高中数学北师大版必修2本节综合随堂练习题

1.3三视图同步练习北师大版高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图是

A.
B.
C.
D.

2. 下列几何体各自的三视图中，有且只有两个视图相同的是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

4. 某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是

A. 三棱锥
B. 四棱锥
C. 四棱台
D. 三棱台

5. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是

A.
B.
C.
D.

6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A.
B.
C.
D.

7. 如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是

A.  B.  C.  D.

8. 某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为

A.
B.
C. 2
D. 4

9. 某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为

A.  B.  C. 1 D.

10. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是

A.  B.  C.  D.

11. 如图为某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为

A.
B.
C.
D.

12. 下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为
           

A. E B. F C. G D. H

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若某几何体为一个棱长为2的正方体被过顶点P的平面截去一部分后所剩余的部分，且该几何体以图为俯视图，其正视图和侧视图为图中的两个，则正视图和侧视图的编号依次为______填第一组，______填第二组写出符合要求的两组编号即可

14. 如图，E，F分别是正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的正投影所有可能正确的是图中的______．

15. 某零件的结构是在一个圆锥中挖去了一个正方体，且正方体的一个面与圆锥底面重合，该面所对的面的四个顶点在圆锥侧面内．在图中选两个分别作为该零件的主视图和俯视图，则所选主视图和俯视图的编号依次可能为_______写出符合要求的一组答案即可．

16. 以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为                写出符合要求的一组答案即可．

三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）

17. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长的棱长为      ，体积为      ．

18. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为      ，最长棱的长度为      ．
    
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

19. 已知四棱锥的三视图如图，则四棱锥的表面积和体积．

20. 已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图单位：

21. 已知一个几何体的三视图如图所示．
    求此几何体的表面积；
    如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体侧面的表面上，从P点到Q点的最短路径的长．

22. 画出如图所示两个几何体的三视图．
    
     

23. 如图，是一个广场景观的两种设计方案的三视图，想象并说出它的几何特征，然后画出它的示意图．

24. 如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
    
    
    
    
     

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查空间几何体的三视图，属于基础题．
由题可知，被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面长方形的两条边重合，另一条为体对角线，对照各图可得结果．
【解答】
解：如图：

根据正投影的性质，并结合侧视图要求及如上图所示，AB的正投影为，BC的正投影为，的正投影为，
综上可知侧视图为选项D．
故选D．  

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查几何体的三视图，属于基础题．
分别对每一个几何体的三视图情况进行讨论即可得出答案．
【解答】
解：正方体的三视图可以都是相同的正方形；
圆锥的三视图中正主视图、侧左视图相同，且都是三角形，俯视图是圆；
三棱台的三视图都不相同，正主视图是两个梯形，侧左视图是一个梯形，俯视图是由外部三角形、内部三角和两个三角形对应顶点连线的线段组成的图形；
四棱锥的正主视图与侧左视图相同，且都是三角形，俯视图是有对角线的正方形．
故有且仅有两个相同视图的是和．
故选D．  

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查几何体的三视图及体积，属中档题．
【解答】
解：由三视图可知，该几何体是两个完全一致的圆锥组成的，
圆锥的底面圆半径为1，圆锥的高为2， 
所以该几何体体积，
故选B．  

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点是由三视图判断几何体的形状，根据三视图中有两个矩形，该几何体为棱柱，有两个三角形，该几何体为棱锥，有两个梯形，该几何体为棱台，是解答本题的关键．
由题目中的三视图中，正视图和侧视图为三角形，可知几何体为锥体，进而根据俯视图的形状，得到答案．
【解答】
解：正视图和侧视图为三角形，可知几何体为锥体，
又俯视图为三角形，
故该几何体为三棱锥，
故选A．  

5.【答案】C
 

【解析】解：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，
，PA、AB、AC两两垂直，
故，
几何体的表面积为：
故选：C．
先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公式计算即可．
本题考查多面体的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：由三视图还原原几何体如图，

可知该几何体为圆锥PO的一半，圆锥的底面半径为1，高为．
圆锥的母线长．
则该几何体的表面积为．
故选：C．
由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥PO的一半，圆锥的底面半径为1，高为，再由圆的面积公式、三角形面积公式及圆锥侧面积公式求解．
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
 

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查空间几何体的三视图与直观图的关系，要结合三个视图判断是哪个几何体，属于基础题．

结合三视图的定义和作法，即可判断．

【解答】

解：由题意可知正视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，

下面是正四棱柱或圆柱，俯视图可知下面是圆柱．
故选D．

8.【答案】A
 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体的底面面积为的三角形，高为2的三棱锥体．
故．
故选：A．
首先把三视图转换为几何体，进一步利用体积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：
如图所示：

