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人教版2022届一轮复习打地基练习 极差方差与标准差
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这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 极差方差与标准差，共27页。
A．平均数B．众数C．方差D．中位数
2．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差s2为（ ）
A．52B．3C．72D．4
3．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中x≠7），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的方差是（ ）
A．133B．143C．163D．173
4．大足中学高一20位青年教师的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x20，其均值和方差分别为x和s2，若从下月起每位教师月工资增加200元，则这20位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
A．x，s2+2002B．x+200，s2+2002
C．x，s2D．x+200，s2
5．小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2．加上这个数后的这组数据（ ）
A．平均数等于10，方差等于2
B．平均数等于10，方差小于2
C．平均数大于10，方差小于2
D．平均数小于10，方差大于2
6．在一次数学测试中，某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8，则该班甲同学的数学成绩不可能是（ ）
A．60B．70C．80D．90
7．甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人的测试成绩如表
s1，s2分别表示甲乙两名运动员在这次测试中成绩的标准差，x1，x2分别表示甲、乙两名运动员这次测试中成绩的平均数，则有（ ）
A．x1＞x2，s1＞s2B．x1=x2，s1＞s2
C．x1=x2，s1＝s2D．x1＜x2，s1＞s2
8．已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
9．抛掷一个质地均匀四个面上分别标有数字1，2，3，4的正四面体4次，分别记录正四面体朝下面的数字，根据统计结果，可以判断出一定没有数字4的是（ ）
A．平均数是2，方差是0.5B．众数是2，中位数是2
C．平均数是2，众数是1D．中位数是3，方差是0.5
10．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i=14 pi=1，则以下四种情形中，对应样本的方差最大的一组是（ ）
A．p1＝p4＝0.15，p2＝p3＝0.35
B．p1＝p4＝0.45，p2＝p3＝0.05
C．p1＝p4＝0.25，p2＝p3＝0.25
D．p1＝p4＝0.35，p2＝p3＝0.15
二．多选题（共2小题）
11．某校举行篮球比赛，两队长小明和小张在总共6场比赛中得分情况如表：
则下列说法正确的是（ ）
A．小明得分的极差小于小张得分的极差
B．小明得分的中位数小于小张得分的中位数
C．小明得分的平均数大于小张得分的平均数
D．小明的成绩比小张的稳定
12．有一组样本数据x1，x2，…，xn和一组样本数据y1，y2，…，yn，如果y1＝x1+b，y2＝x2+b，…，yn＝xn+b，其中b为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本方差相同
C．两组样本数据的样本中位数相同
D．两组样本数据的样本极差相同
三．填空题（共18小题）
13．今年5月1日，某校5名教师在“学习强国”平台，上的当日积分依次为43，49，50，52，56，则这5个数据的方差是 ．
14．某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有误，甲实得80分错记为60分，乙实得70分错记为90分，则更正后的方差为 ．
15．如果数据x1、x2、…、xn的平均值为10，方差为3，则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的平均值为 ，方差为 ．
16．已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为 ．
17．已知一组样本数据1，2，m，8的极差为8，若m＞0，则其方差为 ．
18．已知一组数据：﹣1，1，0，m，3的方差为2，则数据﹣1，3，1，2m+1，7的方差为 ．
19．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是 ．
20．2021年7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金．已知杨倩其中5次射击命中的环数如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，则这组数据的方差为 ．
21．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分2；乙班的平均成绩为85分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 分，方差是 分2．
22．如图，这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩（满分100分）的茎叶图．去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 ．
23．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取4个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为6，样本方差为5，则样本数据中的最小值是 ．
24．甲、乙两组数据如表所示，其中a，b∈N*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使乙组数据的方差小于甲组数据的方差，则（a，b）为 ．（只需填一组）
25．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是2，则xy＝ ．
26．若一组样本数据11，9，x，10，8的平均数为10，则该组样本数据的标准差为 ．
27．甲、乙两组数据如表所示，其中a，b∈N*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则（a，b）为 ．（只需填一组）
28．已知等差数列a1，a2，…，a9的公差为3，随机变量ξ等可能地取值a1，a2，…，a9，则方差Dξ＝ ．
29．数组3，4，5，6，7的方差为 ．
30．设一组样本数据x1，x2，•••，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，•••，10xn的方差为 ．
四．解答题（共7小题）
31．某学校高一100名学生参加数学考试，成绩均在40分到100分之间．学生成绩的频率分布直方图如图：
（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）
（2）某老师抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x=90，标准差s＝6，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差．
（参考公式：s=i=1n xi2−nx2n）
（参考数据：2102＝44100，1922＝36864，1102＝12100）
32．如图是校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图．
（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；
（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？
33．某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题．答题选手要从“科技”和“文艺“两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分．
（Ⅰ）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号；
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
（Ⅱ）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号；
（Ⅲ）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目．其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为53；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为52，求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差．
34．最近我校对高一学生进行了体检，为了了解甲乙两班男生的身高状况，随机从甲乙两班中各抽取10名男生的身高（单位cm），绘制身高的茎叶图如图：
（1）通过茎叶图判断哪个班男生的平均身高较高？
（2）计算甲班的样本方差．
（3）现从乙班样本身高不低于172cm的同学中随机抽取两名同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．
35．李明上高一时每天中午和晚上都在学校的食堂就餐，学校为了方便学生就餐，发行“校园一卡通”，该校的学生家长可以随时通过手机给其子女的“校园一卡通”充值，为了给李明的“校园一卡通”每周充入适当数量的钱，李明的家长随机考察了李明班级每天中午和晚上都在学校食堂就餐的6个同学一个星期在学校的就餐费用，并制作如图所示的茎叶图，在制作时有1个数据模糊，李明的家长便在图中以x表示，他记得这6个同学一个星期在学校的就餐费用，如果去掉一个费用最高的，去掉一个费用最低的，剩余4个同学费用的平均数为91元．
（1）求整数x的取值组成的集合；
（2）一般地，把抽取所得的随机数据中，去掉最大的一个，再去掉最小的一个，如果剩余的数据的方差在0～2之间，我们认为抽取的数据是非常完美的数据，试说明李明的家长抽取的数据是否是非常完美的数据．
36．从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额如下：
甲：5，6，8，10，10，14，18，18，22，25，27，30，30，41，43，58
乙：10，23，27，12，43，48，18，20，22，23，31，32，34，34，38，42，
（1）画出茎叶图．
（2）求出甲、乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？
（3）不用计算比较甲、乙两组数据的平均数和方差的大小．
37．从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）．
人教版2022届一轮复习打地基练习 极差方差与标准差
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在某次测量中得到的A样本数据如下：17，25，11，27，18，19，31，27，41，16．若B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．平均数B．众数C．方差D．中位数
【分析】B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的平均数、众数、中位数都发生改变，由方差的计算公式得A，B两样本的方差不会变．
