北师大版必修27.3球的表面积和体积一课一练

这是一份北师大版必修27.3球的表面积和体积一课一练，共13页。试卷主要包含了下列结论正确的是，下列几何体中为棱柱的是等内容，欢迎下载使用。
一、选择题1.下列结论正确的是(　D　)(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥(B)一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台(C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六棱锥(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析:如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥,故A错误;一平行于底面的平面截一棱锥才能得到一个棱锥和一个棱台,因此B错误;若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由过底面中心和顶点的截面知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长,故C错误;根据圆锥母线的定义知,D正确.故选D.2.下列几何体中为棱柱的是(　A　)解析:A中几何体有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形,是棱柱.故选A.3.(2018·嘉兴模拟)某几何体的三视图如图(单位: m),则该几何体的体积是(　A　)(A) m3 (B)m3 (C)2 m3 (D)4 m3解析:由三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,底面的底边长为2 m,底面的高,即为三视图的宽1 m,故底面面积S=×2×1=1 m2,棱锥的高即为三视图的高,故h=2 m,故棱锥的体积V=×1×2= m3,故选A.4.(2018·台州4月调研考试)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是(　A　)(A)π (B) (C) (D)解析:该几何体下部是一个底面半径为1,高为2的圆锥,上部是半径为1的四分之一球体,所以体积V=×π×12×2+××π×13=+=π.故选A.5.长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已AB=3,AD=4,BB1=5,那么球O的表面积为(　D　)(A)25π (B)200π (C)100π (D)50π解析:因为长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点都在球面上,所以长方体的体对角线为外接球的直径,设半径为r,则长方体的体对角线长为=5,则2r=5,则r=,所以外接球的表面积为4πr2=50π.故选D.6.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°,则该圆锥的体积为(　A　)(A)π (B)π (C)π (D)π解析:因为母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°,120°=,所以侧面展开图的弧长为1×=,弧长=底面周长=2πr,所以r=,所以圆锥的高h==,所以圆锥体积V=×π×r2×h=π.故选A.7.(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(　C　)(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:由几何体的三视图可知,该几何体是一个底面为直角梯形,高为2的直四棱柱,所以V=2×［×(2+1)×2］=6.故选C.8.已知三棱锥OABC的顶点A,B,C都在半径为3的球面上,O是球心,∠AOB=150°,当△AOC与△BOC的面积之和最大时,三棱锥O-ABC的体积为(　D　)(A) (B) (C) (D)解析:设球O的半径为R,由S△AOC+S△BOC=R2(sin∠AOC+sin∠BOC)知,当sin∠AOC=sin∠BOC=90°时,S△AOC+S△BOC取得最大值,此时OA⊥OC,OB⊥OC,所以OC⊥平面AOB,==R3sin∠AOB=.故选D.二、填空题9.已知一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是　　,体积是　　　　. 解析:三视图的直观图如图所示.由题知正方体的棱长为2,点M为棱A′D′的中点,所以AM=B′M=,AB′=2,在等腰三角形AB′M中,底边AB′边上的高为,该几何体的表面积S=2(S正方形ABCD+S△ABB′+S△ADM+S△AB′M)=2×（2×2+×2×2+×2×2+×2×）=16+2,体积V=-2=2×2×2-2×××1×2×2=8-=.答案:16+2　10. 如图所示,四边形ABCD的直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是　　　　. 解析:根据斜二测画法可知,原图形为直角梯形,其中上底AD=1,高AB=2A′B′=2,下底为BC=1+,所以×2=2+.即原平面图形的面积是+2.答案:+211.(2018·湖州、衢州、丽水三市高三联考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则此几何体的体积是　　　　cm3,表面积是　　　　   cm2. 解析:由三视图可得直观图如图,体积V=×1=3(cm3),表面积S=2×1+(2+1)×2××2+1×1+1×2+1×=2+6+1+2+=(11+)cm2.