高中数学北师大版必修34.1平均数、中位数、众数、极差、方差练习

五　平均数、中位数、众数、极差、方差　标准差

(20分钟·35分)

1.近几年,我国农村电子商务发展迅速,使得农副产品能够有效地减少流通环节,降低流通成本,直接提高了农民的收益.某农村电商对一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是(　　)

A.46.5,48,60　　　　　　　 B.47,48,60

C.46.5,48,55     D.46.5,51,60

【解析】选A.由题中茎叶图共有30个数据,所以中位数为=46.5,

茎叶图中出现次数最多的数是48,故众数是48,图中最大的数是72,最小的是12,可得极差为72-12=60.

2.在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是              (　　)

A.众数 　　B.平均数 　　C.中位数　　D.标准差

【解析】选D.只有标准差不变,其中众数、平均数和中位数都加2.

3.如图是某次民族运动会上,七位评委为某民族舞蹈节目打出分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为              (　　)

A.84,4.84    B.84,1.6

C.85,1.6     D.85,4

【解析】选C.由题意知平均分==85,s2=[(84-85)2+

(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=×8=1.6.

4.某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛,现将他们最近集训的10次成绩(单位:秒)的平均数与方差制成如下表格,根据表中数据,应选________选手参加全省的比赛              (　　) 

A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁

【解析】选D.结合表格数据判断,四人中用时最短,波动性最小的是丁.

5.已知一组数据x1,x2,…,xn的方差为2,若数据ax1+b,ax2+b,…,axn+b(a>0)的方差为8,则a的值为________. 

【解析】因为一组数据x1,x2,…,xn的方差为2,

数据ax1+b,ax2+b,…,axn+b(a>0)的方差为8,

所以2a2=8,由a>0,解得a=2.所以a的值为2.

答案:2

6.某农科所为寻找高产稳定的油菜品种,选了三个不同的油菜品种进行试验,每一品种在五块试验田试种.每块试验田的面积为0.7公顷,产量情况如下表:

试评定哪一品种既高产又稳定.

【解析】=21.0 kg,=21.0 kg,=20.48 kg;=0.572,=2.572,=

3.597 6,所以=>,<<.所以第一个品种既高产又稳定.

【补偿训练】

某校在统计一班级50名学生的数学考试成绩时,将两名学生的成绩统计错了,一个将115分统计为95分,1个将65分统计为85分,若根据统计的数据得出平均分为90分,标准差为5分,则该50名学生实际成绩的平均分及标准差分别为多少?

【解析】设没统计错的数据为x1,x2,…,x48,统计错的两个成绩为x49=95,x50=85,实际成绩为x1,x2,…,x48,t49=115,t50=65,那么,(x1+x2+…+x48+95+85)=90,

所以(x1+x2+…+x48)=90-,

所以=(x1+x2+…+x48+t49+t50)

=(x1+x2+…+x48)+×(115+65)=90-+=90.由=[(x1-90)2+…+(x48-90)2+(95-90)2+(85-90)2].

=[(x1-90)2+…+(x48-90)2+(115-90)2+(65-90)2]得:-=×(252+252-52-52)=×1 200=24,所以=+24=52+24=49,所以s2=7,即该50名学生实际成绩的平均分为90分,标准差为7分.

(30分钟·60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知一组数据按从小到大的顺序排列,得到-1,0,4,x,7,14,中位数为5,则这组数据的平均数和方差分别为              (　　)

A.5,　　　B.5,　　　C.4,　　　D.4,

【解析】选A.由题意知,-1,0,4,x,7,14的中位数为5,所以×(4+x)=5,解得x=6;

所以这组数据的平均数为=×(-1+0+4+6+7+14)=5,方差为s2=×[(-1-5)2+

(0-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(14-5)2]=.

2.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则              (　　)

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

【解析】选C.由条形统计图知:

甲射靶5次的成绩分别为:4,5,6,7,8;

乙射靶5次的成绩分别为:5,5,5,6,9,

所以==6;

==6.

所以=,故A项不正确.

甲的成绩的中位数为6,乙的成绩的中位数为5,故B项不正确.

=[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=×10=2,=[(5-6)2+(5-6)2

+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=×12=,因为2<,所以<,故C项正确.甲的成绩的极差为:8-4=4,乙的成绩的极差为:9-5=4,故D项不正确.

3.王明同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况如表所示:

则关于这10个小区绿化率情况,下列说法错误的是 (　　)

A.方差是13%　　　　  B.众数是25%

C.中位数是25%    D.平均数是26.2%

【解析】选A.根据表格数据,众数为25%,选项B正确;中位数为25%,选项C正确;

平均数为=26.2,选项D正确;

方差为[2(20-26.2)2+4(25-26.2)2+3(30-26.2)2+(32-26.2)2]=15.96,选项A错误.