【解答】解：在某次测量中得到的A样本数据如下：17，25，11，27，18，19，31，27，41，16．
若B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，
则A，B两样本的平均数、众数、中位数都发生改变，
其中B样本平均数、众数、中位数都比A样本的平均数、众数、中位数小2，
由方差的计算公式得A，B两样本的方差不会变．
故选：C．
2．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差s2为（ ）
A．52B．3C．72D．4
【分析】根据平均数和方差的定义，计算加入一个新数据后，这组数据的平均数和方差．
【解答】解：因为7个数据的平均数为5，方差为4，
又加入一个新数据5，则这8个数的平均数为x=5×7+58=5，
方差为s2=18×[4×7+（5﹣5）2]=72．
故选：C．
3．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中x≠7），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的方差是（ ）
A．133B．143C．163D．173
【分析】该组数据的中位数是众数的54倍，求出x＝6，从而该组数据的平均数为x=5，由此能求出该组数据的方差．
【解答】解：一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中x≠7），
该组数据的中位数是众数的54倍，
∴4+x2=4×54，解得x＝6，
∴该组数据的平均数为x=16（1+4+4+6+7+8）＝5，
∴该组数据的方差是S2=16[（1﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2+（8﹣5）2]=163．
故选：C．
4．大足中学高一20位青年教师的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x20，其均值和方差分别为x和s2，若从下月起每位教师月工资增加200元，则这20位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
A．x，s2+2002B．x+200，s2+2002
C．x，s2D．x+200，s2
【分析】根据已知条件，结合随机变量函数线性方差公式E（aX+b）＝aE（x）+b，D（aX+b）＝a2D（X），即可求解．
【解答】解：设大足中学高一20位青年教师的下月工资为y1，y2，•••，y20，平均数为y，方差为s12，
∵从下月起每位教师月工资增加200元，
∴y1＝x1+200，y2＝x2+200，•••，y20＝x20+200，
∴由随机变量函数线性方差公式，可得y=x+200，s12=12s2＝s2．
故选：D．
5．小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2．加上这个数后的这组数据（ ）
A．平均数等于10，方差等于2
B．平均数等于10，方差小于2
C．平均数大于10，方差小于2
D．平均数小于10，方差大于2
【分析】设数据为x1，x2，…，xn的平均数为10，方差为2，根据平均数与方差的定义，计算添上数据10后这组数据的平均数和方差即可．
【解答】解：设这组数据为x1，x2，…，xn，它的平均数为10，方差为2，
所以x1+x2+…+xn＝10n，(x1−10)2+(x2−10)2+⋯+(xn−10)2=2n，
添上数据10后，这组数据的平均数为1n+1×（x1+x2+…+xn+10）=1n+1×（10n+10）＝10，
方差为1n+1[(x1−10)2+(x2−10)2+⋯+(xn−10)2+（10﹣10）2]＝2•nn+1＜2．
所以加上这个数后的这组数据平均数等于10，方差小于2．
故选：B．
6．在一次数学测试中，某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8，则该班甲同学的数学成绩不可能是（ ）
A．60B．70C．80D．90
【分析】设甲的得分为x，则（x﹣82）2＜50×8，由此能求出该班甲同学的数学成绩不可能是60．
【解答】解：在一次数学测试中，某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8，
设甲的得分为x，则（x﹣82）2＜50×8，
解得62＜x＜102．
∴该班甲同学的数学成绩不可能是60．
故选：A．
7．甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人的测试成绩如表
s1，s2分别表示甲乙两名运动员在这次测试中成绩的标准差，x1，x2分别表示甲、乙两名运动员这次测试中成绩的平均数，则有（ ）
A．x1＞x2，s1＞s2B．x1=x2，s1＞s2
C．x1=x2，s1＝s2D．x1＜x2，s1＞s2
【分析】分别做出甲的平均成绩和乙的平均成绩，两个人的平均成绩相等，分别做出两个人的方差，甲的方差大于乙的方差即甲的标准差大于乙的标准差．
【解答】解：甲的平均成绩是7×6+8×4+9×4+10×620=8.5，
乙的平均成绩是7×4+8×6+9×6+10×420=8.5，
乙的方差是2.25×0.2+0.25×0.3+0.25×0.3+2.25×0.2＝1.05，
甲的方差是2.25×0.3+0.25×0.2+0.25×0.2+2.25×0.3＝1.225，
∴甲和乙的平均成绩相等，甲的方差比乙的方差大即甲的标准差比乙的标准差大，
故选：B．
8．已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
【分析】由于数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，我们根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入xn+1后，数据的变化特征，易得到答案．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，
而xn+1为世界首富的年收入
则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，
故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，
但中位数可能不变，也可能稍微变大，
但由于数据的集中程序也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大
故选：B．
9．抛掷一个质地均匀四个面上分别标有数字1，2，3，4的正四面体4次，分别记录正四面体朝下面的数字，根据统计结果，可以判断出一定没有数字4的是（ ）
A．平均数是2，方差是0.5B．众数是2，中位数是2
C．平均数是2，众数是1D．中位数是3，方差是0.5
【分析】依据平均数，众数，方差，中位数的定义，对四个选项依次验证即可．
【解答】解：对于选项A：若有4，由平均数为2得4个数为1，1，2，4，
故方差不是0.5，故A一定没有数字4，故A正确，
对于选项B：1，2，2，4满足条件，故B错，
对于选项C：1，1，2，4满足条件，故C错，
对于选项D：2，3，3，4满足条件，故D错，
故选：A．
10．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i=14 pi=1，则以下四种情形中，对应样本的方差最大的一组是（ ）
A．p1＝p4＝0.15，p2＝p3＝0.35
B．p1＝p4＝0.45，p2＝p3＝0.05
C．p1＝p4＝0.25，p2＝p3＝0.25
D．p1＝p4＝0.35，p2＝p3＝0.15
【分析】根据题意，依次计算选项中数据的方差，比较可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，E（x）＝1×0.15+2×0.35+3×0.35+4×0.15＝2.5，所以D（x）＝（1﹣2.5）2×0.15+（2﹣2.5）2×0.35+（3﹣2.5）2×0.35+（4﹣2.5）2×0.15＝0.85；
对于B，E（x）＝1×0.45+2×0.05+3×0.05+4×0.45＝2.5，所以D（x）＝（1﹣2.5）2×0.45+（2﹣2.5）2×0.05+（3﹣2.5）2×0.05+（4﹣2.5）2×0.45＝2.05；
对于C，E（x）＝1×0.25+2×0.25+3×0.25+4×0.25＝2.5，所以D（x）＝（1﹣2.5）2×0.25+（2﹣2.5）2×0.25+（3﹣2.5）2×0.25+（4﹣2.5）2×0.25＝1.25；
对于D，E（x）＝1×0.35+2×0.15+3×0.15+4×0.45＝2.5，所以D（x）＝（1﹣2.5）2×0.35+（2﹣2.5）2×0.15+（3﹣2.5）2×0.15+（4﹣2.5）2×0.35＝1.65；
B选项对应样本的方差最大．
故选：B．
二．多选题（共2小题）
11．某校举行篮球比赛，两队长小明和小张在总共6场比赛中得分情况如表：
则下列说法正确的是（ ）
A．小明得分的极差小于小张得分的极差
B．小明得分的中位数小于小张得分的中位数
C．小明得分的平均数大于小张得分的平均数
D．小明的成绩比小张的稳定
【分析】利用极差、中位数、方差、平均数的定义直接求解．
【解答】解：在A中小明得分的极差为：33﹣8＝25，小张得分的极差为：34﹣9＝25，极差相等，故A错误；
在B中小明得分的中位数为17+232=20，小张得分的中位数为20+222=21，故B正确；
在C中，小明和小张的平均分均为21分，故C错误；
在统计表中，能看出小明得分相对集中，小张的相对分散，所以小明的成绩比小张稳定，故D正确．
故选：BD．
12．有一组样本数据x1，x2，…，xn和一组样本数据y1，y2，…，yn，如果y1＝x1+b，y2＝x2+b，…，yn＝xn+b，其中b为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本方差相同
C．两组样本数据的样本中位数相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【分析】直接利用平均数、中位数、方差、极差的定义判断即可．
【解答】解：对于A，设数据x1，x2，…，xn的平均数为x，则数据y1，y2，…，yn的平均数为x+b，两组数据的平均数不相同，A错误；
对于B，设数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据y1，y2，…，yn的方差也为s2，两组数据的方差相同，B正确；
对于C，设数据x1，x2，…，xn的中位数是a，则数据y1，y2，…，yn的中位数是a+b，两组数据的中位数不相同，C错误；
对于D，因为yi＝xi+b（i＝1，2，…，n），b为非零常数，所以数据xi的极差为xmax﹣xmin，数据yi的极差为（xmax+b）﹣（xmin+b）＝xmax﹣xmin，
所以两组样本数据的极差相同，D正确．
故选：BD．
三．填空题（共18小题）
13．今年5月1日，某校5名教师在“学习强国”平台，上的当日积分依次为43，49，50，52，56，则这5个数据的方差是 18 ．
【分析】根据题意求出平均数，再利用方差公式求出方差．
【解答】解：∵x=43+49+50+52+565=50，
∴s2=49+1+4+365=18，
故答案为：18．
14．某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有误，甲实得80分错记为60分，乙实得70分错记为90分，则更正后的方差为 60 ．
【分析】先判断更正前后平均分没有变化都是80分，再根据方差的概念表示出更正前的方差和更正后的方差，比较其异同，然后整体代入即可求解．
【解答】解：∵甲实得分为80分，记为60分，少记20分，乙实得70分，记为90分，多记20分，
∴总分没有变化，∴更正前后的平均分没有变化，都是80分，
设甲乙以外的其他同学的成绩分别为a3，a4，•••，a40，
∵更正前的方差为70，
∴（60﹣80）2+（90﹣80）2+（a3﹣80）2+•••+（a40﹣80）2＝70×40，
