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2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第9章第2讲 圆的方程及直线、圆的位置关系
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这是一份2022版高三全国统考数学（文）大一轮备考课件：第9章第2讲 圆的方程及直线、圆的位置关系，共60页。PPT课件主要包含了考点帮·必备知识通关，考点1圆的方程，考法帮·解题能力提升，提素养∙数学文化，考情解读，圆的方程，思维导引，核心素养等内容，欢迎下载使用。
考点2 直线与圆的位置关系
考点3 圆与圆的位置关系
考法1 求圆的方程
考法2 与圆有关的最值问题
考法3 直线与圆的位置关系
考法4 圆与圆的位置关系
考法5 圆的弦长问题
考法6 圆的切线问题
高分帮 ·“双一流”名校冲刺
数学文化 圆与数学文化
考点1 圆的方程考点2 直线与圆的位置关系考点3 圆与圆的位置关系
考点1 圆的方程
2.点与圆的位置关系(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:d>r⇔点在圆外;d=r⇔点在圆上;dr2⇔点在圆外;(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点在圆上;(x0-a)2+(y0-b)2
设圆O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则
考点3 圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(R>r),则
易错警示 判断圆与圆位置关系的注意点对于圆与圆的位置关系,从交点的个数,也就是两圆方程联立组成的方程组的解的组数来判断的话,有时得不到确切的结论.如当Δ<0时,需要再根据图形判断两圆是外离,还是内含;当Δ=0时,还需要判断两圆是外切,还是内切.
2.两圆相交时,公共弦所在直线的方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②,若两圆相交,则有一条公共弦,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 ③.方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程.
注意 (1)方程③存在的前提是两圆相交;(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心;(3)求公共弦长时,几何法比代数法简单且易求.
考法1 求圆的方程考法2 与圆有关的最值问题考法3 直线与圆的位置关系考法4 圆与圆的位置关系考法5 圆的弦长问题考法6 圆的切线问题
考法1 求圆的方程
示例1 [2018天津,12,5分]在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .
思维导引 思路一 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),分别将三点的坐标代入圆的方程,求出D,E,F即可;思路二 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,分别将三点的坐标代入圆的方程,求出a,b,r即可;思路三 通过已知条件及圆的几何性质求出圆的基本量.
方法技巧 1.选择方程的原则(1)已知条件多与圆心、半径有关,或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离等有关时,则设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);(2)已知圆上的三个点的坐标时,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
2.求圆的方程的两种方法
3.确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.
注意 解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
思维拓展 圆系方程(1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数;(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);(3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).
考法2 与圆有关的最值问题
方法技巧 与圆有关的最值问题的常见类型及求解策略1.借助几何性质求最值借助几何性质求与圆有关的最值问题时,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.(1)最小圆(圆的面积最小)问题,转化为求半径最小值问题;(2)圆上的点到圆外的点(直线)的距离的最值,应先求圆心到圆外的点(直线)的距离,再加上半径或减去半径求得最值;
2.建立函数关系求最值根据题中条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.3.利用对称性求最值解形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的最值问题(其中P,Q均为动点)时,要立足两点:①“动化定”,把与圆上的点间的距离转化为与圆心间的距离;②“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
考法3 直线与圆的位置关系
示例4 直线l :mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
解法三(点与圆的位置关系法) 直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆相交.答案 A点评 判断直线与圆的位置关系时,通常利用圆心到直线的距离,注意求距离时直线方程必须化成一般式.
方法技巧 判断直线与圆的位置关系的方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.(2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断.①如果Δ<0,那么直线与圆相离;②如果Δ=0,那么直线与圆相切;③如果Δ>0,那么直线与圆相交.
(3)点与圆的位置关系法:若直线过定点且该定点在圆内,则可判断直线与圆相交.注意 直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法较简单;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法较简单.
考法4 圆与圆的位置关系
示例5 分别求当实数k为何值时,圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0与圆C2:x2+y2-2x-14y+k=0相交和相切.思维导引
方法技巧 圆与圆的位置关系的判断方法(1)几何法:由两圆的圆心距d与半径R,r(R>r)的关系来判断.d>R+r⇔外离;d=R+r⇔外切;R-r
考法5 圆的弦长问题
解法二 设过A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D,由x1x2=-2可知原点O在圆内,则由相交弦定理可得|OC|·|OD|=|OA|·|OB|=|x1|·|x2|=2. (利用相交弦定理:若圆O的两条弦AB,CD交于一点P,则|PA|·|PB|=|PC|·|PD|) 又|OC|=1,所以|OD|=2,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|+|OD|=3,为定值.
