2021学年1.3 中国古代数学中的算法案例背景图课件ppt

这是一份2021学年1.3 中国古代数学中的算法案例背景图课件ppt，共44页。PPT课件主要包含了算法案例第一课时，完整的过程，37×4+0，45×2，S1用大数除以小数，rmMODn，课堂小结，算法案例第二课时，复习引入，新课讲解等内容，欢迎下载使用。

1、求两个正整数的最大公约数
（1）求25和35的最大公约数；（2）求49和63的最大公约数
2、求8251和6105的最大公约数
所以，25和35的最大公约数为5
所以，49和63的最大公约数为7
辗转相除法（欧几里得算法）
观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146
结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了.
第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数.
思考：从上述的过程你体会到了什么？
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数
显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数
思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？
S2：除数变成被除数，余数变成除数
S3：重复S1，直到余数为0
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构.
m = n × q ＋ r
用程序框图表示出右边的过程
思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？
《九章算术》——更相减损术
算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.
第一步：任意给顶两个正整数；判断他们是否都是偶数.若是，则用2约简；若不是则执行第二步.
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数.
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减得：
98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝2121－7＝2114－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7
思考：把更相减损术与辗转相除法比较，你有哪些发现？
辗转相除法与更相减损术的算理相似， 有异曲同工之妙 主要区别:
辗转相除法进项的是除法运算， 即辗转相除.而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减， 但实质都是一个不断的递归过程.
2、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ）A.2709 B.2606 C.2703 D.2706
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（ ）和（ ）.
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
计算多项式f (x) =x5＋x4＋x3＋x2＋x＋１,当x = 5的值的算法：
因为f (x) =x5＋x4＋x3＋x2＋x＋１
所以f(5)=55＋54＋53＋52＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
f(5)=55＋54＋53＋52＋5＋１
=5×(54＋53＋52＋5＋１ ) ＋１
=5×(5×(53＋52＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１
=5×(5×(5×(52+5 +１) +１ ) +１ ) +１
=5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
分析：两种算法中各用了几次乘法运算？和几次加法运算？
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算.
共做了4次乘法运算，5次加法运算.
《数书九章》——秦九韶算法
对该多项式按下面的方式进行改写：
思考：当知道了x的值后该如何求多项式的值？
这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法.
思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？
通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可.
秦九韶算法的特点：
例： 已知一个五次多项式为
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值.
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描述呢？
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.
另解：（秦九韶算法的另一种直观算法）
5 2 3.5 -2.6 1.7 -0.8
27 138.5 689.9 3451.2 17255.2
25 135 692.5 3449.5 17256
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.
第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.
第三步：输入i次项的系数an.
第四步：v=vx+ai, i=i-1.
第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.
思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来吗？
INPUT “n=”；nINPUT “an=“;aINPUT “x=“;xv=ai=n-1WHILE i>=0 PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a v=v*x+a i=i-1WENDPRINT vEND
1、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值.
2、已知多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.
课堂小结：1、秦九韶算法的方法和步骤2、秦九韶算法的程序框图
阅读P32--33，思考以下问题：
2、最常见的进位制是什么？ 除此之外还有哪些常见的进位制？ 请举例说明．
1、我们了解十进制吗？所谓的十进制，它是如何构成的？
其它进位制的数又是如何的呢？
第一、它有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字；
第二、它有“权位”，即从右往左为个位、十位、百位、千位等等.
十进制是用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数来描述的，二进制是用0、1两个数字来描述的.如11001等
（１）二进制的表示方法
区分的写法：11001（2）或者（11001）2
二、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1 将二进制数110011(2)化成十进制数
所以，110011（2）=51.
将下面的二进制数化为十进制数？
2、十进制转换为二进制
例2 把89化为二进制数
将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：89=1011001（2）
将下面的十进制数化为二进制数？
根据“逢二进一”的原则，有
89＝2×（2×（2×（2×（2×（2× （ 2 × 1 ＋0 ）＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20
结合“秦九韶算法”得：
所以：89=1011001（2）
例3 把89化为五进制数
3、十进制转换为其它进制
以5作为除数，相应的除法算式为：
所以，89=324（5）.
INPUT a,k,ni=1b=0 t=a MOD 10 WHILE i<=n b=b+t*^(i-1) a=a\10 t=a MOD 10 i=i+1 WEND PRINT b END
2、掌握二进制与十进制之间的转换