∴（60﹣80）2+（90﹣80）2+（a3﹣80）2+•••+（a40﹣80）2＝70×40，
∴（a3﹣80）2+•••+（a40﹣80）2＝2800﹣400﹣100＝2300，
∴更正后的方差为：
S2=(80−80)2+(70−80)2+(a3−80)2+(a40−80)240=100+230040=60，
∴更正后的方差为60．
故答案为：60．
15．如果数据x1、x2、…、xn的平均值为10，方差为3，则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的平均值为 35 ，方差为 27 ．
【分析】根据平均数的计算公式与方差的计算公式即可求解．
【解答】解：因为x1，x2，…，xn的平均值为10，
所以3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的平均值3(x1+x2+...+xn)n+5＝35，
其方差为1n[(3x1−30)2+(3x2−30)2+...+(3xn−30)2]＝9×3＝27．
故答案为：35，27．
16．已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为 7 ．
【分析】根据题意，设原数据为a1，a2，a3，a4，a5，a6，则有i=16 ai=6×4=24，16i=16 (ai−4)2=8，由平均数、方差的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设原数据为a1，a2，a3，a4，a5，a6，则i=16 ai=6×4=24，16i=16 (ai−4)2=8
加入2和6两个新数据后，所得8个数据的平均数为i=16 ai+2+68=4，
所得8个数据的方差为s2=i=16 (ai−4)2+(2−4)2+(6−4)28=48+4+48=7．
故选：7．
17．已知一组样本数据1，2，m，8的极差为8，若m＞0，则其方差为 12.5 ．
【分析】求出m的值，再得到样本数据的平均数，代入方差公式，计算即可．
【解答】解：∵一组样本数据1，2，m，8的极差为8，且m＞0，
∴m﹣1＝8，解得m＝9，
∵x=1+2+8+94=5，
∴该样本数据的方差为14[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2]＝12.5，
故答案为：12.5．
18．已知一组数据：﹣1，1，0，m，3的方差为2，则数据﹣1，3，1，2m+1，7的方差为 8 ．
【分析】由一组数据：﹣1，1，0，m，3的方差为2，﹣1＝2×（﹣1）+1，3＝2×1+1，1＝2×0+1，7＝2×3+1，能求出数据﹣1，3，1，2m+1，7的方差．
【解答】解：因为一组数据：﹣1，1，0，m，3的方差为2，
﹣1＝2×（﹣1）+1，3＝2×1+1，1＝2×0+1，7＝2×3+1，
∴数据﹣1，3，1，2m+1，7的方差为：
D（2m+1）＝4D（m）＝8．
故答案为：8．
19．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是 153 ．
【分析】先求出数据的平均数，由方差的计算公式求出方差，进而求解标准差即可．
【解答】解：由题意可知，该组数据的平均数为16×(6+7+8+8+9+10)=8，
所以该组数据的方差为s2=16×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=53，
故该组数据的标准差是53=153．
故答案为：153．
20．2021年7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金．已知杨倩其中5次射击命中的环数如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，则这组数据的方差为 0.128 ．
【分析】先求出这组数据的平均数，再利用方差公式求解．
【解答】解：平均数x=10.8+10.6+10.6+10.7+9.85=10.5，
∴方差s2=15[（10.8﹣10.5）2+2×（10.6﹣10.5）2+（10.7﹣10.5）2+（9.8﹣10.5）2]＝0.128，
故答案为：0.128．
21．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分2；乙班的平均成绩为85分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 80 分，方差是 100 分2．
【分析】由已知数据代入总体平均数及总体方差公式计算即可．
【解答】解：甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是5050+40×76+4050+40×85＝80（分）；
甲、乙两班全部90名学生的方差是190{50[96+（76﹣80）2]+40[60+（85﹣80）2]}＝100（分2）．
22．如图，这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩（满分100分）的茎叶图．去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 5.6或285 ．
【分析】根据茎叶图和平均数、方差的定义，计算即可．
【解答】解：根据茎叶图知，去掉一个最高分96和一个最低分78后，
所剩的数据为82，84，84，86，89；
计算这5个数据的平均数是x=15×（82+84+84+86+89）＝85，
方差是s2=15×[（82﹣85）2+（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（89﹣85）2]=285=5.6．
故答案为：5.6或285．
23．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取4个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为6，样本方差为5，则样本数据中的最小值是 3 ．
【分析】根据题意，设样本数据从小到大依次为x1，x2，x3，x4，由平均数、方差公式计算可得2≤x1≤4，按x1的值分情况讨论，求出其他数据，验证是否能满足样本平均数为6，样本方差为5，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设样本数据从小到大依次为x1，x2，x3，x4，
若样本数据x1，x2，x3，x4的平均数为6，方差为5，
则有x=14（x1+x2+x3+x4）＝6，即x1+x2+x3+x4＝24，又由每个班抽取的人数互不相同，则有x1≤4
s2=14[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]＝5，则有（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2＝20，
又由每个班抽取的人数互不相同，则有（x1﹣6）2≤18，则有2≤x1＜6
则有2≤x1≤4，
若x1＝2，此时（x1﹣6）2＝16，则有（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2＝4，必有x2＝4，x3＝6，x4＝8，此时样本的平均数x=2+4+6+84=5，不符合题意；
若x1＝4，此时x2＝5，x3＝6，x4＝7，此时样本的方差s2=14[（5﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]=94，不符合题意；
若x1＝3，则有x2+x3+x4＝21，（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2＝11，此时样本数据为3，5，7，9，符合题意；
故样本数据中的最小值是3；
故答案为：3
24．甲、乙两组数据如表所示，其中a，b∈N*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使乙组数据的方差小于甲组数据的方差，则（a，b）为 （6，6）（其它答案：（5，7），（7，5），（4，8），（8，4）） ．（只需填一组）
【分析】根据平均数与方差的定义，得到a，b满足的条件，求解即可．
【解答】解：设甲，乙两组数据的平均数分别为x1，x2，方差分别为s12，s22，
因为甲，乙两组数据的平均数相等，
所以1+2+4+7+11＝1+2+a+b+10，
解得a+b＝12，x1＝x2＝5，
因为s12=15×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（4﹣5）2+（7﹣5）2+（11﹣5）2]，
s22=15×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（a﹣5）2+（b﹣5）2+（10﹣5）2]，
因为s12＞s22，且a，b∈N*，
所以满足条件的（a，b）可以是（6，6），（5，7），（7，5），（4，8），（8，4）．
故答案为：（6，6）（其它答案：（5，7），（7，5），（4，8），（8，4））
25．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是2，则xy＝ 96 ．
【分析】先由平均数的公式列出x+y＝20，然后根据方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值．
【解答】解：根据平均数及方差公式，可得：9+10+11+x+y＝10×5，
即x+y＝20，
∵标准差是2，∴方差为2．
∴15[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（x﹣10）2+（y﹣10）2]＝2，
即（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8，
∴解得x＝8，y＝12或x＝12，y＝8，
则xy＝96，
故答案为：96．
26．若一组样本数据11，9，x，10，8的平均数为10，则该组样本数据的标准差为 2 ．
【分析】由已知条件先求出平均数，再利用方差公式求出该组样本数据的方差．
【解答】解：因为一组样本数据11，9，x，10，8的平均数为10，
∴x=15×（9+8+x+10+11）＝10，
解得x=12，
∴该组样本数据的方差S2=15×[（11﹣10）2+（9﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（10﹣10）2]＝2．
该组样本数据的标准差为2；
故答案为：2．
27．甲、乙两组数据如表所示，其中a，b∈N*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则（a，b）为 （6，6）（其它答案；（5，7），（7，5），（4，8），（8，4）） ．（只需填一组）
【分析】由平均数相等求出a+b的值，再利用方差列出不等式，求解即可．
【解答】解：由题意可得，1+2+a+b+10＝1+2+4+7+11，
所以a+b＝12，平均数为5，
因为甲组数据的方差小于乙组数据的方差，
所以（1﹣5）2+（2﹣5）2+（a﹣5）2+（b﹣5）2+（10﹣5）2＜（1﹣5）2+（2﹣5）2+（4﹣5）2+（7﹣5）2+（11﹣5）2，
即（a﹣5）2+（b﹣5）2＜16，
所以（a，b）可以为（4，8），（6，6），（5，7），（7，5），（8，4）．
故答案为：（6，6）（其它答案：（5，7），（7，5），（4，8），（8，4））．
28．已知等差数列a1，a2，…，a9的公差为3，随机变量ξ等可能地取值a1，a2，…，a9，则方差Dξ＝ 60 ．
【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式先求出Eξ＝a1+12，由此能求出Dξ．
【解答】解：∵等差数列a1，a2，…，a9的公差为3，
随机变量ξ等可能地取值a1，a2，…，a9，
∴Eξ=19（9a1+9×82×3）＝a1+12，
∴Dξ=19[（﹣12）2+（﹣9）2+（﹣6）2+（﹣3）2+02+32+62+92+122]＝60．
故答案为：60．
29．数组3，4，5，6，7的方差为 2 ．
【分析】先求出平均数，再利用方差的公式求解即可．
【解答】解：∵3，4，5，6，7的平均数为3+4+5+6+75=5，
