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2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第2章第5讲 对数与对数函数
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这是一份2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第2章第5讲 对数与对数函数，共47页。PPT课件主要包含了析情境∙数学应用，提能力∙数学探索，考情解读，考点帮·必备知识通关，图2-5-2，考法帮·解题能力提升，思维导引，命题角度1比较大小，素养探源等内容，欢迎下载使用。
考点帮 · 必备知识通关
考点1 对数与对数运算考点2 对数函数的图象与性质
考法帮 · 解题能力提升
考法1 对数式的运算考法2 对数函数的图象及应用考法3 对数函数的性质及应用考法4 指数函数、对数函数的综合问题
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学应用 对数函数的实际应用
数学探索 指数、对数比较大小的策略
考点1 对数与对数运算考点2 对数的图象与性质
考点1 对数与对数运算
1.对数的概念一般地,如果??=N(?>0,且?≠1),那么数?叫作以?为底N的对数,记作?=lg?N,其中?叫作对数的底数,N叫作真数.由此可得对数式与指数式的互化:??=N⇔lg?N=?(?>0,且?≠1). 说明 几种常见的对数
2.对数的性质、运算法则及重要公式
说明 (1)应用换底公式时,一般选用e或10作为底数.(2)表中有关公式均是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立的.
考点2 对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象和性质
3.反函数指数函数?=??(?>0,且?≠1)与对数函数?=lg??(?>0,且?≠1)互为反函数,它们的图象关于直线?=?对称(如图2-5-2所示).
考法1 对数式的运算考法2 对数函数的图象及应用考法3 对数函数的性质及应用考法4 指数函数、对数函数的综合应用
考法1 对数式的运算
示例1 (1)[2018全国卷Ⅲ,12,5分] 设?=lg0.20.3,?=lg20.3,则 A.?+? 考法2 对数函数的图象及应用
示例2 函数?=lg??与?=-?+?在同一平面直角坐标系中的图象可能是
考法2 对数函数的图象及应用
解析 当?>1时,函数?=lg??的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数?=-?+?的图象与?轴的交点的纵坐标?应满足?>1,选项B,D中的图象都不符合要求;当0解析 设f1(?)=(?-1)2,f2(?)=lg??,要使当?∈(1,2)时,不等式(?-1)21时,如图2-5-3所示,要使在区间(1,2)上,f1(?)=(?-1)2的图象在f2(?)=lg??的图象的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤lg?2,所以lg?2≥1,解得1方法技巧 对数型函数图象的考查类型及解题思路1.对有关对数型函数图象的识别问题,主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解.2.对有关对数型函数的作图问题,一般是从基本初等函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象.特别地,当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
3.对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体步骤如下:(1)对不等式变形,使不等号两边对应两函数f(?),g(?);(2)在同一平面直角坐标系内作出函数?=f(?)及函数?=g(?)的图象;(3)观察当?在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数,由此确定参数的取值或不等式的解的情况.
考法3 对数函数的性质及应用
方法技巧 比较对数值大小的常见类型及解题方法
方法技巧 常见的对数不等式的类型及解题方法
命题角度3 对数型函数的单调性问题
示例6 [2017全国卷Ⅰ,9,5分][文]已知函数f(?)=ln ?+ln(2-?),则A.f(?)在(0,2)上单调递增B.f(?)在(0,2)上单调递减C.?=f(?)的图象关于直线?=1对称D.?=f(?)的图象关于点(1,0)对称
方法技巧 对数型复合函数的单调性问题的求解策略1.对于?=lg? f(?)型的复合函数的单调性,有以下结论:函数?=lg? f(?)的单调性与函数u=f(?)(f(?)>0)的单调性在?>1时相同,在0 考法4 指数函数、对数函数的综合问题
示例7 [2020全国卷Ⅰ,12,5分]若2?+lg2?=4?+2lg4?,则A.?>2?B.?<2?C.?>?2D.?解法二(取特值法) 由2?+lg2?=4?+2lg4?=4?+lg2?,取?=1,得2?+lg2?=4,令f(?)=2?+lg2?-4,则f(?)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,所以f(1)f(2)<0,f(?)=2?+lg2?-4在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以12?=2,?0,所以g(3)g(4)<0,g(?)=2?+lg2?-17在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以3?2=4不成立,排除C.答案 B
点评 破解此类题的关键:一是巧构造,即会构造函数,注意活用初等函数的单调性进行判断;二是会放缩,即会利用放缩法比较大小.
方法技巧 解决指数函数与对数函数综合问题的技巧(1)解决指数函数与对数函数的综合问题时,一般运用指数、对数函数的图象与性质等知识,并结合研究函数的性质的思想方法来分析解决问题.(2)解决与指数函数、对数型函数有关的问题时,要注意数形结合思想的应用.(3)在给定条件下求字母的取值范围是常见题型,要重视不等式的知识及函数单调性在这类问题中的应用.
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析情境∙ 数学应用数学应用 对数函数的实际应用提能力 ∙ 数学探索数学探索 指数、对数比较大小的策略
备考指导 本题以天体的明暗程度为背景,考查考生的阅读理解能力,运算求解能力,以及运用数学知识分析解决问题的能力.本题难度不大,具有良好的导向作用,引导考生在学习过程中增强数学应用意识,关注数学的实际应用.
