数学高中二年级 第一学期7.5数学归纳法的应用教学设计

数学归纳法的应用

【教学目标】

1．知识和技能目标：

（1）了解数学推理的常用方法（归纳法）。

（2）了解数学归纳法的原理及使用范围。

（3）初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。

（4）会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。

2．过程与方法目标：

通过对归纳法的复习，说明不完全归纳法的弊端，通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力，学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

3．情感态度价值观目标：

通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。

【教学重难点】

1．使学生理解数学归纳法的实质。

2．掌握数学归纳法证题步骤，尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。

3．数学归纳法的原理。

【教学过程】

一、复习引入

问题（1）袋中有5个小球，如何证明它们都是红色的？（完全归纳法）。

问题（2）某人站在学校门口，看到连续有20个男生进入学校，于是深有感触的说这个学校的学生都是男生。（不完全归纳法）。

二、新课讲解

1．多米诺骨牌实验。

要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

（1）第一张牌被推倒（奠基作用）。

（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下（递推作用）。

于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。

例1．

证明：。

证明：

（1）当时，左边=2，右边=2，等式成立。

（2）假设时等式成立，即。

那么，当时，

；

所以，时等式也成立。

由（1）和（2）可知，等式对于任何正整数都成立。

2．归纳总结：

数学归纳法证明步骤：

（1）验证当取第一个值（如=1或2时）命题正确。

（2）假设当时命题正确，证明时命题也正确。

3．基础反馈：

①用数学归纳法证明：在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（C）

A．1    B．    C．    D．

②用数学归纳法证明命题时，假设。

那么：。

③判断下面的证明过程是否正确，如果不正确错在哪？

证明：。

证明：

（1）当时，左边=1，右边=等式成立。

（2）假设当时等式成立即：

。

当时代入得：

；

所以当时等式成立。

由（1）和（2）可知等式对一切正整数均成立。

三、课堂小结

1．理解数学归纳法的原理。

2．数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论。

3．数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。