∴方差为s2=15[（﹣2）2+（﹣1）2+12+22]＝2，
故答案为：2．
30．设一组样本数据x1，x2，•••，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，•••，10xn的方差为 1 ．
【分析】根据题意，由方差的性质，若x1，x2，•••，xn的方差为s2，则ax1，ax2•••，axn的方差为a2s2，据此计算可得答案．
【解答】解：根据题意，一组样本数据x1，x2，•••，xn的方差S2＝0.01，
则数据10x1，10x2，•••，10xn的方差为102×S2＝1；
故答案为：1
四．解答题（共7小题）
31．某学校高一100名学生参加数学考试，成绩均在40分到100分之间．学生成绩的频率分布直方图如图：
（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）
（2）某老师抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x=90，标准差s＝6，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差．
（参考公式：s=i=1n xi2−nx2n）
（参考数据：2102＝44100，1922＝36864，1102＝12100）
【分析】（1）根据频率分布直方图求解平均数以及中位数的公式即可求解；（2）根据平均数以及标准差的求解公式即可求解．
【解答】解：（1）因为0.05+0.15+0.25＝0.45＜+0.15+0.25+0.35＝0.8＞0.5，
所以中位数为x满足70＜x＜80，
由(80−x10)×0.35+0.1+0.1=0.5，解得x=80−607≈71.4，
设平均分为y，
则y＝0.05×45+0.15×55+0.25×65+0.35×75+0.1×85+0.1×95＝71.0，
（2）由题意，剩余8个分数的平均值为x0=10x−100−808=90，
因为10个分数的标准差s=i=110 xi2−10×(90)210=6，
所以x12+...+x102=10×(6)2+10×(90)2=81360，
所以剩余8个分数的标准差为s0=(x12+⋯+x102)−802−1002−8×(90)28=20=25．
32．如图是校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图．
（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；
（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？
【分析】（1）由茎叶图可知由茎叶图可知，乙选手得分为79，84，84，84，86，87，93，即可写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；
（2）求出甲、乙两位选手，去掉最高分和最低分的平均数与方差，即可得出结论．
【解答】解：（1）由茎叶图可知，乙选手得分为79，84，84，84，86，87，93，
所以众数为84，中位数为84；
（2）甲选手评委打出的最低分为84，最高分为93，去掉最高分和最低分，其余得分为86，86，87，89，92，
故平均分为（86+86+87+89+92）÷5＝88，S甲2=5.2；
乙选手评委打出的最低分为79，最高分为93，去掉最高分和最低分，其余得分为84，84，84，86，87，
故平均分为（84+84+86+84+87）÷5＝85，S乙2=1.6，
∴乙选手的数据波动小．
33．某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题．答题选手要从“科技”和“文艺“两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分．
（Ⅰ）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号；
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
（Ⅱ）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号；
（Ⅲ）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目．其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为53；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为52，求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差．
【分析】（Ⅰ）由随机数表法取出10个数据，即可得出所求编号；
（Ⅱ）按照系统抽样法，根据抽出的最小编号得出最大编号号码；
（Ⅲ）平均数与方差的定义求出对应的样本平均数和方差即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，读出的编号依次是：
20，96（超界），43，84（超界），26，34，91（超界），
64，84（重复超界），42，17，53，31，57．
所以抽取的有效编号第6个为42；
（Ⅱ）按照等距系统抽样法，且抽出的最小编号为06，组距为8，
则最大的编号为6+9×8＝78；
（Ⅲ）记样本中6人题目成绩分别为x1，x2，…x6，4人题目成绩分别为y1，y2，y3，y4；
由题意可知i=16 xi＝6×7＝42，i=16 (xi−7)2=6×53=10，i=14 yi＝4×8＝32，i=14 (yi−8)2=4×52=10，
故样本平均数为x=16+4×（i=16 xi+i=14 yi）=110×（42+32）＝7.4；
样本方差为s2=16+4×[i=16 (xi−7.4)2+i=14 (yi−7.4)2]
=110×{i=16 [(xi−7)−0.4]2+i=14 [(yi−8)+0.6]2}
=110×[i=16 （xi﹣7）2﹣0.8i=16 （xi﹣7）+6×0.42+i=14 （yi﹣8）2+1.2i=14 （yi﹣8）+4×0.62]
=110×（10﹣0+0.96+10+0+1.44）
＝2.24．
34．最近我校对高一学生进行了体检，为了了解甲乙两班男生的身高状况，随机从甲乙两班中各抽取10名男生的身高（单位cm），绘制身高的茎叶图如图：
（1）通过茎叶图判断哪个班男生的平均身高较高？
（2）计算甲班的样本方差．
（3）现从乙班样本身高不低于172cm的同学中随机抽取两名同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．
【分析】（1）根据茎叶图将甲、乙两组同学的身高的数据还原，求出平均数即得甲班男生的平均身高较高；
（2）根据甲班10位同学身高的数据，结合方差计算公式算出10位同学身高的方差，即得甲班的样本方差；
（3）根据乙班样本身高不低于172cm的同学共有5人，可求随机抽取两名同学，身高为176cm的同学被抽中的概率．
【解答】解：（1）由茎叶图，得甲班的10名同学的身高分别为
182 179 179 171 170 168 168 163 162 158，
乙班的10名同学的身高分别为
181 170 173 176 178 178 162 165 168 159，
∴x甲=170，x乙=171，
∴乙班男生的平均身高较高；
（2）样本方差为110[（182﹣170）2+（179﹣170）2+…+（158﹣170）2]＝57.2
（3）乙班样本身高不低于172cm的同学共有5人，随机抽取两名同学，身高为176cm的同学被抽中的概率为C41C52=25．
35．李明上高一时每天中午和晚上都在学校的食堂就餐，学校为了方便学生就餐，发行“校园一卡通”，该校的学生家长可以随时通过手机给其子女的“校园一卡通”充值，为了给李明的“校园一卡通”每周充入适当数量的钱，李明的家长随机考察了李明班级每天中午和晚上都在学校食堂就餐的6个同学一个星期在学校的就餐费用，并制作如图所示的茎叶图，在制作时有1个数据模糊，李明的家长便在图中以x表示，他记得这6个同学一个星期在学校的就餐费用，如果去掉一个费用最高的，去掉一个费用最低的，剩余4个同学费用的平均数为91元．
（1）求整数x的取值组成的集合；
（2）一般地，把抽取所得的随机数据中，去掉最大的一个，再去掉最小的一个，如果剩余的数据的方差在0～2之间，我们认为抽取的数据是非常完美的数据，试说明李明的家长抽取的数据是否是非常完美的数据．
【分析】（1）讨论最大的数据是93或90+x，从而求得整数x的取值集合；
（2）去掉一个费用最大的和最小的数据，计算剩余4个数据的平均数和方差即可．
【解答】解：（1）他抽取的6个数据是87，93，90，90+x，90，91；
其中最小的数据是87，最大的数据是93或90+x；
如果最大的数据是93，则0≤x≤314×(90+90+x+90+91)=91，解得x＝3；
如果最大的数据是90+x，则3≤x≤914×(93+90+90+91)=91，解得x＝3，4，5，6，7，8，9；
所以整数x的取值组成的集合是{3，4，5，6，7，8，9}；
（2）由（1）知，去掉一个费用最大的90+x，去掉一个费用最小的87，剩余4个数据为93，90，90，91；
计算这4个数据的平均数为x=14×（93+90+90+91）＝91，
方差为s2=14×[（93﹣91）2+（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2]=32，
又32在0～2之间，所以我们认为抽取的数据是非常完美的数据．
36．从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额如下：
甲：5，6，8，10，10，14，18，18，22，25，27，30，30，41，43，58
乙：10，23，27，12，43，48，18，20，22，23，31，32，34，34，38，42，
（1）画出茎叶图．
（2）求出甲、乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？
（3）不用计算比较甲、乙两组数据的平均数和方差的大小．
【分析】（1）将数的十位作为一个主干（茎），将个位数作为分枝（叶），列在主干的左或右面，画出茎叶图
（2）由茎叶图知，这组数据的极差是最大值﹣最小值，找出数据中最多的数据众数是出现次最多的数，把数据按照从小到大的顺序排列得到中位数．
（3）首先写出数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据代入计算表示出数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果．
【解答】解：（1）
（2）
（3）甲的平均数小于乙的平均数．甲的方差大于乙的方差．（12分）
37．从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）．
【分析】运用样本平均数和样本方差公式，即可求出．
【解答】解：抽取产品的质量指标值的样本平均数为：
x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02＝200．
抽取产品的质量指标值的样本方差为：
s2＝（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02＝150．甲的成绩
乙的成绩
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
频数
4
6
6
4
场次
1
2
3
4
5
6
小明得分
30
15
23
33
17
8
小张得分
22
20
31
10
34
9
甲
1
2
4
7
11
乙
1
2
a
b
10
甲
1
2
a
b
10
乙
1
2
4
7
11
甲的成绩
乙的成绩
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
频数
4
6
6
4
场次
1
2
3
4
5
6
小明得分
30
15
23
33
17
8
小张得分
22
20
31
10
34
9
甲
1
2
4
7
11
乙
1
2
a
b
10
甲
1
2
a
b