数学探索 指数、对数比较大小的策略
2.涉及三元变量的比较大小问题若题设涉及三个指数式连等或三个对数式连等,则可利用特例法求解,也可在设元变形的基础上,通过作差、作商或运用函数的性质求解. 示例10 [2017全国卷Ⅰ,11,5分]设?,?,?为正数,且2?=3?=5?,则A.2?<3?<5?B.5?<2?<3?C.3?<5?<2?D.3?<2?<5?
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考点1 对数与对数运算考点2 对数函数的图象与性质
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考法1 对数式的运算考法2 对数函数的图象及应用考法3 对数函数的性质及应用考法4 指数函数、对数函数的综合问题
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数学应用 对数函数的实际应用
数学探索 指数、对数比较大小的策略
考点1 对数与对数运算考点2 对数的图象与性质
考点1 对数与对数运算
1.对数的概念一般地,如果??=N(?>0,且?≠1),那么数?叫作以?为底N的对数,记作?=lg?N,其中?叫作对数的底数,N叫作真数.由此可得对数式与指数式的互化:??=N⇔lg?N=?(?>0,且?≠1). 说明 几种常见的对数
2.对数的性质、运算法则及重要公式
说明 (1)应用换底公式时,一般选用e或10作为底数.(2)表中有关公式均是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立的.
考点2 对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象和性质
3.反函数指数函数?=??(?>0,且?≠1)与对数函数?=lg??(?>0,且?≠1)互为反函数,它们的图象关于直线?=?对称(如图2-5-2所示).
考法1 对数式的运算考法2 对数函数的图象及应用考法3 对数函数的性质及应用考法4 指数函数、对数函数的综合应用
考法1 对数式的运算
示例1 (1)[2018全国卷Ⅲ,12,5分] 设?=lg0.20.3,?=lg20.3,则 A.?+? 考法2 对数函数的图象及应用
示例2 函数?=lg??与?=-?+?在同一平面直角坐标系中的图象可能是
考法2 对数函数的图象及应用
解析 当?>1时,函数?=lg??的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数?=-?+?的图象与?轴的交点的纵坐标?应满足?>1,选项B,D中的图象都不符合要求;当0解析 设f1(?)=(?-1)2,f2(?)=lg??,要使当?∈(1,2)时,不等式(?-1)2
3.对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体步骤如下:(1)对不等式变形,使不等号两边对应两函数f(?),g(?);(2)在同一平面直角坐标系内作出函数?=f(?)及函数?=g(?)的图象;(3)观察当?在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数,由此确定参数的取值或不等式的解的情况.
考法3 对数函数的性质及应用
方法技巧 比较对数值大小的常见类型及解题方法
方法技巧 常见的对数不等式的类型及解题方法
命题角度3 对数型函数的单调性问题
示例6 [2017全国卷Ⅰ,9,5分][文]已知函数f(?)=ln ?+ln(2-?),则A.f(?)在(0,2)上单调递增B.f(?)在(0,2)上单调递减C.?=f(?)的图象关于直线?=1对称D.?=f(?)的图象关于点(1,0)对称
方法技巧 对数型复合函数的单调性问题的求解策略1.对于?=lg? f(?)型的复合函数的单调性,有以下结论:函数?=lg? f(?)的单调性与函数u=f(?)(f(?)>0)的单调性在?>1时相同,在0 考法4 指数函数、对数函数的综合问题
示例7 [2020全国卷Ⅰ,12,5分]若2?+lg2?=4?+2lg4?,则A.?>2?B.?<2?C.?>?2D.?解法二(取特值法) 由2?+lg2?=4?+2lg4?=4?+lg2?,取?=1,得2?+lg2?=4,令f(?)=2?+lg2?-4,则f(?)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)<0,f(2)>0,所以f(1)f(2)<0,f(?)=2?+lg2?-4在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以12?=2,?0,所以g(3)g(4)<0,g(?)=2?+lg2?-17在(0,+∞)上存在唯一的零点,所以3?2=4不成立,排除C.答案 B
点评 破解此类题的关键:一是巧构造,即会构造函数,注意活用初等函数的单调性进行判断;二是会放缩,即会利用放缩法比较大小.
方法技巧 解决指数函数与对数函数综合问题的技巧(1)解决指数函数与对数函数的综合问题时,一般运用指数、对数函数的图象与性质等知识,并结合研究函数的性质的思想方法来分析解决问题.(2)解决与指数函数、对数型函数有关的问题时,要注意数形结合思想的应用.(3)在给定条件下求字母的取值范围是常见题型,要重视不等式的知识及函数单调性在这类问题中的应用.
高分帮·“双一流”名校冲刺
析情境∙ 数学应用数学应用 对数函数的实际应用提能力 ∙ 数学探索数学探索 指数、对数比较大小的策略
备考指导 本题以天体的明暗程度为背景,考查考生的阅读理解能力,运算求解能力,以及运用数学知识分析解决问题的能力.本题难度不大,具有良好的导向作用,引导考生在学习过程中增强数学应用意识,关注数学的实际应用.
数学探索 指数、对数比较大小的策略
2.涉及三元变量的比较大小问题若题设涉及三个指数式连等或三个对数式连等,则可利用特例法求解,也可在设元变形的基础上,通过作差、作商或运用函数的性质求解. 示例10 [2017全国卷Ⅰ,11,5分]设?,?,?为正数,且2?=3?=5?,则A.2?<3?<5?B.5?<2?<3?C.3?<5?<2?D.3?<2?<5?
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