4.(2020·全国卷Ⅲ)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为              (　　)

A.0.01　　　　B.0.1　　　　C.1　　　　D.10

【解析】选C.因为数据axi+b(i=1,2,…,n)的方差是数据xi(i=1,2,…,n)的方差的a2倍,所以所求数据方差为102×0.01=1.

5.对“小康县”的经济评价标准:①年人均收入不小于7 000元;②年人均食品支出不大于收入的35%.某县有40万人口,年人均收入如表所示,年人均食品支出如图所示.则该县(　　)

A.是小康县

B.达到标准①,未达到标准②,不是小康县

C.达到标准②,未达到标准①,不是小康县

D.两个标准都未达到,不是小康县

【解析】选B.由图表可知年人均收入为(2 000×3+4 000×5+6 000×5+8 000

×6+10 000×7+12 000×5+16 000×3)÷40=7 050(元)>7 000元,达到了标准①;年人均食品支出为(1 400×3+2 000×5+2 400×13+3 000×10+3 600×9)÷40=

2 695(元),则年人均食品支出占收入的×100%≈38.2%>35%,未达到标准②.所以不是小康县.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________. 

【解题指南】利用平均数公式与方差公式求解.

【解析】==90,

==90,

故=[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,

=[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2.

答案:2

7.若40个数据的平方和是56,平均数是,则这组数据的方差是________,标准差是________. 

【解析】设这40个数据为xi(i=1,2,…,40),平均数为.则s2=×[(x1-)2+(x2-)2+…+(x40-)2]

=[++…++40-2(x1+x2+…+x40)]=×

=×=0.9.

所以s===.

答案:0.9　

8.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10,6,8,5,6,则该组数据的方差s2=________. 

【解析】==7,

s2=(9+1+1+4+1)=3.2.

答案:3.2

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.某车间20名工人年龄数据如表:

(1)求这20名工人年龄的众数与极差;

(2)以十位数为茎,个位数为叶,画出这20名工人年龄的茎叶图;

(3)求这20名工人年龄的方差.

【解题指南】第(1)问众数和极差可根据概念直接从表里得出,第(2)问茎叶图也容易画出,第(3)问先求平均数,再利用公式求方差.

【解析】(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为40-19=21.

(2)这20名工人年龄的茎叶图为:

(3)年龄的平均数==30,

故方差s2=×[(-11)2+3×(-2)2+3×(-1)2+5×02+4×12+3×22+102]=12.6.

10.对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的数据如下:

问:甲、乙谁的平均成绩较好?谁的各门功课发展较平衡?

【解析】=×(60+80+70+90+70)=74,

=×(80+60+70+80+75)=73,

=×(142+62+42+162+42)=104,

=×(72+132+32+72+22)=56,

因为>,>,

所以甲的平均成绩较好,乙的各门功课发展较平衡.

1.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是              (　　)

A.甲地:总体平均数为3,中位数为4

B.乙地:中位数为2,众数为3

C.丙地:总体平均数为2,总体方差为3

D.丁地:总体平均数为1,总体方差大于0

【解析】选C.A中,若连续10天数据为0,0,0,0,4,4,4,4,4,10,满足平均数为3,中位数为4,但不符合标志,则A错误;

B中,若连续10天数据为0,0,1,1,2,2,3,3,3,10,满足中位数为2,众数为3,但不符合标志,则B错误;

C中,当总体平均数是2,若有一个数超过7,则方差s2>×=3.6.

因为总体方差为3,所以说明连续10天,每天新增疑似病例不超过7人,则C正确;

D中,若连续10天数据为0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,满足总体平均数为1,方差大于0,但不符合标志,则D错误.

2.某校甲班、乙班各有49名学生,两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表:

(1)请你对下面的一段话给予简要分析:

甲班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测验,全班平均79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了!”

(2)请你根据表中数据,对这两个班的测验情况进行简要分析,并提出教学建议.

【解析】(1)由中位数可知,85分排在第25名之后,从名次上讲,85分不算是上游.但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏,小刚得了85分,说明他对这阶段的学习内容掌握较好.

(2)甲班学生成绩的中位数为87分,说明高于或等于87分的学生占一半以上,而平均分为79分,标准差很大,说明低分也多,两极分化严重,建议对学习有困难的同学多给一些帮助;

乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分,标准差小,说明学生成绩之间差别较小,成绩很差的学生少,但成绩优异的学生也很少,建议采取措施提高优秀率.

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