2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二） 学通学活巧迁移新定义函数

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所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
[例] [2021·广东深圳模拟]在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x；④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是( )
A．①②③④ B．①③④
C．①④ D．④
解析：对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；对于函数h(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.
答案：C
名师点评 本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．
[变式练]
1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0.
①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；
以上三个函数中，________是“优美函数”．
微专题(二)
变式练
1．解析：由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±eq \r(2)，所以函数的定义域可以是{0，eq \r(2)}，{0，－eq \r(2)}，{0，eq \r(2)，－eq \r(2)}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．
答案：C
2．解析：由条件(1)，得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调递减函数．对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”．
答案：②