高考数学一轮复习练习案70第十章统计统计案例第一讲随机抽样含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习练习案70第十章统计统计案例第一讲随机抽样含解析新人教版，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A组基础巩固
一、单选题
1．(2021·广西柳州模拟)为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( C )
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按年龄段分层抽样 D．系统抽样
2．(2021·重庆南开中学质检)为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，现从全年级1 004人中抽取50人参加测试．首先由简单随机抽样剔除4名学生，然后剩余的1 000名学生再用系统抽样的方法抽取，则( C )
A．每个学生入选的概率均不相等
B．每个学生入选的概率可能为0
C．每个学生入选的概率都相等，且为eq \f(25,502)
D．每个学生入选的概率都相等，且为eq \f(1,20)
3．(2021·广东深圳福田区模拟)某校举行“我和我的祖国”文艺汇演，需征集20名志愿者参与活动服务工作，现决定采取分层抽样的方式从“摄影协会”、“记者协会”、“管理爱好者协会”中抽取，已知三个协会的人数比为523，且每个人被抽取的概率为0.2，则该校“摄影协会”的人数为( C )
A．10 B．20
C．50 D．100
[解析] 由题意知从“摄影协会”抽取的人数为
eq \f(5,5＋2＋3)×20＝10，
因为每个人被抽取的概率为0.2，
故该校“摄影协会”的人数为eq \f(10,0.2)＝50.
故选 C．
4．(2021·云南质检)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( A )
A．36人 B．30人
C．24人 D．18人
[解析] 设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x、x、3x，由题意可得3x－x＝12，x＝6，∴持“喜欢”态度的有6x＝36(人)．
5．(2020·山西长治模拟)由于疫情期间大多数学生都进行网上上课，我校高一、高二、高三共有学生1 800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1 800名学生中抽取一个容量为72的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为( D )
A．800 B．750
C．700 D．650
[解析] 设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x－2,2x－4.由题意可得2x＋(2x－2)＋(2x－4)＝72，∴x＝13.
设我校高三年级的学生人数为N，再根据eq \f(72,1 800)＝eq \f(2×13,N)，求得N＝650，故选D.
6．(2021·山东新高考质量测评联盟联考)总体由编号为01,02，…，49,50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( B )
附：第6行至第9行的随机数表
2 748 6 198 7 164 4 148 7 086 2 888 8 519 1 620
7 477 0 111 1 630 2 404 2 979 7 991 9 683 5 125
3 211 4 919 7 306 4 916 7 677 8 733 9 974 6 732
2 635 7 900 3 370 9 160 1 620 3 882 7 757 4 950
A．3 B．19
C．38 D．20
[解析] 按题中方法选出的6个个体编号分别为41,48,28,19,16,20，故选B.
7．(2021·三明模拟)将编号为001,002,003，…，300的300个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用每小组选取的号码间隔一样的系统抽样方法抽取一个样本，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是( D )
A．283 B．286
C．287 D．288
[解析] 样本间隔为18－3＝15，
即抽取样本数为300÷15＝20，
则最大的样本编号为3＋15×19＝288，故选D.
8．(2021·四川省仁寿第二中学月考)为了了解公司800名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为1,2,3，…，800，对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取100人征求意见，有下述三个结论：①若25号员工被抽到，则105号员工也会被抽到；②若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取了10人；③若88号员工未被抽到，则10号员工一定未被抽到；其中正确的结论个数为( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 将这800人分为100组，每组8人，即分段间隔为8；因为eq \f(105－25,8)＝10，故①正确；若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取的号码为8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96，共计12人，故②错误；若88号员工未被抽到，则10号员工可能被抽到，故③错误，故选B.
9．(2021·河南信阳高中第一次大考)某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，男、女生所占的比例如下图所示，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是( A )
A．12 B．15
C．20 D．21
[解析] 因为分层抽样的抽取比例为eq \f(21,3 000×0.7)＝eq \f(1,100)，所以初中生中抽取的男生人数是eq \f(2 000×0.6,100)＝12(人)．故选A.
二、多选题
10．(2021·江西八校联考改编)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中产品的编号可以为( ACD )
A．82 B．285
C．357 D．482
[解析] 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，则d＝25，所以样本中产品编号为7＋25k(0≤k≤19)，所以k＝3,14,19时编号分别为82,357,482.
11．(2021·三省三校(贵阳一中，云师大附中，南宁三中联考改编)某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n和m的值可以是下列四个选项中的哪组( ABD )
A．n＝360，m＝14 B．n＝420，m＝15
C．n＝540，m＝18 D．n＝660，m＝19
[解析] 某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，样本中的中年人为6人，则老年人为120×eq \f(6,360)＝2，青年人为eq \f(6,360)n＝eq \f(n,60)，2＋6＋eq \f(n,60)＝m⇒8＋eq \f(n,60)＝m，代入选项计算，C不符合，故选ABD.
三、填空题
12．某校进行教学竞赛，将考生的成绩分成90分以下、90～120分、120～150分三种情况进行统计，发现三个成绩段的人数之比依次为531，现用分层抽样的方法抽出一个容量为m的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m＝ 135 .