10
乙
1
2
4
7
11
中位数
众数
极差
甲
20
10，18，30
53
乙
29
23，34
38
A．平均数B．众数C．方差D．中位数
2．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差s2为（ ）
A．52B．3C．72D．4
3．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中x≠7），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的方差是（ ）
A．133B．143C．163D．173
4．大足中学高一20位青年教师的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x20，其均值和方差分别为x和s2，若从下月起每位教师月工资增加200元，则这20位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
A．x，s2+2002B．x+200，s2+2002
C．x，s2D．x+200，s2
5．小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2．加上这个数后的这组数据（ ）
A．平均数等于10，方差等于2
B．平均数等于10，方差小于2
C．平均数大于10，方差小于2
D．平均数小于10，方差大于2
6．在一次数学测试中，某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8，则该班甲同学的数学成绩不可能是（ ）
A．60B．70C．80D．90
7．甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人的测试成绩如表
s1，s2分别表示甲乙两名运动员在这次测试中成绩的标准差，x1，x2分别表示甲、乙两名运动员这次测试中成绩的平均数，则有（ ）
A．x1＞x2，s1＞s2B．x1=x2，s1＞s2
C．x1=x2，s1＝s2D．x1＜x2，s1＞s2
8．已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
9．抛掷一个质地均匀四个面上分别标有数字1，2，3，4的正四面体4次，分别记录正四面体朝下面的数字，根据统计结果，可以判断出一定没有数字4的是（ ）
A．平均数是2，方差是0.5B．众数是2，中位数是2
C．平均数是2，众数是1D．中位数是3，方差是0.5
10．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i=14 pi=1，则以下四种情形中，对应样本的方差最大的一组是（ ）
A．p1＝p4＝0.15，p2＝p3＝0.35
B．p1＝p4＝0.45，p2＝p3＝0.05
C．p1＝p4＝0.25，p2＝p3＝0.25
D．p1＝p4＝0.35，p2＝p3＝0.15
二．多选题（共2小题）
11．某校举行篮球比赛，两队长小明和小张在总共6场比赛中得分情况如表：
则下列说法正确的是（ ）
A．小明得分的极差小于小张得分的极差
B．小明得分的中位数小于小张得分的中位数
C．小明得分的平均数大于小张得分的平均数
D．小明的成绩比小张的稳定
12．有一组样本数据x1，x2，…，xn和一组样本数据y1，y2，…，yn，如果y1＝x1+b，y2＝x2+b，…，yn＝xn+b，其中b为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本方差相同
C．两组样本数据的样本中位数相同
D．两组样本数据的样本极差相同
三．填空题（共18小题）
13．今年5月1日，某校5名教师在“学习强国”平台，上的当日积分依次为43，49，50，52，56，则这5个数据的方差是 ．
14．某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有误，甲实得80分错记为60分，乙实得70分错记为90分，则更正后的方差为 ．
15．如果数据x1、x2、…、xn的平均值为10，方差为3，则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的平均值为 ，方差为 ．
16．已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为 ．
17．已知一组样本数据1，2，m，8的极差为8，若m＞0，则其方差为 ．
18．已知一组数据：﹣1，1，0，m，3的方差为2，则数据﹣1，3，1，2m+1，7的方差为 ．
19．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是 ．
20．2021年7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金．已知杨倩其中5次射击命中的环数如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，则这组数据的方差为 ．
21．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分2；乙班的平均成绩为85分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 分，方差是 分2．
22．如图，这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩（满分100分）的茎叶图．去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 ．
23．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取4个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为6，样本方差为5，则样本数据中的最小值是 ．
24．甲、乙两组数据如表所示，其中a，b∈N*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使乙组数据的方差小于甲组数据的方差，则（a，b）为 ．（只需填一组）
25．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是2，则xy＝ ．
26．若一组样本数据11，9，x，10，8的平均数为10，则该组样本数据的标准差为 ．
27．甲、乙两组数据如表所示，其中a，b∈N*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则（a，b）为 ．（只需填一组）
28．已知等差数列a1，a2，…，a9的公差为3，随机变量ξ等可能地取值a1，a2，…，a9，则方差Dξ＝ ．
29．数组3，4，5，6，7的方差为 ．
30．设一组样本数据x1，x2，•••，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，•••，10xn的方差为 ．
四．解答题（共7小题）
31．某学校高一100名学生参加数学考试，成绩均在40分到100分之间．学生成绩的频率分布直方图如图：
（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）
（2）某老师抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x=90，标准差s＝6，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差．
（参考公式：s=i=1n xi2−nx2n）
（参考数据：2102＝44100，1922＝36864，1102＝12100）
32．如图是校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图．
（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；
（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？
33．某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题．答题选手要从“科技”和“文艺“两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分．
（Ⅰ）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号；
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
（Ⅱ）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号；
（Ⅲ）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目．其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为53；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为52，求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差．
34．最近我校对高一学生进行了体检，为了了解甲乙两班男生的身高状况，随机从甲乙两班中各抽取10名男生的身高（单位cm），绘制身高的茎叶图如图：
（1）通过茎叶图判断哪个班男生的平均身高较高？
（2）计算甲班的样本方差．
（3）现从乙班样本身高不低于172cm的同学中随机抽取两名同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．
35．李明上高一时每天中午和晚上都在学校的食堂就餐，学校为了方便学生就餐，发行“校园一卡通”，该校的学生家长可以随时通过手机给其子女的“校园一卡通”充值，为了给李明的“校园一卡通”每周充入适当数量的钱，李明的家长随机考察了李明班级每天中午和晚上都在学校食堂就餐的6个同学一个星期在学校的就餐费用，并制作如图所示的茎叶图，在制作时有1个数据模糊，李明的家长便在图中以x表示，他记得这6个同学一个星期在学校的就餐费用，如果去掉一个费用最高的，去掉一个费用最低的，剩余4个同学费用的平均数为91元．
（1）求整数x的取值组成的集合；
（2）一般地，把抽取所得的随机数据中，去掉最大的一个，再去掉最小的一个，如果剩余的数据的方差在0～2之间，我们认为抽取的数据是非常完美的数据，试说明李明的家长抽取的数据是否是非常完美的数据．
36．从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额如下：
甲：5，6，8，10，10，14，18，18，22，25，27，30，30，41，43，58
乙：10，23，27，12，43，48，18，20，22，23，31，32，34，34，38，42，
（1）画出茎叶图．
（2）求出甲、乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？
（3）不用计算比较甲、乙两组数据的平均数和方差的大小．
37．从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）．
人教版2022届一轮复习打地基练习 极差方差与标准差
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在某次测量中得到的A样本数据如下：17，25，11，27，18，19，31，27，41，16．若B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．平均数B．众数C．方差D．中位数
【分析】B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的平均数、众数、中位数都发生改变，由方差的计算公式得A，B两样本的方差不会变．
【解答】解：在某次测量中得到的A样本数据如下：17，25，11，27，18，19，31，27，41，16．
若B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，
