北师大版必修5本节综合巩固练习

1.3等比数列同步练习北师大版高中数学必修五

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设为等比数列的前n项和，若，则

A.  B. 5 C. 8 D. 15

2. 数列0，0，0，，0             

A. 既不是等差数列又不是等比数列 B. 是等比数列不是等差数列
C. 是等差数列不是等比数列 D. 是等比数列又是等差数列

3. 已知数列的前n项和为，且满足，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 

A.  B.
C.  D.

4. 已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列令，则数列的前50项和   

A.  B.  C.  D.

5. 在正项等比数列中，和为方程的两根，则等于   

A. 16 B. 32 C. 64 D. 256

6. 已知，a，b，成等差数列，，c，d，e，成等比数列，则

A.  B.  C.  D. 或

7. 已知数列中，，，则 

A. 31 B. 63 C. 123 D. 1023

8. 已知数列是公比为q的等比数列，若，则

A. 1 B.  C. 1或 D. 1或

9. 在等比数列中，，，则等于     

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏

11. 在等比数列中，若，，则等于   ．

A. 8 B. 16 C. 32 D. 64

12. 正项等比数列中，，且与的等差中项为2，则   

A.  B. 2 C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 等比数列的各项均为实数，其前n项和为，已知，，则          ．
14.           ．
15. 已知等比数列共有2n项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比          ．
16. 已知数列前n项和满足，，则数列________．

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

17. 已知是各项均为正的等比数列，为其前n项和，若，，则公比      ，      ．
18. 记为数列的前n项和，若，则          ，数列的前n项和          ．
19. 设等比数列的公比为q，前n项和为若，，则          ，          ．
20. 记为数列的前n项和，记，则          ，          ．

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

21. 已知数列的前n项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项．

求数列和的通项公式；

求数列的前n项和．






 

22. 已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列．
    求数列的通项公式；
    记，求数列的前n项和．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知数列的前n项和为，且，，．
    求数列，的通项公式；
    设，数列的前n项和为，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
24. 等差数列的公差为正数，，其前n项和为；数列为等比数列，，且，．
    Ⅰ求数列与的通项公式；
    Ⅱ设，求数列的前n项和．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的相关性质，属于基础题．
根据题意设数列的公比为q，由题目已知可求得q，从而可得的值．

【解答】

解：设等比数列的公比为q，
，，解得，
，
故选B．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了等差数列，等比数列定义的应用，属于基础题．
题目给出的是常数列，直接运用等差数列和等比数列的定义即可得到正确答案．
【解答】
解：数列0，0，0，，0，
从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义，
所以，数列0，0，0，，0，是等差数列，
根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有值为0的项，
所以，数列0，0，0，，0，不是等比数列．
故选C．  

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查不等式的恒成立问题，涉及数列的通项公式，数列的递推关系，等比数列的求和，考查逻辑推理能力和运算化简的能力，属于综合题．
先由题意求出数列的通项公式，进而求出，再由题意根据不等式恒成立，利用二次函数，二次不等式可得a的范围．
【解答】
解：数列满足，
当时，，
两式相减得，即，当时，也满足，
故，即数列是首项为，公比为的等比数列，
，
对于任意的，，不等式恒成立，
对于任意的，不等式恒成立，
即对于任意的，不等式恒成立，
令，由题意，
即，解得或，
故实数a的取值范围为．
故选A．  

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的性质，考查裂项相消求和，考查计算能力，属于中档题．
依题意，求得，则，根据裂项相消求和即可．

【解答】

解：因为，，，
由，，成等比数列，可得，解得，
所以，
则，
则．
故选D．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．
由已知得，由此能求出．

【解答】

解：由已知得，
是正项等比数列，
解得，
．
故选C．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，属基础题．
由等差数列的通项公式可得，求得公差的值，由等比数列的通项公式可得，求得的值，即可得d的值，从而求得的值．
【解答】
解：设等差数列，a，b，的公差为m，等比数列，c，d，e，的公比为q，
数列，a，b，成等差数列，
由求得公差．
，c，d，e，成等比数列，
由 求得，．
则，
故选A．  

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查等比数列的概念、等比数列的前n项和，考查运算求解能力，属于基础题．
根据题意，可知为等比数列，从而可知也为等比数列，再运用等比数列求和公式即可求解．
【解答】
解：  因为，，
所以为等比数列，公比为，
所以也为等比数列，公比为2，
故，
故选A．  

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】本题考查等比数列的通项公式．
由题意可得，消去，故可求得q．
【解答】解：因为，所以，
所以，解得或．
故选C．  

