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(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习23《数列的综合应用》(含详解)
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这是一份(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习23《数列的综合应用》(含详解)，共32页。试卷主要包含了等差、等比数列的综合应用，数列与函数、不等式等的综合应用，等差、等比数列的实际应用，数列中的探索性问题，数列的求和等内容，欢迎下载使用。
考点23 数列的综合应用
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．
考向一 等差、等比数列的综合应用
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系：
（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；
（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．
典例1 已知各项均为正数的数列是公差为2的等差数列，若数列成等比数列，则
A．27 B．81
C． D．
【答案】D
【解析】由成等比数列，得，又因为正数的数列是公差为2的等差数列，所以，解得或（舍去），所以，
因为数列成等比数列，设其公比为，则，
所以，所以.故选D．
【名师点睛】本题考查了等比、等差数列的通项公式的应用，属于基础题.求解时，由成等比数列，结合是公差为2的等差数列，得，进而求出，即可得答案.
典例2 已知等差数列中，.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）求的前项和.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由，可得，即.
又由，可得.
故，
依题意，，
因为（常数），
故是首项为4，公比的等比数列.
（2）因为的前项和为，
的前项和为，
故的前项和为.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的求和的应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解本题时，（1）设的公差为，由题意求得，即可求得数列的通项公式，进而得到数列的通项公式，利用等比数列的定义，即可作出证明；（2）由（1）可得的前项和和的前项和，即可得到数列的前项和.
1．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和．
考向二 数列与函数、不等式等的综合应用
1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．
解决数列与函数综合问题的注意点：
（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．
（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．
（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．
2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：
（1）判断数列问题中的一些不等关系；
（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；
（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．
在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式．
典例3 已知函数的图象过点，且点在函数的图象上，又为等比数列，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1），；（2）见解析.
【解析】（1）函数的图象过点，
.
又点在函数的图象上，从而，即，
∴
公比
.
（2），
，
.
【名师点睛】本题考查了通过点在函数图象上求出函数解析式、以及考查求等比数列的通项公式、利用裂项相消法求数列的前项和.
2．已知数列为等比数列，数列为等差数列，且，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
考向三 等差、等比数列的实际应用
1．数列实际应用中的常见模型
①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数，是公差；
②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数，是公比；
③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式．
2．解答数列实际应用题的步骤
①审题：仔细阅读题干，认真理解题意；
②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；
③求解：求出该问题的数学解；
④还原：将所求结果还原到实际问题中．
在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：①从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；②从一般入手，找到递推关系，再进行求解．
典例4 某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年比上一年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
（1）从第几年开始获得纯利润?
（2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：①年平均利润最大时,以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案较合算?
【解析】由题意,知每年的经费构成了以12为首项,4为公差的等差数列,
则f(n)=50n-[12n+×4]-72=-2n2+40n-72.
（1）获得纯利润就是要求f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得2
（2）①年平均利润为=40-2(n+)=16-2(-)2≤16,当且仅当n=6时取等号.
故此方案获利6×16+48=144万美元,此时n=6.
②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128,
当n=10时,f(n)max=128.
故此方案共获利128+16=144万美元.
比较两种方案,在获利相同的前提下,第①种方案只需六年,第②种方案需要十年,故选择第①种方案.
3．某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的照此推算，此人2019年的年薪为______万元(结果精确到).
考向四 数列中的探索性问题
对于数列中的探索性问题主要表现为存在型，解答此类问题的一般策略是：
（1）先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；
（2）若推不出矛盾，能求得符合题意的数值或取值范围，则能得到肯定的结论，即得到存在的结果．
典例5 已知数列满足，，且对任意，都有．
（1）求，；
（2）设)．
①求数列的通项公式；
②设数列的前项和为，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意，令，，则，解得．
令，，则，解得．
（2）①以代替，得．
则，即．
所以数列是以为公差的等差数列．
，
．
②因为，
所以，
则，，．
因为，，成等比数列，
所以，即．
又，
所以，则，解得．
又，且，则，．
所以存在正整数，，使得，，成等比数列．
4．已知公差不为零的等差数列满足，是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，判断数列是否为等比数列.如果是，求数列的前n项和，如果不是，请说明理由.
考向五 数列的求和
求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法：
（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；
（2）倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.
（3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.