则A，B两样本的平均数、众数、中位数都发生改变，
其中B样本平均数、众数、中位数都比A样本的平均数、众数、中位数小2，
由方差的计算公式得A，B两样本的方差不会变．
故选：C．
2．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差s2为（ ）
A．52B．3C．72D．4
【分析】根据平均数和方差的定义，计算加入一个新数据后，这组数据的平均数和方差．
【解答】解：因为7个数据的平均数为5，方差为4，
又加入一个新数据5，则这8个数的平均数为x=5×7+58=5，
方差为s2=18×[4×7+（5﹣5）2]=72．
故选：C．
3．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中x≠7），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的方差是（ ）
A．133B．143C．163D．173
【分析】该组数据的中位数是众数的54倍，求出x＝6，从而该组数据的平均数为x=5，由此能求出该组数据的方差．
【解答】解：一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中x≠7），
该组数据的中位数是众数的54倍，
∴4+x2=4×54，解得x＝6，
∴该组数据的平均数为x=16（1+4+4+6+7+8）＝5，
∴该组数据的方差是S2=16[（1﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2+（8﹣5）2]=163．
故选：C．
4．大足中学高一20位青年教师的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x20，其均值和方差分别为x和s2，若从下月起每位教师月工资增加200元，则这20位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
A．x，s2+2002B．x+200，s2+2002
C．x，s2D．x+200，s2
【分析】根据已知条件，结合随机变量函数线性方差公式E（aX+b）＝aE（x）+b，D（aX+b）＝a2D（X），即可求解．
【解答】解：设大足中学高一20位青年教师的下月工资为y1，y2，•••，y20，平均数为y，方差为s12，
∵从下月起每位教师月工资增加200元，
∴y1＝x1+200，y2＝x2+200，•••，y20＝x20+200，
∴由随机变量函数线性方差公式，可得y=x+200，s12=12s2＝s2．
故选：D．
5．小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2．加上这个数后的这组数据（ ）
A．平均数等于10，方差等于2
B．平均数等于10，方差小于2
C．平均数大于10，方差小于2
D．平均数小于10，方差大于2
【分析】设数据为x1，x2，…，xn的平均数为10，方差为2，根据平均数与方差的定义，计算添上数据10后这组数据的平均数和方差即可．
【解答】解：设这组数据为x1，x2，…，xn，它的平均数为10，方差为2，
所以x1+x2+…+xn＝10n，(x1−10)2+(x2−10)2+⋯+(xn−10)2=2n，
添上数据10后，这组数据的平均数为1n+1×（x1+x2+…+xn+10）=1n+1×（10n+10）＝10，
方差为1n+1[(x1−10)2+(x2−10)2+⋯+(xn−10)2+（10﹣10）2]＝2•nn+1＜2．
所以加上这个数后的这组数据平均数等于10，方差小于2．
故选：B．
6．在一次数学测试中，某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8，则该班甲同学的数学成绩不可能是（ ）
A．60B．70C．80D．90
【分析】设甲的得分为x，则（x﹣82）2＜50×8，由此能求出该班甲同学的数学成绩不可能是60．
【解答】解：在一次数学测试中，某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8，
设甲的得分为x，则（x﹣82）2＜50×8，
解得62＜x＜102．
∴该班甲同学的数学成绩不可能是60．
故选：A．
7．甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人的测试成绩如表
s1，s2分别表示甲乙两名运动员在这次测试中成绩的标准差，x1，x2分别表示甲、乙两名运动员这次测试中成绩的平均数，则有（ ）
A．x1＞x2，s1＞s2B．x1=x2，s1＞s2
C．x1=x2，s1＝s2D．x1＜x2，s1＞s2
【分析】分别做出甲的平均成绩和乙的平均成绩，两个人的平均成绩相等，分别做出两个人的方差，甲的方差大于乙的方差即甲的标准差大于乙的标准差．
【解答】解：甲的平均成绩是7×6+8×4+9×4+10×620=8.5，
乙的平均成绩是7×4+8×6+9×6+10×420=8.5，
乙的方差是2.25×0.2+0.25×0.3+0.25×0.3+2.25×0.2＝1.05，
甲的方差是2.25×0.3+0.25×0.2+0.25×0.2+2.25×0.3＝1.225，
∴甲和乙的平均成绩相等，甲的方差比乙的方差大即甲的标准差比乙的标准差大，
故选：B．
8．已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（ ）
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
【分析】由于数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，我们根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入xn+1后，数据的变化特征，易得到答案．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，
而xn+1为世界首富的年收入
则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，
故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，
但中位数可能不变，也可能稍微变大，
但由于数据的集中程序也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大
故选：B．
9．抛掷一个质地均匀四个面上分别标有数字1，2，3，4的正四面体4次，分别记录正四面体朝下面的数字，根据统计结果，可以判断出一定没有数字4的是（ ）
A．平均数是2，方差是0.5B．众数是2，中位数是2
C．平均数是2，众数是1D．中位数是3，方差是0.5
【分析】依据平均数，众数，方差，中位数的定义，对四个选项依次验证即可．
【解答】解：对于选项A：若有4，由平均数为2得4个数为1，1，2，4，
故方差不是0.5，故A一定没有数字4，故A正确，
对于选项B：1，2，2，4满足条件，故B错，
对于选项C：1，1，2，4满足条件，故C错，
对于选项D：2，3，3，4满足条件，故D错，
故选：A．
10．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i=14 pi=1，则以下四种情形中，对应样本的方差最大的一组是（ ）
A．p1＝p4＝0.15，p2＝p3＝0.35
B．p1＝p4＝0.45，p2＝p3＝0.05
C．p1＝p4＝0.25，p2＝p3＝0.25
D．p1＝p4＝0.35，p2＝p3＝0.15
【分析】根据题意，依次计算选项中数据的方差，比较可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，E（x）＝1×0.15+2×0.35+3×0.35+4×0.15＝2.5，所以D（x）＝（1﹣2.5）2×0.15+（2﹣2.5）2×0.35+（3﹣2.5）2×0.35+（4﹣2.5）2×0.15＝0.85；
对于B，E（x）＝1×0.45+2×0.05+3×0.05+4×0.45＝2.5，所以D（x）＝（1﹣2.5）2×0.45+（2﹣2.5）2×0.05+（3﹣2.5）2×0.05+（4﹣2.5）2×0.45＝2.05；
对于C，E（x）＝1×0.25+2×0.25+3×0.25+4×0.25＝2.5，所以D（x）＝（1﹣2.5）2×0.25+（2﹣2.5）2×0.25+（3﹣2.5）2×0.25+（4﹣2.5）2×0.25＝1.25；
对于D，E（x）＝1×0.35+2×0.15+3×0.15+4×0.45＝2.5，所以D（x）＝（1﹣2.5）2×0.35+（2﹣2.5）2×0.15+（3﹣2.5）2×0.15+（4﹣2.5）2×0.35＝1.65；
B选项对应样本的方差最大．
故选：B．
二．多选题（共2小题）
11．某校举行篮球比赛，两队长小明和小张在总共6场比赛中得分情况如表：
则下列说法正确的是（ ）
A．小明得分的极差小于小张得分的极差
B．小明得分的中位数小于小张得分的中位数
C．小明得分的平均数大于小张得分的平均数
D．小明的成绩比小张的稳定
【分析】利用极差、中位数、方差、平均数的定义直接求解．
【解答】解：在A中小明得分的极差为：33﹣8＝25，小张得分的极差为：34﹣9＝25，极差相等，故A错误；
在B中小明得分的中位数为17+232=20，小张得分的中位数为20+222=21，故B正确；
在C中，小明和小张的平均分均为21分，故C错误；
在统计表中，能看出小明得分相对集中，小张的相对分散，所以小明的成绩比小张稳定，故D正确．
故选：BD．
12．有一组样本数据x1，x2，…，xn和一组样本数据y1，y2，…，yn，如果y1＝x1+b，y2＝x2+b，…，yn＝xn+b，其中b为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本方差相同
C．两组样本数据的样本中位数相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【分析】直接利用平均数、中位数、方差、极差的定义判断即可．
【解答】解：对于A，设数据x1，x2，…，xn的平均数为x，则数据y1，y2，…，yn的平均数为x+b，两组数据的平均数不相同，A错误；
对于B，设数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据y1，y2，…，yn的方差也为s2，两组数据的方差相同，B正确；
对于C，设数据x1，x2，…，xn的中位数是a，则数据y1，y2，…，yn的中位数是a+b，两组数据的中位数不相同，C错误；
对于D，因为yi＝xi+b（i＝1，2，…，n），b为非零常数，所以数据xi的极差为xmax﹣xmin，数据yi的极差为（xmax+b）﹣（xmin+b）＝xmax﹣xmin，
所以两组样本数据的极差相同，D正确．
故选：BD．
三．填空题（共18小题）
13．今年5月1日，某校5名教师在“学习强国”平台，上的当日积分依次为43，49，50，52，56，则这5个数据的方差是 18 ．
【分析】根据题意求出平均数，再利用方差公式求出方差．
【解答】解：∵x=43+49+50+52+565=50，
∴s2=49+1+4+365=18，
故答案为：18．
14．某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有误，甲实得80分错记为60分，乙实得70分错记为90分，则更正后的方差为 60 ．
【分析】先判断更正前后平均分没有变化都是80分，再根据方差的概念表示出更正前的方差和更正后的方差，比较其异同，然后整体代入即可求解．
【解答】解：∵甲实得分为80分，记为60分，少记20分，乙实得70分，记为90分，多记20分，
∴总分没有变化，∴更正前后的平均分没有变化，都是80分，
设甲乙以外的其他同学的成绩分别为a3，a4，•••，a40，
∵更正前的方差为70，
∴（60﹣80）2+（90﹣80）2+（a3﹣80）2+•••+（a40﹣80）2＝70×40，
∴（60﹣80）2+（90﹣80）2+（a3﹣80）2+•••+（a40﹣80）2＝70×40，
∴（a3﹣80）2+•••+（a40﹣80）2＝2800﹣400﹣100＝2300，
∴更正后的方差为：