答案:3　11+12.已知一个正三棱柱的侧面积为18,且侧棱长为底面边长的2倍,则该正三棱柱的体积为　　　　. 解析:设底面边长为a,则高为2a,侧面积为S侧=3×(a×2a)=6a2=18,所以a=,该三棱柱的体积为V=Sh=（×××sin 60°）×2=.答案:13.体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为　　　　. 解析:由题意得球的直径等于正方体的体对角线长,设正方体的边长为a,球的半径为R,即2R=a,而a3=8,所以R=.该球的体积为πR3=π()3=4π.答案:4π14.(2018·杭州二模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是　　　　,表面积是　　　　. 解析:由三视图知,该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成,则该组合体的体积为V=·π·23+·π×22·3=π,表面积为S=·4π·22+·π·22+·4·3+··2π·2·=6+(6+)π,从而问题可得解.答案:π　6+(6+)π15.(2018·天津卷) 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为　　　　　. 解析:依题意,易知四棱锥MEFGH是一个正四棱锥,且底面边长为,高为.故=×（）2×=.答案:16. 三棱锥P-ABC满足:AB⊥AC,AB⊥AP,AB=2,AP+AC=4,则该三棱锥的体积V的取值范围是　　　　. 解析:由于AB⊥AP,AB⊥AC,AC∩AP=A,所以AB⊥平面APC,V=S△APC·AB=S△APC,在△APC中,AP+AC=4,要使△APC面积最大,只需AP=AC,∠PAC=90°,AP·AC≤()2=4,所以S△APC的最大值为×4=2,V的最大值为,该三棱锥的体积V的取值范围是(0,］.答案:(0, ］三、解答题17. 一个多面体的直观图和三视图如下:(其中M,N分别是AF,BC中点)(1)求证:MN∥平面CDEF;(2)求多面体A-CDEF的体积.(1)证明:由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且AB=BC=BF=2,DE=CF=2,所以∠CBF=90°.取BF中点G,连MG,NG,由M,N分别是AF,BC中点,可得:NG∥CF,MG∥EF,所以平面MNG∥平面CDEF,所以MN∥平面CDEF.(2)解:作AH⊥DE于H,由于三棱柱ADEBCF为直三棱柱,所以AH⊥平面CDEF,且AH=,所以=SCDEF·AH=×2×2×=.巩固提高B一、选择题1. 水平放置的△ABC,用斜二测 画法作出的直观图是如图所示的△A′B′C′,其中O′A′=O′B′=2,O′C′=,则△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为(　B　)(A)8π    (B)16π (C)(8+3)π (D)(16+12)π解析:根据斜二测画法可知,AB=4,OC=2,可知△ABC为等边三角形.△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个对着底的圆锥,其两个侧面积就是这个几何体的表面积,表面积为S=2×π×2×4=16π.故选B.2.(2018·全国Ⅲ卷) 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　A　)解析:由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应选A.3.三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直,三个侧面面积分别为,,,则该三棱锥的外接球的表面积为(　B　)(A)4π (B)6π (C)8π (D)10π解析:三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,它的外接球就是它扩展为长方体的外接球,设PA=a,PB=b,PC=c,则ab=,bc=,ca=,所以①×②×③÷②2得=,即a2=2,所以a=,同理b=1,c=.则长方体的体对角线的长为=.所以球的直径是,半径长R=,则球的表面积S=4πR2=6π.故选B.4.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为(　C　)(A)2    (B)4+2 (C)4+4 (D)4+6解析:由三视图知几何体为一三棱柱,底面为一等腰直角三角形,高为1,则底面三角形腰长为,底边长为2,三棱柱高为2,所以侧面积为2×2+2××2=4+4.故选C.5.如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体,截面与底面所成的角为45°,过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形ABB′A′为矩形,若沿AA′将其侧面剪开,其侧面展开图形状大致为(　A　)解析:截面方程为x2+=1,截面在轴截面A′ABB′上的投影为圆x2+y2=1,沿AA′剪开,其展开图不可能是B,C,D.故选A.6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别是棱D1C1,B1C1的中点,过E,F作一平面α,使得平面α∥平面AB1D1,则平面α截正方体的表面所得平面图形为(　D　)(A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形解析:由题意,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱D1C1,B1C1的中点,取BB1,AB,AD,DD1的中点G,H,M,N,可得正六边形EFGHMN,此时平面AB1D1∥平面EFGHMN.