常见的裂项方法有：
（4）错位相减法，若数列是等差数列，是等比数列，且公比为，求的前项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，两式相减并求和. 在写出与的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出的表达式.
在运用错位相减法求和时需注意：
①合理选取乘数（或乘式）；
②对公比的讨论；
③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；
④相消项中构成数列的项数.
（5）分组求和法，如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
典例6 已知等比数列的前项和为，且满足.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【解析】（1）由题意知，则，又，且成等比数列，则，解得.
则.
（2）由可得，则，，
两式相减得，
则.
典例7 已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【解析】（1）设数列的公差为，由和，，成等比数列，得， 解得，或.
当时，，与成等比数列矛盾，舍去，，
即数列的通项公式为
（2）=，
.
5．设数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
1．在等差数列中，，且，，成等比数列，则
A．7 B．8
C．9 D．10
2．已知是等差数列，公差d不为零，前n项和是，若，，成等比数列，则
A．， B．，
C．， D．，
3．已知等比数列中，，，，数列的前项和为，则
A．36 B．28
C．45 D．32
4．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{an}中，，公和为5，则
A．2 B．﹣2
C．3 D．﹣3
5．中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列的前项和，，等比数列满足， ，则
A．4 B．5
C．9 D．16
6．如图所示的三角形数阵满足：其中第一行共有一项：，第二行共有二项：，，第三行共有三项：，，，依此类推，第行共有项，若该数阵的第15行中的第5个数是，则
A．105 B．109
C．110 D．215
7．已知数列的通项公式，数列的前项和满足，则的最小值为
A．98 B．99
C．100 D．101
8．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足：，，则__________．
9．在等比数列中，，，成等差数列，则_______.
10．已知函数，且，则__________．
11．设为数列的前项和，已知，.
（1）证明：为等比数列；
（2）求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？
12．已知等比数列的前项和为，公比，，．
（1）求等比数列的通项公式；
（2）设，求的前项和．
13．已知数列的前项和为，点在函数的图象上.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
14．设等差数列的前项和为，且成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
15．已知正项数列的前项和为，.
（1）求的值，并求数列的通项公式;
（2）设，数列的前项和为，求使不等式成立的正整数组成的集合.
1．（浙江）已知成等比数列，且．若，则
A． B．
C． D．
2．（2019年高考北京卷文数）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
3．（2019年高考天津卷文数）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足求.
4．（浙江）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求数列{bn}的通项公式．
5．（天津文科）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（1）求Sn和Tn；
（2）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
6．（新课标全国Ⅰ文科）记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
7．（北京文科）已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（1）求的通项公式；
（2）求和：．
8．（新课标全国Ⅱ文科）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求．
变式拓展
1．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，，得，
设等差数列的公差为，则，所以.
所以.
设等比数列的公比为，由题，即，所以.
所以.
（2）由（1）知，
所以的前项和为
.
【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前项和公式即可，属于常考题型.
（1）先由题中条件得到，再设等差数列的公差为，结合题中数据求出公差，进而可得的通项公式；设等比数列的公比为，求出公比，即可得出的通项公式；
（2）先由（1）的结果，得到，再由分组求和法，结合等差数列与等比数列前项和公式，即可得出结果.
2．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设数列的公比为，数列的公差为，
由题意得，，解得，
所以.
（2）因为，
所以
，
因为，
所以，
又因为在上单调递增，
所以当时，取最小值，
所以.
【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是熟悉式子的结构特点，常见的裂项技巧：
（1）；（2） ；
（3）；（4）.此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
3．【答案】
【解析】由题意可得，基础工资构成以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资构成以2000元为首项，以公比为的等比数列，
则此人2019年每月的基础工资为元，
每月的绩效工资为元，
则此人2019年的年薪为万元，
故答案为：．
【名师点睛】本题考查了等差数列和等比数列在实际生活中的应用，属于中档题．
4．【答案】（1）；（2）是，.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
则由得，
因为是与的等比中项，
所以，即，解得（舍）或，
故数列的通项公式为.
（2）由，得
①当时，；
②当时，，
故数列是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以.
【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式即可，属于常考题型.
（1）先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，即可得到通项公式；
（2）根据，结合等比数列的定义，可判断出为以2为首项，4为公比的等比数列，进而可求出结果.
