　　 B.(1.5,0)　　 C.(1,2)　　 D.(1.5,4)

【解析】选D.因为==1.5,

==4,所以回归直线必过点(1.5,4).

4.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据(x,y)分别为(2,1.5),(3,4.5),(4,5.5),(5,6.5),由最小二乘法得到线性回归方程为y=1.6x+a,若计划维修费用超过15万元时将该设备报废,则该设备的使用年限为

(　　)

A.8年   B.9年   C.10年   D.11年

【解析】选D.依题意=3.5,=4.5,(3.5,4.5)在回归直线上,4.5=1.6×

3.5+a,a=-1.1,所以y=1.6x-1.1,

由y=1.6x-1.1>15,得x>10,

估计第11年维修费用超过15万元.

5.某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:

由表中数据得回归直线方程y=bx+a中的b值大约为-2,预测当气温为-4 ℃时,用电量约为________度. 

【解析】根据题意知==10,

==40.

所以a=40-(-2)×10=60,y=-2x+60.

所以当x=-4时,y=(-2)×(-4)+60=68,

所以用电量约为68度.

答案:68

6.假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料:

若由资料知y对x呈线性相关关系.试求:

(1)线性回归方程y=bx+a;

(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?

【解析】(1)制表如下:

于是有b===1.23.

a=-b=5-1.23×4=0.08.

故线性回归方程是y=1.23x+0.08.

(2)根据线性回归方程是y=1.23x+0.08,

当x=10年时,y=1.23×10+0.08=12.38(万元),

即估计使用年限为10年时,维修费用是12.38万元.

(30分钟·60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知x与y之间的几组数据如表:

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y′=b′x+a′,则以下结论正确的是

(　　)

A.b>b′,a>a′    B.b>b′,a<a′

C.b<b′,a>a′    D.b<b′,a<a′

【解题指南】审题时,要注意“直线方程”和“回归直线”的区别.

【解析】选C.过(1,0)和(2,2)的直线方程为y=2x-2,

画出六点的散点图,回归直线的大概位置如图所示,

显然b′>b,a>a′.

2.具有线性相关关系的变量x,y的一组数据如表所示.若根据表中数据得出y与x的线性回归方程为y=3x-1.5,则m的值是              (　　)

A.4  B.4.5   C.5.5   D.6

【解析】选A.由题意==1.5,==,

所以=3×1.5-1.5,解得m=4.

3.(2020·徐州高一检测)凤鸣山中学的高中女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…n),用最小二乘法近似得到线性回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是              (　　)

A.y与x具有正线性相关关系

B.回归直线过样本的中心点(,)

C.若该中学某高中女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg

D.若该中学某高中女生身高为160 cm,则可断定其体重必为50.29 kg

【解析】选D.根据线性回归方程y=0.85x-85.71,可知函数图象单调递增,可以判断y与x具有正线性相关关系,所以A选项说法正确;回归直线过样本的中心点(,),所以B选项说法正确;根据斜率得该中学某高中女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg,所以C选项说法正确;该中学某高中女生身高为160 cm,根据线性回归方程只能估计其体重,D选项说“可断定其体重必为50.29 kg”,这种说法错误.

4.已知变量x与变量y的取值如下表所示,且2.5<m<n<6.5,则由该数据算得的线性回归方程可能是              (　　)

A.y=0.8x+2.3    B.y=2x+0.4

C.y=-1.5x+8     D.y=-1.6x+10

【解析】选A.已知线性回归方程必过(,),=3.5,=×(6.5+m+n+2.5),

又2.5<m<n<6.5,所以∈(3.5,5.5),由表格,可得为正相关,排除C,D;代入选项A,B,可知A满足.

5.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程y=0.7x+0.35,则实数m,n应满足              (　　)

A.n-0.7m=1.7　　　　　  B.n-0.7m=1.5

C.n+0.7m=1.7     D.n+0.7m=1.5

【解析】选A.由题意:

=(3+m+5+6)=(14+m),

=(2.5+3+4+n)=(9.5+n),

故(9.5+n)=0.7×(14+m)+0.35,

解得:n-0.7m=1.7.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.某数学老师身高176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为______cm. 

【解析】因为儿子的身高与父亲的身高有关,所以设儿子的身高为y(单位:cm),父亲身高为x(单位:cm),根据数据列表:

由数据列表,得回归系数b=1,a=3.

于是儿子身高与父亲身高的线性回归方程为y=x+3.

当x=182时,y=185.