S2=(80−80)2+(70−80)2+(a3−80)2+(a40−80)240=100+230040=60，
∴更正后的方差为60．
故答案为：60．
15．如果数据x1、x2、…、xn的平均值为10，方差为3，则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的平均值为 35 ，方差为 27 ．
【分析】根据平均数的计算公式与方差的计算公式即可求解．
【解答】解：因为x1，x2，…，xn的平均值为10，
所以3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的平均值3(x1+x2+...+xn)n+5＝35，
其方差为1n[(3x1−30)2+(3x2−30)2+...+(3xn−30)2]＝9×3＝27．
故答案为：35，27．
16．已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为 7 ．
【分析】根据题意，设原数据为a1，a2，a3，a4，a5，a6，则有i=16 ai=6×4=24，16i=16 (ai−4)2=8，由平均数、方差的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设原数据为a1，a2，a3，a4，a5，a6，则i=16 ai=6×4=24，16i=16 (ai−4)2=8
加入2和6两个新数据后，所得8个数据的平均数为i=16 ai+2+68=4，
所得8个数据的方差为s2=i=16 (ai−4)2+(2−4)2+(6−4)28=48+4+48=7．
故选：7．
17．已知一组样本数据1，2，m，8的极差为8，若m＞0，则其方差为 12.5 ．
【分析】求出m的值，再得到样本数据的平均数，代入方差公式，计算即可．
【解答】解：∵一组样本数据1，2，m，8的极差为8，且m＞0，
∴m﹣1＝8，解得m＝9，
∵x=1+2+8+94=5，
∴该样本数据的方差为14[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2]＝12.5，
故答案为：12.5．
18．已知一组数据：﹣1，1，0，m，3的方差为2，则数据﹣1，3，1，2m+1，7的方差为 8 ．
【分析】由一组数据：﹣1，1，0，m，3的方差为2，﹣1＝2×（﹣1）+1，3＝2×1+1，1＝2×0+1，7＝2×3+1，能求出数据﹣1，3，1，2m+1，7的方差．
【解答】解：因为一组数据：﹣1，1，0，m，3的方差为2，
﹣1＝2×（﹣1）+1，3＝2×1+1，1＝2×0+1，7＝2×3+1，
∴数据﹣1，3，1，2m+1，7的方差为：
D（2m+1）＝4D（m）＝8．
故答案为：8．
19．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是 153 ．
【分析】先求出数据的平均数，由方差的计算公式求出方差，进而求解标准差即可．
【解答】解：由题意可知，该组数据的平均数为16×(6+7+8+8+9+10)=8，
所以该组数据的方差为s2=16×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=53，
故该组数据的标准差是53=153．
故答案为：153．
20．2021年7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金．已知杨倩其中5次射击命中的环数如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，则这组数据的方差为 0.128 ．
【分析】先求出这组数据的平均数，再利用方差公式求解．
【解答】解：平均数x=10.8+10.6+10.6+10.7+9.85=10.5，
∴方差s2=15[（10.8﹣10.5）2+2×（10.6﹣10.5）2+（10.7﹣10.5）2+（9.8﹣10.5）2]＝0.128，
故答案为：0.128．
21．甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分2；乙班的平均成绩为85分，方差为60分2．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 80 分，方差是 100 分2．
【分析】由已知数据代入总体平均数及总体方差公式计算即可．
【解答】解：甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是5050+40×76+4050+40×85＝80（分）；
甲、乙两班全部90名学生的方差是190{50[96+（76﹣80）2]+40[60+（85﹣80）2]}＝100（分2）．
22．如图，这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩（满分100分）的茎叶图．去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 5.6或285 ．
【分析】根据茎叶图和平均数、方差的定义，计算即可．
【解答】解：根据茎叶图知，去掉一个最高分96和一个最低分78后，
所剩的数据为82，84，84，86，89；
计算这5个数据的平均数是x=15×（82+84+84+86+89）＝85，
方差是s2=15×[（82﹣85）2+（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（89﹣85）2]=285=5.6．
故答案为：5.6或285．
23．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取4个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为6，样本方差为5，则样本数据中的最小值是 3 ．
【分析】根据题意，设样本数据从小到大依次为x1，x2，x3，x4，由平均数、方差公式计算可得2≤x1≤4，按x1的值分情况讨论，求出其他数据，验证是否能满足样本平均数为6，样本方差为5，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设样本数据从小到大依次为x1，x2，x3，x4，
若样本数据x1，x2，x3，x4的平均数为6，方差为5，
则有x=14（x1+x2+x3+x4）＝6，即x1+x2+x3+x4＝24，又由每个班抽取的人数互不相同，则有x1≤4
s2=14[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]＝5，则有（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2＝20，
又由每个班抽取的人数互不相同，则有（x1﹣6）2≤18，则有2≤x1＜6
则有2≤x1≤4，
若x1＝2，此时（x1﹣6）2＝16，则有（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2＝4，必有x2＝4，x3＝6，x4＝8，此时样本的平均数x=2+4+6+84=5，不符合题意；
若x1＝4，此时x2＝5，x3＝6，x4＝7，此时样本的方差s2=14[（5﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]=94，不符合题意；
若x1＝3，则有x2+x3+x4＝21，（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2＝11，此时样本数据为3，5，7，9，符合题意；
故样本数据中的最小值是3；
故答案为：3
24．甲、乙两组数据如表所示，其中a，b∈N*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使乙组数据的方差小于甲组数据的方差，则（a，b）为 （6，6）（其它答案：（5，7），（7，5），（4，8），（8，4）） ．（只需填一组）
【分析】根据平均数与方差的定义，得到a，b满足的条件，求解即可．
【解答】解：设甲，乙两组数据的平均数分别为x1，x2，方差分别为s12，s22，
因为甲，乙两组数据的平均数相等，
所以1+2+4+7+11＝1+2+a+b+10，
解得a+b＝12，x1＝x2＝5，
因为s12=15×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（4﹣5）2+（7﹣5）2+（11﹣5）2]，
s22=15×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（a﹣5）2+（b﹣5）2+（10﹣5）2]，
因为s12＞s22，且a，b∈N*，
所以满足条件的（a，b）可以是（6，6），（5，7），（7，5），（4，8），（8，4）．
故答案为：（6，6）（其它答案：（5，7），（7，5），（4，8），（8，4））
25．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是2，则xy＝ 96 ．
【分析】先由平均数的公式列出x+y＝20，然后根据方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出xy的值．
【解答】解：根据平均数及方差公式，可得：9+10+11+x+y＝10×5，
即x+y＝20，
∵标准差是2，∴方差为2．
∴15[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（x﹣10）2+（y﹣10）2]＝2，
即（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8，
∴解得x＝8，y＝12或x＝12，y＝8，
则xy＝96，
故答案为：96．
26．若一组样本数据11，9，x，10，8的平均数为10，则该组样本数据的标准差为 2 ．
【分析】由已知条件先求出平均数，再利用方差公式求出该组样本数据的方差．
【解答】解：因为一组样本数据11，9，x，10，8的平均数为10，
∴x=15×（9+8+x+10+11）＝10，
解得x=12，
∴该组样本数据的方差S2=15×[（11﹣10）2+（9﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（10﹣10）2]＝2．
该组样本数据的标准差为2；
故答案为：2．
27．甲、乙两组数据如表所示，其中a，b∈N*，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则（a，b）为 （6，6）（其它答案；（5，7），（7，5），（4，8），（8，4）） ．（只需填一组）
【分析】由平均数相等求出a+b的值，再利用方差列出不等式，求解即可．
【解答】解：由题意可得，1+2+a+b+10＝1+2+4+7+11，
所以a+b＝12，平均数为5，
因为甲组数据的方差小于乙组数据的方差，
所以（1﹣5）2+（2﹣5）2+（a﹣5）2+（b﹣5）2+（10﹣5）2＜（1﹣5）2+（2﹣5）2+（4﹣5）2+（7﹣5）2+（11﹣5）2，
即（a﹣5）2+（b﹣5）2＜16，
所以（a，b）可以为（4，8），（6，6），（5，7），（7，5），（8，4）．
故答案为：（6，6）（其它答案：（5，7），（7，5），（4，8），（8，4））．
28．已知等差数列a1，a2，…，a9的公差为3，随机变量ξ等可能地取值a1，a2，…，a9，则方差Dξ＝ 60 ．
【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式先求出Eξ＝a1+12，由此能求出Dξ．
【解答】解：∵等差数列a1，a2，…，a9的公差为3，
随机变量ξ等可能地取值a1，a2，…，a9，
∴Eξ=19（9a1+9×82×3）＝a1+12，
∴Dξ=19[（﹣12）2+（﹣9）2+（﹣6）2+（﹣3）2+02+32+62+92+122]＝60．
故答案为：60．
29．数组3，4，5，6，7的方差为 2 ．
【分析】先求出平均数，再利用方差的公式求解即可．
【解答】解：∵3，4，5，6，7的平均数为3+4+5+6+75=5，
∴方差为s2=15[（﹣2）2+（﹣1）2+12+22]＝2，
故答案为：2．