5．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由n＝1得，
因为，
所以当n≥2时，，
由两式作商得：（n＞1且n∈N*），
又因为符合上式，
所以（n∈N*）．
（2）设，
则bn＝n＋n·2n，
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋
设Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，①
所以2Tn＝22＋2·23＋…+（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②
①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．
所以，
即．
【名师点睛】本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题.求解时，（1）在中，将代得： ，由两式作商得：，问题得解.（2）利用（1）中结果求得bn＝n＋n·2n，分组求和，再利用等差数列前项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解.
考点冲关
1．【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
由成等比数列，得，即，解得或（舍去），
所以，故选C.
【名师点睛】本题主要考查了等比中项的应用，以及等差数列通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.由成等比数列，求得，再由等差数列的通项公式，即可求解.
2．【答案】B
【解析】，不妨令，，.故选B.
【名师点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.根据等比中项列方程，然后利用基本元的思想，将已知转化为的形式，用特殊值法选出正确选项.
3．【答案】B
【解析】由题可得：，所以，故，所以是以公差为1的等差数列，故，故选B．
【名师点睛】本题考查等比数列和等差数列的通项和前n项和，先求出q=3，得到等比数列的通项是解题的关键，属于基础题.根据，可以先求出公比q，然后根据等比数列通项公式得到，从而得到为等差数列，再根据等差求和公式即可.
4．【答案】C
【解析】根据题意，等和数列{an}中，，公和为5，则，可得，
又由an−1+an＝5，则，
则3.故选C．
【名师点睛】本题主要考查了新概念知识，考查理解能力及转化能力，还考查了数列的周期性，属于中档题.
5．【答案】C
【解析】由题意可得：，，则等比数列的公比，故.
本题选择C选项.
6．【答案】B
【解析】由题中三角形数阵中可知，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行由3个数字，，第行有个数字，由等差数列的前项和公式可得前行共有个数字，即第14行的最后一个数字为，所以第15行的第1个数字为，第15行的第5个数字为，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的应用，其中根据数表、数阵数列的数字排列规律，合理利用等差、等比数列的通项公式和前项和公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用.解本题时，根据三角形数阵的数字的排列规律，利用等差数列的求和公式，可计算得出第14行的最后一个数字，从而求得第15行的第5个数字的值.
7．【答案】C
【解析】化简，得到通项公式为：，根据递推式，列出如下式子：
，
，
，
则有，由于，则的最小值为100.
故选C.
【名师点睛】本题考查累加法求和，属于基础题.对于本题，化简，利用累加法直接求得值即可.
8．【答案】
【解析】∵数列是等差数列，数列是等比数列，∴，即；.∴.
故答案为.
9．【答案】
【解析】，，成等差数列，，即，解得：，
.
本题正确结果：.
【名师点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.求解时，根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比满足，将所求式子化为和的形式，化简可得结果.
10．【答案】
【解析】当为奇数时，
.
当为偶数时，
.
.
所以
.
【名师点睛】本题主要考查了分类思想及分组求和方法，考查计算能力，属于中档题.求解时，对的取值分奇数、偶数求得，再利用分组求和法求和即可.
11．【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，，成等差数列.
【思路点拨】（1）根据条件构造等比数列：，再根据等比数列的定义给予证明；
（2）先根据等比数列通项公式求得，即得的通项公式，再根据分组求和法得，最后判断是否成立.
12．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）等比数列的前项和为，公比，①，②．
②﹣①，得，则，
又，所以，
因为，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
所以的前项和．
【名师点睛】裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
13．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）把点代入得，，
则时，，
时，，
经验证，也满足，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
则，①
，②
①②得
故.
【名师点睛】本题主要考查了数列通项的求法，以及数列前项和的方法.求数列通项常用的方法有：累加法、累乘法、定义法、配凑法等.求数列前项和常用的方法有：错位相减、裂项相消、公式法、分组求和等.属于中等题.
14．【答案】（1）an=2n−1；（2）.
【解析】（1）设等差数列的首项为,公差为,
由成等差数列，可知,即①
由得：，②
联立①②解得.
因此，.
（2）令，则，
∴，③
，④
③−④,得
，
所以．
【名师点睛】本题主要考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．
15．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，得当时，；
当时，，代入已知有，即．
又，
故（舍），或即，
由定义得是以1为首项，1为公差的等差数列，
，则.
（2）由题得，
所以数列的前项和.