故选D.7.祖暅是南北朝时期的伟大科学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体:图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体;图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为(　D　)(A)①② (B)①③ (C)②④ (D)①④解析:设截面与底面的距离为h,则①中截面内圆半径为h,则截面圆环的面积为π(R2-h2);②中截面圆的半径为R-h,则截面圆的面积为π(R-h)2;③中截面圆的半径为R-,则截面圆的面积为π(R-)2;④中截面圆的半径为,则截面圆的面积为π(R2-h2),所以①④中截面的面积相等.故选D.8.(2018·宁波5月模拟)已知x,y均为非负实数,且x+y≤1,则4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范围为(　A　)(A) [,4］ (B)[1,4]   (C)[2,4]  (D)[2,9]解析:因为x,y≥0,所以≤x2+y2≤(x+y)2.令t=x+y,则0≤t≤1.4x2+4y2+(1-x-y)2≤4t2+(1-t)2=5t2-2t+1≤4.当xy=0且t=1,即x=0,y=1或x=1,y=0时取等号;另一方面,4x2+4y2+(1-x-y)2≥2t2+(1-t)2=3t2-2t+1≥.当x=y=时取等号.所以4x2+4y2+(1-x-y)2∈[,4］.故选A.二、填空题9.(2018·温州模拟)如图,一个简单几何体三视图的正视图与侧视图,都是边长为1的正三角形,其俯视图的轮廓为正方形,则该几何体的体积是　　　　　,表面积是　　　　. 解析:由正视图和侧视图为等边三角形可得此几何体为锥体,由俯视图为四边形可得此几何体为四棱锥,因为正视图为边长为1的正三角形,所以正三角形的高,也就是棱锥的高为,俯视图的边长为1,所以正四棱锥的体积为V=×1×1×=,表面积为S=1+4××1×1=3.答案:　310.在四面体P-ABC中,PA=PB=PC=BC=1,则该四面体体积的最大值为　　　　. 解析:由于平面PBC是边长为1的正三角形,=,底面面积固定,要使体积最大,只需高最大,故当PA⊥平面PBC时体积最大,V=××12×1=.答案:11.已知圆锥的母线长为5 cm,侧面积为15π cm2,则此圆锥的体积为　　　　cm3. 解析:已知圆锥的母线长为5 cm,侧面积为15π cm2,所以圆锥的底面周长为6π cm,底面半径是3 cm,圆锥的高是4 cm,此圆锥的体积为×9π×4=12π (cm3).答案:12π12.(2018·全国Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为　　　　. 解析:如图,因为SA与底面成45°角,所以△SAO为等腰直角三角形.设OA=r,则SO=r,SA=SB=r.在△SAB中,cos∠ASB=,所以sin∠ASB=,所以S△SAB=SA·SB·sin∠ASB=(r)2·=5,解得r=2,所以SA=r=4,即母线长l=4,所以S圆锥侧=πr·l=π×2×4=40π.答案:40π13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点.则这三个球的半径之比为　　　　. 解析:设正方体的棱长为a,则正方体的内切球直径为a,则半径为.第二个球与正方体的各条棱相切,由截面知球直径为a,则半径为a.正方体的外接球,过正方体的各个顶点,其直径为a,则半径为a.可得三个球的半径之比为1∶∶.答案:1∶∶14.若圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等,圆锥、球的表面积分别记为S1,S2,则的值是　　　　. 解析:设球的直径为2R,由题意可知,S1=πR2+πR×=(+1)πR2,S2=4πR2,据此可得=.答案:15. 如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点P是线段BD1上的动点.当△PAC在平面DC1,BC1,AC上的正投影都为三角形时,将它们的面积分别记为S1,S2,S3.(1)S1　　　　S2(填“>”“=”或“<”); (2)S1+S2+S3的最大值为　　　　. 解析:如图,因=,=,故PO=QN,同理可得RM=PO,所以RM=QN,则S1=S2,特别地当点P与点D1重合时,三个投影面的面积都最大,都是,所以S1+S2+S3=,即最大值是.答案:=　三、解答题16. 如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,AB=,F是BC的中点.(1)求证:DA⊥平面PAC;(2)点G为线段PD的中点,证明CG∥平面PAF;(3)求三棱锥A-CDG的体积.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,∠ACB=∠DAC=90°,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥DA,又AC⊥DA,AC∩PA=A,所以DA⊥平面PAC.(2)证明:PD的中点为G,在平面PAD内作GH⊥PA于H,则GH平行且等于AD,连接FH,则四边形FCGH为平行四边形,所以GC∥FH,因为FH⊂平面PAF,CG⊄平面PAF,所以CG∥平面PAF.(3)解:设S为AD的中点,连结GS,则GS平行且等于PA=,因为PA⊥平面ABCD,所以GS⊥平面ABCD,所以==S△ACDGS=.