[解析] ∵eq \f(个体容量,样本容量)＝eq \f(各层个体容量,各层样本容量)，
∴eq \f(45,m)＝eq \f(3,5＋3＋1)，即m＝135.
13．(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200件，400件，300件，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 18 件．
[解析] ∵eq \f(样本容量,总体个数)＝eq \f(60,200＋400＋300＋100)＝eq \f(3,50)，
∴应从丙种型号的产品中抽取eq \f(3,50)×300＝18(件)．
四、解答题
14．(2021·银川检测)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：
(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为eq \f(5,39)，求x，y的值．
[解析] (1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴eq \f(30,50)＝eq \f(m,5)，解得m＝3.
抽取的样本中有研究生2人，本科生3人．
从中任取2人的所有等可能基本事件共有Ceq \\al(2,5)＝10个，
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(2,2)＝7个，
∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为eq \f(7,10).
(2)由题意，得eq \f(10,N)＝eq \f(5,39)，解得N＝78.
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，
∴eq \f(48,80＋x)＝eq \f(20,50)＝eq \f(10,20＋y)，解得x＝40，y＝5.
即x，y的值分别为40,5.
15．(2021·天津市红桥区模拟)根据调查，某学校开设了“街舞”“围棋”“武术”三个社团，三个社团参加的人数如表所示：
为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少2人．
(1)求三个社团分别抽取了多少同学；
(2)若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．
[解析] (1)设三个社团分别抽取x、y、z个同学
eq \f(x,320)＝eq \f(y,240)＝eq \f(z,200)＝eq \f(2,320－240)，
x＝8，y＝6，z＝5，
故从“街舞”，“围棋”，“武术”三个社团中分别提取了8人，6人，5人．
(2)由(1)知，从“围棋”社团抽取的同学为6人，其中2位女生，则从这6位同学中任选2人，不同的结果有Ceq \\al(2,6)＝15种，从这6位同学中任选2人，没有女生的有Ceq \\al(2,4)＝6种，故至少有1名女同学被选中的概率P＝1－eq \f(6,15)＝eq \f(3,5).
B组能力提升
1．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq \f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( C )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(5,14) D．eq \f(10,27)
[解析] 根据题意，eq \f(9,n－1)＝eq \f(1,3)，
解得n＝28.
故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为eq \f(10,28)＝eq \f(5,14).
2．(2021·甘肃兰州一中月考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，首先将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为( C )
A．7 B．9
C．10 D．15
[解析] 从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得eq \f(236,15)≤n≤eq \f(257,10)，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人，选C．
3．(2021·福建龙岩质检)2020年初，我国突发新冠肺炎疫情，疫情期间中小学生“停课不停学”．已知某地区中小学生人数情况如甲图所示，各学段学生在疫情期间“家务劳动”的参与率如乙图所示．为了进一步了解该地区中小学生参与“家务劳动”的情况，现用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则抽取的样本容量、抽取的高中生中参与“家务劳动”的人数分别为( C )
A．2 750,200 B．2 750,110
C．1 120,110 D．1 120,200
[解析] 由题意利用频率分布直方图、分层抽样的定义和方法，得出结论．学生总数为15 500＋5 000＋7 500＝28 000人，由于抽取4%的学生进行词查，则抽取的样本容量为28 000×eq \f(4,100)＝1 120人，高中生应抽取的人数为5 000×eq \f(4,100)＝200，而高中生中参与“家务劳动”的比率为0.55，故高中生中参与“家务劳动”的人数为200×0.55＝110，故选 C．
4．(2021·甘肃诊断)2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜(ga)、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试(指标值满分为5分，分高者为优)，根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图，则下面叙述正确的是( C )
A．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标
B．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标
C．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标
D．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标
[解析] 由指标雷达图可知：对于A，甲的轮滑指标为4，雪地足球指标为4，所以A错误；对于B，乙的雪地足球指标为4，甲的冰尜指标3，所以B错误；对于C，甲的爬犁速降指标为5，乙的爬犁速降指标为4，所以C正确；对于D，乙的俯卧式爬犁指标为5，甲的雪合战指标为5，所以D错误；综上可知，正确的为C．
5．(2021·四川宜宾诊断)第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系、促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况．某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为72，住校生中男生占eq \f(4,7)，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记．
(1)应从住校的男生、女生中各抽取多少人？
(2)若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训．
①求这3人中既有男生又有女生的概率；
②用X表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量X的分布列与数学期望．
[解析] (1)由已知，住校生人数为42人，住校生中男生占eq \f(4,7)，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生、女生就分别抽取4人，3人．
(2)①设事件A为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”；设事件B为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥，P(B)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,3),C\\al(3,7))＝eq \f(12,35)，P(C)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,3),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，故P(A)＝P(B)＋P(C)＝eq \f(6,7)，所以，事件A发生的概率为eq \f(6,7)，
②随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,3)C\\al(3－k,4),C\\al(3,7))(k＝0,1,2,3)．
随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望
E(X)＝0×eq \f(4,35)＋1×eq \f(18,35)＋2×eq \f(12,35)＋3×eq \f(1,35)＝eq \f(9,7).
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
社团
街舞
围棋
武术
人数
320
240
200
X
0
1
2
3
P
eq \f(4,35)
eq \f(18,35)
eq \f(12,35)
eq \f(1,35)