因为，
所以即，
所以.
所以正整数组成的集合为{1,2}.
【名师点睛】本题主要考查数列的通项，考查等差、等比数列求和，考查数列分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，（1）由数列递推式求出首项，进一步得到是以1为首项，1为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式可得，代入求得数列的通项公式；（2）先求出，再代入不等式解不等式即得解.
直通高考
1．【答案】B
【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此.
若公比，则，不合题意；
若公比，则但，即，不合题意；
因此，，故选B.
【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如
2．【答案】（1）；（2）当或者时，取到最小值.
【解析】（1）设的公差为．
因为，
所以．
因为成等比数列，
所以．
所以．
解得．
所以．
（2）由（1）知，．
所以，当时，；当时，．
所以，的最小值为．
【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
3．【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意，得解得
故.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
（2）
.
记
则
②−①得，.
所以，
.
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.
4．【答案】（1）；（2）.
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.
（1）由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
（2）设，数列前n项和为.
由解得.
由（1）可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
5．【答案】（1），；（2）4.
【解析】（1）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得．
因为，可得，故．
所以，．
设等差数列的公差为．由，可得．由，可得从而，故，
所以，．
（2）由（1），有
由可得，
整理得解得（舍），或．
所以n的值为4．
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．
6．【答案】（1）；（2），证明见解析．
【解析】（1）设的公比为．
由题设可得解得，．
故的通项公式为．
（2）由（1）可得．
由于，
故，，成等差数列．
【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
（1）由等比数列通项公式解得，即可求解；
（2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．
7．【答案】（1）an=2n−1；（2）.
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d．
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10，解得d=2，所以an=2n−1．
（2）设等比数列{bn}的公比为q．
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9，解得q2=3，所以．
从而．
【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：①分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；②裂项相消法求和，一般适用于，等的形式；③错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；④倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和．
8．【答案】（1）；（2）当时，.当时，.
【解析】设的公差为d，的公比为q，则.
由得d+q=3.①
（1）由得②
联立①和②解得（舍去），
因此的通项公式为.
（2）由得.
解得.
当时，由①得，则.
当时，由①得，则.
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确;二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
（1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可；
（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和.
考点23 数列的综合应用
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．
考向一 等差、等比数列的综合应用
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系：
（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；
（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．
典例1 已知各项均为正数的数列是公差为2的等差数列，若数列成等比数列，则
A．27 B．81
C． D．
【答案】D
【解析】由成等比数列，得，又因为正数的数列是公差为2的等差数列，所以，解得或（舍去），所以，
因为数列成等比数列，设其公比为，则，
所以，所以.故选D．
【名师点睛】本题考查了等比、等差数列的通项公式的应用，属于基础题.求解时，由成等比数列，结合是公差为2的等差数列，得，进而求出，即可得答案.
典例2 已知等差数列中，.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）求的前项和.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由，可得，即.
又由，可得.
故，
依题意，，
因为（常数），
故是首项为4，公比的等比数列.
（2）因为的前项和为，
的前项和为，
故的前项和为.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的求和的应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解本题时，（1）设的公差为，由题意求得，即可求得数列的通项公式，进而得到数列的通项公式，利用等比数列的定义，即可作出证明；（2）由（1）可得的前项和和的前项和，即可得到数列的前项和.
1．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和．
考向二 数列与函数、不等式等的综合应用
1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．
解决数列与函数综合问题的注意点：
（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．
（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．
（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．
2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：
（1）判断数列问题中的一些不等关系；
（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；
（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．
在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式．
典例3 已知函数的图象过点，且点在函数的图象上，又为等比数列，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1），；（2）见解析.
【解析】（1）函数的图象过点，
.
又点在函数的图象上，从而，即，
∴
公比
.
（2），
，
.
【名师点睛】本题考查了通过点在函数图象上求出函数解析式、以及考查求等比数列的通项公式、利用裂项相消法求数列的前项和.
2．已知数列为等比数列，数列为等差数列，且，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
考向三 等差、等比数列的实际应用
1．数列实际应用中的常见模型
①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数，是公差；
②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数，是公比；
③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式．
2．解答数列实际应用题的步骤
①审题：仔细阅读题干，认真理解题意；
②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；
③求解：求出该问题的数学解；
④还原：将所求结果还原到实际问题中．
在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：①从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；②从一般入手，找到递推关系，再进行求解．
典例4 某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年比上一年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
（1）从第几年开始获得纯利润?