所以，该四棱锥体的最长的棱长为．
故选：B．
首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的棱长．
本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的面积的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为正方形的四棱锥体；
如图所示：

所以，，
所以．
故选：C．
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用体积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：由三视图可得原几何体为如图所示的三棱锥，
如图所示：


则，，，
则该三被锥的表面积为．
故选：A．
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题三视图，考查空间想象能力，属基础题．

由三视图，通过还原几何体，观察可知对应点．

【解答】

解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A．

13.【答案】 
 

【解析】解：第一组的切取方法为：切割面为PABC；
如图所示：

该编号为：；
第二种切割方法为：切面为PABC，
如图所示：

该编号为：．
故答案为：第一组：；第二组：．
直接利用几何体和三视图之间的转换和几何体的切割方法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的切割方法，主要考查学生对空间问题的认识，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：根据几何体的，点E和F在、上的正投影的图形为，在面上的正投影为．
故答案为：．
直接利用几何体的直观图和平面图的关系，投影在平面中的位置判断结果．
本题考查的知识要点：几何体的直观图和平面图的关系，投影在平面中的位置，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题．
 

15.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题考查了简单几何体的三视图，属于基础题．
根据俯视图的特征确定主视图即可．
【解答】
解：当俯视图为时，在看正视图时，会看到三条竖棱，由俯视图的方向，在中心的是2条对角线，所以正视图长大于宽，故正确．
当俯视图为时，在看正视图时，会看到两条竖棱，且正方体与圆锥轴截面的三角形不相接，故正确．
故答案为或．  

16.【答案】或
 

【解析】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，
图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，
当为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为，
当为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为．
故答案为：或．
通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．
该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．
 

17.【答案】

【解析】解：如图所示几何体为，底面ABCD，底面是直角梯形；
，，
最长棱长，
棱锥的体积为．

故答案为：；．
画出几何体的直观图，判断棱长的最值，然后求解棱长以及几何体体积．
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】

【分析】
根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得几何体的体积以及最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．
本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．
【解答】
解：由三视图可得直观图，几何体的体积为：．
再四棱锥中，
最长的棱为PA，
即 ，
故答案为：；．  

19.【答案】解：由题意知，图形为直四棱锥，
则表面积为，
体积为．
 

【解析】由三视图可知，几何体为四棱锥，底面为正方形，且一边垂直于底面，再求解即可．
本题考查学生的空间想象能力，空间图形的垂直关系的转换，是基础题．
 

20.【答案】解：根据几何体的三视图，得，该几何体是平放的直四棱柱，
且四棱柱的底面为直角梯形，且上底为4，下底为8，高为4，侧棱长为4；
画出它的直观图，如图所示；
 

【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体是平放的直四棱柱，结合图中数据画出它的直观图来．
本题考查了利用空间几何体三视图还原出几何体的直观图的应用问题，是基础题目．
 

21.【答案】解：根据几何体的三视图，转换为几何体，是由一个圆锥和一个圆柱组成．
该几何体的表面积是由圆锥的侧面积和圆柱的侧面积及圆柱的底面积组成．
所以．
．
．
．
沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧面，
如图所示：

所以，即最短路径．
 

【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．
利用展开面的关系，利用勾股定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，几何体之间的转换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
 

22.【答案】解：根据三视图的定义，画出该几何体的三视图如图、所示．

【解析】第一步，确定主视图的位置，画出主视图；
第二步，在主视图的下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
第三步，在主视图的右边画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”．
本题考查了根据实物图画几何体三视图的应用问题，是基础题．
 

23.【答案】解：观察三视图可知，这个景观的上部几何体的三个视图都是圆，故上部应是一个球，
其下部，在方案1中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，故下部应是一个圆柱；
在方案2中，俯视图是一个正方形与其内切圆，主视图和左视图都是矩形，故下部应是一个棱柱，
据此，可得这个景观的示意图分别如图1，2所示：

 

【解析】本题考查了空间几何体的三视图，属于基础题．
根据几何体三视图还原直观图即可得到答案．
 

24.【答案】
解：画轴，如图，画x轴、y轴、z轴，使，，
画圆柱的两底面，画出底面，在z轴上截取，使
等于三视图中相应高度，过作Ox的平行线的平行线，
利用与画出底面与画一样．
画圆锥的顶点，在Oz上截取点P，使等于三视图中相应的高度．
成图，连接，，，，整理得到三视图表示的几何体的直观图．


 

【解析】略