考法6 圆的切线问题
(2) ∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,∴点M在圆C 外部.当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线;当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,
2.求过圆外一点(x0,y0)的切线方程的方法
思维拓展 与圆的切线有关的结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线的方程为x0x+y0y=r2;(4)过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
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考点2 直线与圆的位置关系
考点3 圆与圆的位置关系
考法1 求圆的方程
考法2 与圆有关的最值问题
考法3 直线与圆的位置关系
考法4 圆与圆的位置关系
考法5 圆的弦长问题
考法6 圆的切线问题
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考点1 圆的方程考点2 直线与圆的位置关系考点3 圆与圆的位置关系
考点1 圆的方程
2.点与圆的位置关系(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:d>r⇔点在圆外;d=r⇔点在圆上;d
设圆O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则
考点3 圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(R>r),则
易错警示 判断圆与圆位置关系的注意点对于圆与圆的位置关系,从交点的个数,也就是两圆方程联立组成的方程组的解的组数来判断的话,有时得不到确切的结论.如当Δ<0时,需要再根据图形判断两圆是外离,还是内含;当Δ=0时,还需要判断两圆是外切,还是内切.
2.两圆相交时,公共弦所在直线的方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②,若两圆相交,则有一条公共弦,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 ③.方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程.
注意 (1)方程③存在的前提是两圆相交;(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心;(3)求公共弦长时,几何法比代数法简单且易求.
考法1 求圆的方程考法2 与圆有关的最值问题考法3 直线与圆的位置关系考法4 圆与圆的位置关系考法5 圆的弦长问题考法6 圆的切线问题
考法1 求圆的方程
示例1 [2018天津,12,5分]在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .
思维导引 思路一 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),分别将三点的坐标代入圆的方程,求出D,E,F即可;思路二 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,分别将三点的坐标代入圆的方程,求出a,b,r即可;思路三 通过已知条件及圆的几何性质求出圆的基本量.
方法技巧 1.选择方程的原则(1)已知条件多与圆心、半径有关,或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离等有关时,则设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);(2)已知圆上的三个点的坐标时,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
2.求圆的方程的两种方法
3.确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.
注意 解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
思维拓展 圆系方程(1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数;(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);(3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).
考法2 与圆有关的最值问题
方法技巧 与圆有关的最值问题的常见类型及求解策略1.借助几何性质求最值借助几何性质求与圆有关的最值问题时,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.(1)最小圆(圆的面积最小)问题,转化为求半径最小值问题;(2)圆上的点到圆外的点(直线)的距离的最值,应先求圆心到圆外的点(直线)的距离,再加上半径或减去半径求得最值;
2.建立函数关系求最值根据题中条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.3.利用对称性求最值解形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的最值问题(其中P,Q均为动点)时,要立足两点:①“动化定”,把与圆上的点间的距离转化为与圆心间的距离;②“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
考法3 直线与圆的位置关系
示例4 直线l :mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
解法三(点与圆的位置关系法) 直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆相交.答案 A点评 判断直线与圆的位置关系时,通常利用圆心到直线的距离,注意求距离时直线方程必须化成一般式.
方法技巧 判断直线与圆的位置关系的方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.(2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断.①如果Δ<0,那么直线与圆相离;②如果Δ=0,那么直线与圆相切;③如果Δ>0,那么直线与圆相交.
(3)点与圆的位置关系法:若直线过定点且该定点在圆内,则可判断直线与圆相交.注意 直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法较简单;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法较简单.
考法4 圆与圆的位置关系
示例5 分别求当实数k为何值时,圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0与圆C2:x2+y2-2x-14y+k=0相交和相切.思维导引
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考法5 圆的弦长问题
解法二 设过A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D,由x1x2=-2可知原点O在圆内,则由相交弦定理可得|OC|·|OD|=|OA|·|OB|=|x1|·|x2|=2. (利用相交弦定理:若圆O的两条弦AB,CD交于一点P,则|PA|·|PB|=|PC|·|PD|) 又|OC|=1,所以|OD|=2,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|+|OD|=3,为定值.
考法6 圆的切线问题
(2) ∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,∴点M在圆C 外部.当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线;当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,
2.求过圆外一点(x0,y0)的切线方程的方法
思维拓展 与圆的切线有关的结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线的方程为x0x+y0y=r2;(4)过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
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