故预测该老师的孙子的身高为185 cm.

答案:185

7.以下关于线性回归的判断,正确的有________个. 

①若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线;

②散点图中的绝大多数点都线性相关,个别特殊点不影响线性回归,如图中的A,B,C点;

③已知线性回归方程为y=0.50x-0.81,则x=25时,y的估计值为11.69;

④线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势.

【解析】能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而据回归直线的定义知,只有按最小二乘法求得回归系数a,b得到的直线y=a+bx才是回归直线,所以①不对;②正确;将x=25代入y=0.50x-0.81,解得y=11.69,所以③正确;④正确.

答案:3

8.某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月4日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下数据:

根据表中12月1日至12月3日的数据,求得线性回归方程y=bx+a中的a=-8,则求得的b=________;若用12月4日的数据进行检验,检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算发芽数y,再与实际发芽数y作差,若差值的绝对值不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,则求得的线性回归方程________(填“可靠”或“不可靠”). 

【解析】由题得==12.==28,

所以样本中心点为(12,28),所以28=b×12-8,所以b=3;因为y=3x-8,所以12月4日的估计值为y=3×8-8=16,又|17-16|=1,没有超过2,所以求得的线性回归方程可靠.

答案:3　可靠

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.调查某公司的五名推销员,其工作年限与年推销金额如下表:

(1)在图中画出年推销金额关于工作年限的散点图,并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律.

(2)利用最小二乘法求年推销金额关于工作年限的回归直线方程.

(3)利用(2)中的回归方程,预测工作年限为10年的推销员的年推销金额.

附:b=,a=-b.

【解析】(1)年推销金额关于工作年限的散点图如图:

从散点图可以看出,各点散布在从左下角到右上角的区域里,因此, 工作年限与年推销金额正相关,即工作年限越长,年推销金额越大.

(2)由表中数据可得:

=×(2+3+5+7+8)=5,

=×(3+3.5+4+6.5+8)=5,

b==

=,a=-b=5-×5=,所以年推销金额关于工作年限的回归直线方程为y=x+.

(3)当x=10时,y=×10+=.

所以预测工作年限为10年的推销员的年推销金额为万元.

10.受“非洲猪瘟”的影响,10月份起,某地猪肉的单价随着每周供应量的不足而上涨, 具体情形统计如下表所示:

 (1)求猪肉单价y关于x的线性回归方程y=bx+a;

(2)当地有关部门已于11月初购入进口猪肉,如果猪肉单价超过30元/斤,则释放进口猪肉增加市场供应量以调控猪肉价格,试判断自受影响后第几周开始需要释放进口猪肉?

参考数据:xiyi=340.6,参考公式:b=,a=-b

【解析】(1)==3,

==21.

=12+22+32+42+52=55,xiyi=340.6.

所以b==2.56,

a=21-2.56×3=13.32.故y=2.56x+13.32.

(2)当x=6时,y=28.68,当x=7时,y=31.24,所以应从第7周开始释放进口猪肉.

1.根据如下样本数据得到的线性回归方程y=bx+a,则下列判断正确的是(　　)

A.b<0,0.9b+a=4     B.b>0,4b+a=0.9

C.a<0,0.9b+a=4     D.a>0,4b+a=0.9

【解析】选D.因为随着x增加,y大体减少,所以b<0,因为=

=4,==0.9,所以0.9=4b+a,所以a>0.

2.某地实施乡村振兴战略,对农副产品进行深加工以提高产品附加值,已知某农产品成本为每件3元,加工后的试营销期间,对该产品的价格与销售量统计得到如下数据:

数据显示单价x与对应的销量y满足线性相关关系.

(1)求销量y关于单价x的线性回归方程y=bx+a;

(2)根据销量y关于单价x的线性回归方程,要使加工后收益P最大,应将单价定为多少元?

参考公式:b==,a=-b.

【解析】(1)由题意得,=×(6+6.2+6.4+6.6+6.8+7)=6.5,

=×(80+74+73+70+65+58)=70;

则(xi-)=-5-1.2-0.3-0-1.5-6=-14,

=0.25+0.09+0.01+0.01+0.09+0.25=0.7,

所以b==-20,

a=-b=70-×6.5=200,

所以所求线性回归方程为y=-20x+200.

(2)由题意可得,P=y=,

整理得P=-20(x-6.5)2+245,

当x=6.5时,P取得最大值为245.

所以要使收益达到最大,应将单价定为6.5元.

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