（2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：①年平均利润最大时,以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案较合算?
【解析】由题意,知每年的经费构成了以12为首项,4为公差的等差数列,
则f(n)=50n-[12n+×4]-72=-2n2+40n-72.
（1）获得纯利润就是要求f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得2
（2）①年平均利润为=40-2(n+)=16-2(-)2≤16,当且仅当n=6时取等号.
故此方案获利6×16+48=144万美元,此时n=6.
②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128,
当n=10时,f(n)max=128.
故此方案共获利128+16=144万美元.
比较两种方案,在获利相同的前提下,第①种方案只需六年,第②种方案需要十年,故选择第①种方案.
3．某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的照此推算，此人2019年的年薪为______万元(结果精确到).
考向四 数列中的探索性问题
对于数列中的探索性问题主要表现为存在型，解答此类问题的一般策略是：
（1）先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在；
（2）若推不出矛盾，能求得符合题意的数值或取值范围，则能得到肯定的结论，即得到存在的结果．
典例5 已知数列满足，，且对任意，都有．
（1）求，；
（2）设)．
①求数列的通项公式；
②设数列的前项和为，是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意，令，，则，解得．
令，，则，解得．
（2）①以代替，得．
则，即．
所以数列是以为公差的等差数列．
，
．
②因为，
所以，
则，，．
因为，，成等比数列，
所以，即．
又，
所以，则，解得．
又，且，则，．
所以存在正整数，，使得，，成等比数列．
4．已知公差不为零的等差数列满足，是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，判断数列是否为等比数列.如果是，求数列的前n项和，如果不是，请说明理由.
考向五 数列的求和
求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法：
（1）公式法，即直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解；
（2）倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和.
（3）裂项相消法，即将数列的通项拆成结构相同的两式之差，然后消去相同的项求和.使用此方法时必须注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点.
常见的裂项方法有：
（4）错位相减法，若数列是等差数列，是等比数列，且公比为，求的前项和时，常用错位相减法求和.基本步骤是：列出和式，两边同乘以公比，两式相减并求和. 在写出与的表达式时，要将两式“错项对齐”，便于准确写出的表达式.
在运用错位相减法求和时需注意：
①合理选取乘数（或乘式）；
②对公比的讨论；
③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律；
④相消项中构成数列的项数.
（5）分组求和法，如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
典例6 已知等比数列的前项和为，且满足.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【解析】（1）由题意知，则，又，且成等比数列，则，解得.
则.
（2）由可得，则，，
两式相减得，
则.
典例7 已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【解析】（1）设数列的公差为，由和，，成等比数列，得， 解得，或.
当时，，与成等比数列矛盾，舍去，，
即数列的通项公式为
（2）=，
.
5．设数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
1．在等差数列中，，且，，成等比数列，则
A．7 B．8
C．9 D．10
2．已知是等差数列，公差d不为零，前n项和是，若，，成等比数列，则
A．， B．，
C．， D．，
3．已知等比数列中，，，，数列的前项和为，则
A．36 B．28
C．45 D．32
4．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{an}中，，公和为5，则
A．2 B．﹣2
C．3 D．﹣3
5．中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列的前项和，，等比数列满足， ，则
A．4 B．5
C．9 D．16
6．如图所示的三角形数阵满足：其中第一行共有一项：，第二行共有二项：，，第三行共有三项：，，，依此类推，第行共有项，若该数阵的第15行中的第5个数是，则
A．105 B．109
C．110 D．215
7．已知数列的通项公式，数列的前项和满足，则的最小值为
A．98 B．99
C．100 D．101
8．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足：，，则__________．
9．在等比数列中，，，成等差数列，则_______.
10．已知函数，且，则__________．
11．设为数列的前项和，已知，.
（1）证明：为等比数列；
（2）求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？
12．已知等比数列的前项和为，公比，，．
（1）求等比数列的通项公式；
（2）设，求的前项和．
13．已知数列的前项和为，点在函数的图象上.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
14．设等差数列的前项和为，且成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
15．已知正项数列的前项和为，.
（1）求的值，并求数列的通项公式;
（2）设，数列的前项和为，求使不等式成立的正整数组成的集合.