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的性质，属于中档题．解题过程灵活利用了韦达定理，把数列的两项当做方程的根来解．
可知求得的值，进而根据韦达定理判断出和为方程的两个根，求得和，代入可求．

【解答】

解：，， 

和是方程的两根，

求得，或，，
设等比数列的公比为q，

 ．
即或．
故选D．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．
设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．
【解答】
解：设这个塔顶层有a盏灯，
宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，
又总共有灯381盏，
，
解得，
则这个塔顶层有3盏灯．
故选B．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
结合已知，由等比数列的通项公式求出公比，再求即可．
【解答】
解：在等比数列中，因为，，
所以，所以，
所以．
故选B．  

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查等比数列的通项公式和性质及等差中项的概念，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
由题意可设公比，运用等比数列的通项公式和等差中项的定义，解得q，再由等比数列的通项公式，计算即可得到所求值．
【解答】
解：由题意，在正项等比数列中，由，
可得，即．
由与的等差中项为2，得．
设公比为q，则，则负的舍去，
由可得，解得．
故选C．  

13.【答案】32
 

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设等比数列的公比为，由，，可得，，联立解出，q，即可得出．

【解答】

解：设等比数列的公比为q，易得，
，，
，，
解得，．
则．
故答案为：32．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查利用错位相减法求数列的前n项和，属于基础题．
令，由错位相减法求解即可．

【解答】

解：令，
则，
由得，，
．
故答案为．

15.【答案】2
 

【解析】

【分析】

本题主要考查等比数列，属于中档题．
根据题意列出关于奇数项的和与偶数项的和的方程组，再由，求出答案．

【解答】

解：设数列奇数项的和、偶数项的和分别为，．
由题意得
，，

．
故答案为2．

16.【答案】
 

【解析】

【试题解析】
【分析】
本题考查数列的递推关系，裂项相消法求和，属于中档题．
由数列的递推关系式知，利用裂项相消法即可求得．
【解答】
解：，，
当时，，
当时，，符合上式，
，，
则


．
故答案为：．  

17.【答案】

【解析】解：，，
，
，
由题意可知，，
，
．
故答案为：，．
结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解．
本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式的简单应用，是基础题，
 

18.【答案】

【解析】

【分析】 
本题考查利用与的关系求解题关键两式相减消元得到关系式，属于中档题．
利用数列的递推关系，可得，两式相减得，以及等比数列的判定数列是以为首项，为公比的等比数列，即可得答案．
【解答】
解：因为，所以，
两式相减得，
即，，
所以；
因为，所以，
两式相减得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
故答案为，．  

19.【答案】4

21

【解析】

【分析】

本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用，属于基础题．
由已知利用等比数列的通项公式可求q的值，利用等比数列的求和公式即可求解的值．

【解答】

解：因为，，
根据，可得，解得，
可得．
故答案为：4；21．

20.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查数列的递推公式、等比数列的通项公式、性质与求和公式，属于中档题．
由题意得，当时，有，结合，则得，数列是等比数列，可得数列的通项公式，由等比数列的性质、求和公式，可得．
【解答】
解：由题意有，，得，
当时，有，
结合，，
则得，，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，可得数列的通项公式．
所以
．
故答案为  ．  

21.【答案】解：  时，，

又时，  满足上式，

，

，，

，，

又，，解得，，

，；

，

．

【解析】本题考查数列的递推关系，等差数列的性质，等比数列的通项公式及求和，裂项相消法及分组转化求和，属于中档题．
根据数列的递推关系式推导出和的通项公式；
由可知，，运用分组转化求和可得答案．
 

22.【答案】解：由题意可得，
即，
解得：，
数列的通项公式为；
，


．
 

【解析】本题考查等差数列的性质和等比数列的通项公式，考查了分组求和法，属于基础题．
由题意可得，由公比为2，把、、用表示，求得，可得数列的通项公式；
利用已知条件转化求出数列的通项公式，然后用分组求和法求解数列的和即可．
 

23.【答案】解：由，得，则，
当时，，又，
两式相减，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
．

．

，

可知为递增数列，所以，
又，所以，
所以

【解析】本题主要考查数列的递推关系式、等比数列的通项公式、裂项相消法求和，考查推理能力和计算能力，属中档题．

由递推关系判断出数列为等比数列，即可求出数列通项公式，再结合对数运算可得数列的通项公式；

，采用裂项相消求和，即可证明．

24.【答案】解：Ⅰ等差数列的公差d为正数，，
数列为等比数列，设公比为q，
，且，，
可得，，
解得，，
则，；
Ⅱ
，
则前n项和


．
 

【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
Ⅰ等差数列的公差d为正数，数列为等比数列，设公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；
Ⅱ求得，数列的分组求和和裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．