高中数学2.2.3待定系数法教案

2.2.3 待定系数法

教学分析:在初中阶段，学生已经对待定系数法有了认知基础．由于待定系数法是解决数学问题的重要方法，所以本节进一步学习．教材利用实例引入了待定系数法，并且通过两个例题介绍了其应用．值得注意的是本节重点应放在运用待定系数法求函数的解析式上，对于其他方面的应用不必过多延伸．

三维目标:1．了解待定系数法，通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲，培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力．

2．掌握用待定系数法求函数解析式的方法及其应用，提高学生解决问题的能力．

教学重点：待定系数法及其应用．

教学难点：待定系数法的应用．

课时安排：1课时

一、待定系数法的概念

【问题思考】

1.如果已知反比例函数的图象过(1,-1)点,那么你能求出满足此条件的函数解析式吗?

2.填空:一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,那么可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.

二、常见函数的一般形式

【问题思考】

1.填空:(1)正比例函数:y=kx(k≠0);

(2)反比例函数:__________;

(3)一次函数:y=kx+b(k≠0);

(4)二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)或y=a(x-h)2+k(a≠0)或y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

2.做一做:若函数y=kx+b的图象经过点P(3,-2)和Q(-1,2),则这个函数的解析式为(　　)

A.y=x-1 B.y=x+1 C.y=-x-1 D.y=-x+1

解析:把点P(3,-2)和Q(-1,2)的坐标分别代入y=kx+b,

思考辨析

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.

(1)用待定系数法求函数解析式的前提条件是已知该函数图象上一个定点. (　　)

(2)已知二次函数图象的对称轴及顶点坐标,设出二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)是无法求解此类问题的. (　　)

(3)用待定系数法求函数解析式,当已知条件确定时,所设的函数形式不是唯一的. (　　)

答案:(1)×　(2)×　(3)√

用待定系数法求一次函数的解析式

【例1】 已知一次函数的图象与x轴交点的横坐标为    ,并且当x=1时,y=5,则这个一次函数的解析式为　　　　　. 

反思感悟用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤

1.设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0);

2.根据题意列出关于k和b的方程组;

3.求出k,b的值,代入即可.

变式训练1已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,求f(x).

用待定系数法求二次函数的解析式

【例2】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值为8,试求二次函数的解析式.

反思感悟求二次函数解析式常见情形如下表:

已知函数图象求函数解析式

【例3】 如图,函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成,求函数的解析式.

分析:由图象可知:

(1)函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成;

(2)当x≤1或x≥3时,函数解析式可设为y=kx+b(k≠0);

(3)当1≤x≤3时,函数解析式可设为y=a(x-2)2+2(a<0)或y=ax2+bx+c(a<0).

解:设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0,x≤1).

解得k=-1,b=2,所以左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).

同理可得,当x≥3时,函数的解析式为y=x-2(x≥3).

当1≤x≤3时,抛物线对应的函数为二次函数.

方法一:设函数解析式为y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a<0).

由点(1,1)在抛物线上,可知a+2=1,所以a=-1.

所以抛物线对应的函数解析式为y=-x2+4x-2(1≤x≤3).

反思感悟1.由函数图象求函数的解析式,关键观察函数图象的形状,分析图象由哪几种函数的图象组成,然后就在不同区间上,利用待定系数法求出相应的解析式.

2.分段函数的表达式要注意端点值.

变式训练：已知f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2],f(x)>0恒成立,求a的取值范围.

1.已知y=f(x)是一次函数,且有2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则这个函数的解析式为(　　)

A.f(x)=-3x+2 B.f(x)=3x-2   C.f(x)=4x+9    D.f(x)=2x-9

解析:设f(x)=kx+b(k≠0),

即这个函数的解析式为f(x)=3x-2.  答案:B

2.已知抛物线经过点(-3,2),顶点是(-2,3),则抛物线的解析式为(　　)

A.y=-x2-4x-1 B.y=x2-4x-1

C.y=x2+4x-1 D.y=-x2-4x+1

解析:设所求解析式为y=a(x+2)2+3(a≠0).

∵抛物线过点(-3,2),∴2=a+3.

∴a=-1.∴y=-(x+2)2+3=-x2-4x-1.

答案:A

4.已知二次函数的图象经过(0,1),(2,4),(3,10)三点,则这个二次函数的解析式为　　　　　. 

5.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.

(1)求f(x)的解析式;

(2)在区间[-1,1]上,g(x)=f(x)-2x-m,且g(x)min>0,试确定实数m的取值范围. 解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

由f(0)=1,得c=1,

故f(x)=ax2+bx+1(a≠0).

∵f(x+1)-f(x)=2x,

∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,

即2ax+a+b=2x,

∴f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.

(2)g(x)=f(x)-2x-m=x2-3x+1-m.

这个二次函数的图象开口向上,对称轴为直线        ,

∴g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上是减函数.

故g(x)min=g(1)=-m-1>0,解得m<-1.

即实数m的取值范围是(-∞,-1).