1．（浙江）已知成等比数列，且．若，则
A． B．
C． D．
2．（2019年高考北京卷文数）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
3．（2019年高考天津卷文数）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列满足求.
4．（浙江）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求数列{bn}的通项公式．
5．（天津文科）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（1）求Sn和Tn；
（2）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
6．（新课标全国Ⅰ文科）记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
7．（北京文科）已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（1）求的通项公式；
（2）求和：．
8．（新课标全国Ⅱ文科）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求．
变式拓展
1．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，，得，
设等差数列的公差为，则，所以.
所以.
设等比数列的公比为，由题，即，所以.
所以.
（2）由（1）知，
所以的前项和为
.
【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前项和公式即可，属于常考题型.
（1）先由题中条件得到，再设等差数列的公差为，结合题中数据求出公差，进而可得的通项公式；设等比数列的公比为，求出公比，即可得出的通项公式；
（2）先由（1）的结果，得到，再由分组求和法，结合等差数列与等比数列前项和公式，即可得出结果.
2．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设数列的公比为，数列的公差为，
由题意得，，解得，
所以.
（2）因为，
所以
，
因为，
所以，
又因为在上单调递增，
所以当时，取最小值，
所以.
【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是熟悉式子的结构特点，常见的裂项技巧：
（1）；（2） ；
（3）；（4）.此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
3．【答案】
【解析】由题意可得，基础工资构成以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资构成以2000元为首项，以公比为的等比数列，
则此人2019年每月的基础工资为元，
每月的绩效工资为元，
则此人2019年的年薪为万元，
故答案为：．
【名师点睛】本题考查了等差数列和等比数列在实际生活中的应用，属于中档题．
4．【答案】（1）；（2）是，.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
则由得，
因为是与的等比中项，
所以，即，解得（舍）或，
故数列的通项公式为.
（2）由，得
①当时，；
②当时，，
故数列是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以.
【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式即可，属于常考题型.
（1）先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，即可得到通项公式；
（2）根据，结合等比数列的定义，可判断出为以2为首项，4为公比的等比数列，进而可求出结果.
5．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由n＝1得，
因为，
所以当n≥2时，，
由两式作商得：（n＞1且n∈N*），
又因为符合上式，
所以（n∈N*）．
（2）设，
则bn＝n＋n·2n，
所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋
设Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，①
所以2Tn＝22＋2·23＋…+（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②
①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．
所以，
即．
【名师点睛】本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题.求解时，（1）在中，将代得： ，由两式作商得：，问题得解.（2）利用（1）中结果求得bn＝n＋n·2n，分组求和，再利用等差数列前项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解.
考点冲关
1．【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
由成等比数列，得，即，解得或（舍去），
所以，故选C.
【名师点睛】本题主要考查了等比中项的应用，以及等差数列通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.由成等比数列，求得，再由等差数列的通项公式，即可求解.
2．【答案】B
【解析】，不妨令，，.故选B.
【名师点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.根据等比中项列方程，然后利用基本元的思想，将已知转化为的形式，用特殊值法选出正确选项.
3．【答案】B
【解析】由题可得：，所以，故，所以是以公差为1的等差数列，故，故选B．
【名师点睛】本题考查等比数列和等差数列的通项和前n项和，先求出q=3，得到等比数列的通项是解题的关键，属于基础题.根据，可以先求出公比q，然后根据等比数列通项公式得到，从而得到为等差数列，再根据等差求和公式即可.
4．【答案】C
【解析】根据题意，等和数列{an}中，，公和为5，则，可得，
又由an−1+an＝5，则，
则3.故选C．
【名师点睛】本题主要考查了新概念知识，考查理解能力及转化能力，还考查了数列的周期性，属于中档题.
5．【答案】C
【解析】由题意可得：，，则等比数列的公比，故.
本题选择C选项.
6．【答案】B
【解析】由题中三角形数阵中可知，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行由3个数字，，第行有个数字，由等差数列的前项和公式可得前行共有个数字，即第14行的最后一个数字为，所以第15行的第1个数字为，第15行的第5个数字为，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的应用，其中根据数表、数阵数列的数字排列规律，合理利用等差、等比数列的通项公式和前项和公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用.解本题时，根据三角形数阵的数字的排列规律，利用等差数列的求和公式，可计算得出第14行的最后一个数字，从而求得第15行的第5个数字的值.