30．设一组样本数据x1，x2，•••，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，•••，10xn的方差为 1 ．
【分析】根据题意，由方差的性质，若x1，x2，•••，xn的方差为s2，则ax1，ax2•••，axn的方差为a2s2，据此计算可得答案．
【解答】解：根据题意，一组样本数据x1，x2，•••，xn的方差S2＝0.01，
则数据10x1，10x2，•••，10xn的方差为102×S2＝1；
故答案为：1
四．解答题（共7小题）
31．某学校高一100名学生参加数学考试，成绩均在40分到100分之间．学生成绩的频率分布直方图如图：
（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）
（2）某老师抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x=90，标准差s＝6，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差．
（参考公式：s=i=1n xi2−nx2n）
（参考数据：2102＝44100，1922＝36864，1102＝12100）
【分析】（1）根据频率分布直方图求解平均数以及中位数的公式即可求解；（2）根据平均数以及标准差的求解公式即可求解．
【解答】解：（1）因为0.05+0.15+0.25＝0.45＜+0.15+0.25+0.35＝0.8＞0.5，
所以中位数为x满足70＜x＜80，
由(80−x10)×0.35+0.1+0.1=0.5，解得x=80−607≈71.4，
设平均分为y，
则y＝0.05×45+0.15×55+0.25×65+0.35×75+0.1×85+0.1×95＝71.0，
（2）由题意，剩余8个分数的平均值为x0=10x−100−808=90，
因为10个分数的标准差s=i=110 xi2−10×(90)210=6，
所以x12+...+x102=10×(6)2+10×(90)2=81360，
所以剩余8个分数的标准差为s0=(x12+⋯+x102)−802−1002−8×(90)28=20=25．
32．如图是校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图．
（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；
（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？
【分析】（1）由茎叶图可知由茎叶图可知，乙选手得分为79，84，84，84，86，87，93，即可写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；
（2）求出甲、乙两位选手，去掉最高分和最低分的平均数与方差，即可得出结论．
【解答】解：（1）由茎叶图可知，乙选手得分为79，84，84，84，86，87，93，
所以众数为84，中位数为84；
（2）甲选手评委打出的最低分为84，最高分为93，去掉最高分和最低分，其余得分为86，86，87，89，92，
故平均分为（86+86+87+89+92）÷5＝88，S甲2=5.2；
乙选手评委打出的最低分为79，最高分为93，去掉最高分和最低分，其余得分为84，84，84，86，87，
故平均分为（84+84+86+84+87）÷5＝85，S乙2=1.6，
∴乙选手的数据波动小．
33．某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题．答题选手要从“科技”和“文艺“两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分．
（Ⅰ）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号；
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
（Ⅱ）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号；
（Ⅲ）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目．其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为53；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为52，求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差．
【分析】（Ⅰ）由随机数表法取出10个数据，即可得出所求编号；
（Ⅱ）按照系统抽样法，根据抽出的最小编号得出最大编号号码；
（Ⅲ）平均数与方差的定义求出对应的样本平均数和方差即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，读出的编号依次是：
20，96（超界），43，84（超界），26，34，91（超界），
64，84（重复超界），42，17，53，31，57．
所以抽取的有效编号第6个为42；
（Ⅱ）按照等距系统抽样法，且抽出的最小编号为06，组距为8，
则最大的编号为6+9×8＝78；
（Ⅲ）记样本中6人题目成绩分别为x1，x2，…x6，4人题目成绩分别为y1，y2，y3，y4；
由题意可知i=16 xi＝6×7＝42，i=16 (xi−7)2=6×53=10，i=14 yi＝4×8＝32，i=14 (yi−8)2=4×52=10，
故样本平均数为x=16+4×（i=16 xi+i=14 yi）=110×（42+32）＝7.4；
样本方差为s2=16+4×[i=16 (xi−7.4)2+i=14 (yi−7.4)2]
=110×{i=16 [(xi−7)−0.4]2+i=14 [(yi−8)+0.6]2}
=110×[i=16 （xi﹣7）2﹣0.8i=16 （xi﹣7）+6×0.42+i=14 （yi﹣8）2+1.2i=14 （yi﹣8）+4×0.62]
=110×（10﹣0+0.96+10+0+1.44）
＝2.24．
34．最近我校对高一学生进行了体检，为了了解甲乙两班男生的身高状况，随机从甲乙两班中各抽取10名男生的身高（单位cm），绘制身高的茎叶图如图：
（1）通过茎叶图判断哪个班男生的平均身高较高？
（2）计算甲班的样本方差．
（3）现从乙班样本身高不低于172cm的同学中随机抽取两名同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．
【分析】（1）根据茎叶图将甲、乙两组同学的身高的数据还原，求出平均数即得甲班男生的平均身高较高；
（2）根据甲班10位同学身高的数据，结合方差计算公式算出10位同学身高的方差，即得甲班的样本方差；
（3）根据乙班样本身高不低于172cm的同学共有5人，可求随机抽取两名同学，身高为176cm的同学被抽中的概率．
【解答】解：（1）由茎叶图，得甲班的10名同学的身高分别为
182 179 179 171 170 168 168 163 162 158，
乙班的10名同学的身高分别为
181 170 173 176 178 178 162 165 168 159，
∴x甲=170，x乙=171，
∴乙班男生的平均身高较高；
（2）样本方差为110[（182﹣170）2+（179﹣170）2+…+（158﹣170）2]＝57.2
（3）乙班样本身高不低于172cm的同学共有5人，随机抽取两名同学，身高为176cm的同学被抽中的概率为C41C52=25．
35．李明上高一时每天中午和晚上都在学校的食堂就餐，学校为了方便学生就餐，发行“校园一卡通”，该校的学生家长可以随时通过手机给其子女的“校园一卡通”充值，为了给李明的“校园一卡通”每周充入适当数量的钱，李明的家长随机考察了李明班级每天中午和晚上都在学校食堂就餐的6个同学一个星期在学校的就餐费用，并制作如图所示的茎叶图，在制作时有1个数据模糊，李明的家长便在图中以x表示，他记得这6个同学一个星期在学校的就餐费用，如果去掉一个费用最高的，去掉一个费用最低的，剩余4个同学费用的平均数为91元．
（1）求整数x的取值组成的集合；
（2）一般地，把抽取所得的随机数据中，去掉最大的一个，再去掉最小的一个，如果剩余的数据的方差在0～2之间，我们认为抽取的数据是非常完美的数据，试说明李明的家长抽取的数据是否是非常完美的数据．
【分析】（1）讨论最大的数据是93或90+x，从而求得整数x的取值集合；
（2）去掉一个费用最大的和最小的数据，计算剩余4个数据的平均数和方差即可．
【解答】解：（1）他抽取的6个数据是87，93，90，90+x，90，91；
其中最小的数据是87，最大的数据是93或90+x；
如果最大的数据是93，则0≤x≤314×(90+90+x+90+91)=91，解得x＝3；
如果最大的数据是90+x，则3≤x≤914×(93+90+90+91)=91，解得x＝3，4，5，6，7，8，9；
所以整数x的取值组成的集合是{3，4，5，6，7，8，9}；
（2）由（1）知，去掉一个费用最大的90+x，去掉一个费用最小的87，剩余4个数据为93，90，90，91；
计算这4个数据的平均数为x=14×（93+90+90+91）＝91，
方差为s2=14×[（93﹣91）2+（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2]=32，
又32在0～2之间，所以我们认为抽取的数据是非常完美的数据．
36．从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额如下：
甲：5，6，8，10，10，14，18，18，22，25，27，30，30，41，43，58
乙：10，23，27，12，43，48，18，20，22，23，31，32，34，34，38，42，
（1）画出茎叶图．
（2）求出甲、乙两组数据的中位数、众数、极差分别是多少？
（3）不用计算比较甲、乙两组数据的平均数和方差的大小．
【分析】（1）将数的十位作为一个主干（茎），将个位数作为分枝（叶），列在主干的左或右面，画出茎叶图
（2）由茎叶图知，这组数据的极差是最大值﹣最小值，找出数据中最多的数据众数是出现次最多的数，把数据按照从小到大的顺序排列得到中位数．
（3）首先写出数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据代入计算表示出数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果．
【解答】解：（1）
（2）
（3）甲的平均数小于乙的平均数．甲的方差大于乙的方差．（12分）
37．从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）．
【分析】运用样本平均数和样本方差公式，即可求出．
【解答】解：抽取产品的质量指标值的样本平均数为：
x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02＝200．
抽取产品的质量指标值的样本方差为：
s2＝（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02＝150．甲的成绩
乙的成绩
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
频数
4
6
6
4
场次
1
2
3
4
5
6
小明得分
30
15
23
33
17
8
小张得分
22
20
31
10
34
9
甲
1
2
4
7
11
乙
1
2
a
b
10
甲
1
2
a
b
10
乙
1
2
4
7
11
甲的成绩
乙的成绩
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
频数
4
6
6
4
场次
1
2
3
4
5
6
小明得分
30
15
23
33
17
8
小张得分
22
20
31
10
34
9
甲
1
2
4
7
11
乙
1
2
a
b
10
甲
1
2
a
b
10
乙
1
2
4
7
11
中位数
众数
极差
甲
20
10，18，30
53
乙
29
23，34
38
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