7．【答案】C
【解析】化简，得到通项公式为：，根据递推式，列出如下式子：
，
，
，
则有，由于，则的最小值为100.
故选C.
【名师点睛】本题考查累加法求和，属于基础题.对于本题，化简，利用累加法直接求得值即可.
8．【答案】
【解析】∵数列是等差数列，数列是等比数列，∴，即；.∴.
故答案为.
9．【答案】
【解析】，，成等差数列，，即，解得：，
.
本题正确结果：.
【名师点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.求解时，根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比满足，将所求式子化为和的形式，化简可得结果.
10．【答案】
【解析】当为奇数时，
.
当为偶数时，
.
.
所以
.
【名师点睛】本题主要考查了分类思想及分组求和方法，考查计算能力，属于中档题.求解时，对的取值分奇数、偶数求得，再利用分组求和法求和即可.
11．【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，，成等差数列.
【思路点拨】（1）根据条件构造等比数列：，再根据等比数列的定义给予证明；
（2）先根据等比数列通项公式求得，即得的通项公式，再根据分组求和法得，最后判断是否成立.
12．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）等比数列的前项和为，公比，①，②．
②﹣①，得，则，
又，所以，
因为，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
所以的前项和．
【名师点睛】裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
13．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）把点代入得，，
则时，，
时，，
经验证，也满足，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
则，①
，②
①②得
故.
【名师点睛】本题主要考查了数列通项的求法，以及数列前项和的方法.求数列通项常用的方法有：累加法、累乘法、定义法、配凑法等.求数列前项和常用的方法有：错位相减、裂项相消、公式法、分组求和等.属于中等题.
14．【答案】（1）an=2n−1；（2）.
【解析】（1）设等差数列的首项为,公差为,
由成等差数列，可知,即①
由得：，②
联立①②解得.
因此，.
（2）令，则，
∴，③
，④
③−④,得
，
所以．
【名师点睛】本题主要考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．
15．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，得当时，；
当时，，代入已知有，即．
又，
故（舍），或即，
由定义得是以1为首项，1为公差的等差数列，
，则.
（2）由题得，
所以数列的前项和.
因为，
所以即，
所以.
所以正整数组成的集合为{1,2}.
【名师点睛】本题主要考查数列的通项，考查等差、等比数列求和，考查数列分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，（1）由数列递推式求出首项，进一步得到是以1为首项，1为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式可得，代入求得数列的通项公式；（2）先求出，再代入不等式解不等式即得解.
直通高考
1．【答案】B
【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此.
若公比，则，不合题意；
若公比，则但，即，不合题意；
因此，，故选B.
【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如
2．【答案】（1）；（2）当或者时，取到最小值.
【解析】（1）设的公差为．
因为，
所以．
因为成等比数列，
所以．
所以．
解得．
所以．
（2）由（1）知，．
所以，当时，；当时，．
所以，的最小值为．
【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
3．【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意，得解得
故.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
（2）
.
记
则
②−①得，.
所以，
.
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.
4．【答案】（1）；（2）.
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.
（1）由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
（2）设，数列前n项和为.
由解得.
由（1）可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
5．【答案】（1），；（2）4.
【解析】（1）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得．
因为，可得，故．
所以，．
设等差数列的公差为．由，可得．由，可得从而，故，
所以，．
（2）由（1），有
由可得，
整理得解得（舍），或．
所以n的值为4．
【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．
6．【答案】（1）；（2），证明见解析．
【解析】（1）设的公比为．
由题设可得解得，．
故的通项公式为．
（2）由（1）可得．
由于，
故，，成等差数列．
【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
（1）由等比数列通项公式解得，即可求解；
（2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．
7．【答案】（1）an=2n−1；（2）.
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d．
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10，解得d=2，所以an=2n−1．
（2）设等比数列{bn}的公比为q．
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9，解得q2=3，所以．
从而．
【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：①分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；②裂项相消法求和，一般适用于，等的形式；③错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；④倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和．
8．【答案】（1）；（2）当时，.当时，.
【解析】设的公差为d，的公比为q，则.
由得d+q=3.①
（1）由得②
联立①和②解得（舍去），
因此的通项公式为.
（2）由得.
解得.
当时，由①得，则.
当时，由①得，则.
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确;二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
（1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可；
（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和.
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