2021届高中数学一轮复习人教版文49抛物线作业

这是一份2021届高中数学一轮复习人教版文49抛物线作业，共6页。
一、选择题
1．[2020·吉林辽源市田家炳中学调研]以直线x＝1为准线的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝－2x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：易知以直线x＝1为准线的抛物线焦点在x轴的负半轴上，且抛物线开口向左，所以y2＝－4x，故选D.
答案：D
2．[2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，椭圆的焦点坐标为(±eq \r(2p)，0)，所以eq \f(p,2)＝eq \r(2p)，解得p＝8，故选D.
答案：D
3．[2020·江西南昌一模]已知抛物线方程为x2＝－2y，则其准线方程为( )
A．y＝－1 B．y＝1
C．y＝eq \f(1,2) D．y＝－eq \f(1,2)
解析：由题意得，抛物线的准线方程为y＝eq \f(1,2)，故选C.
答案：C
4．[2020·江西南昌高三期中]已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( )
A．2 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(5,2)
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，∴x1＋x2＝3，∴点C的横坐标是eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(3,2).故选C.
答案：C
5．[2020·云南昆明调研]设点M为抛物线C：y2＝4x的准线上一点(不同于准线与x轴的交点)，过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设MA，MF，MB的斜率分别为k1，k2，k3，则eq \f(k1＋k3,k2)的值为( )
A．2 B．2eq \r(2)
C．4 D．4eq \r(2)
解析：
不妨设点A在x轴上方，如图，由题意知，抛物线C的准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．将x＝1代入抛物线C的方程得y＝±2，所以A(1,2)，B(1，－2)．设点M的坐标为(－1，y0)，则k1＝eq \f(2－y0,2)，k2＝eq \f(－y0,2)，k3＝eq \f(－2－y0,2)，所以eq \f(k1＋k3,k2)＝2.故选A.
答案：A
二、填空题
6．[2020·长沙模拟]已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(3,0)，P1，P2，…，P2017是抛物线C上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x2 017，若x1＋x2＋…＋x2 017＝2 017，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P2 017F|＝________.
解析：因为抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(3,0)，所以抛物线C的方程为y2＝12x，其准线方程为x＝－3.由抛物线的定义可得|PiF|＝xi＋3(i＝1,2，…，2 017)，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P2 017F|＝(x1＋3)＋(x2＋3)＋…＋(x2 017＋3)＝x1＋x2＋…＋x2 017＋3×2 017＝8 068.
答案：8 068
7．[2020·宝安，潮阳，桂城八校联考]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________.
解析：解法一 由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，|AF|＝3，由抛物线的定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2.如图，不妨设点A在第一象限，将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，所以点A的纵坐标为2eq \r(2)，即A(2,2eq \r(2))，所以直线AF的方程为y＝2eq \r(2)(x－1)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2\r(2)x－1，,y2＝4x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝－\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2\r(2).))所以点B的横坐标为eq \f(1,2)，所以|BF|＝eq \f(3,2).
解法二
如图，不妨设点A在第一象限，设∠AFx＝θ，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则由抛物线的定义知xA＋1＝2＋3csθ＝3，解得csθ＝eq \f(1,3).又|BF|＝xB＋1＝1－|BF|csθ＋1＝2－eq \f(1,3)|BF|，所以|BF|＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
8．[2019·河北六校模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线C的方程为________．
解析：设圆的圆心为M(xM，yM)，根据题意可知圆心M在抛物线C上．又圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF|＝xM＋eq \f(p,2)＝6，即xM＝6－eq \f(p,2)，又由题意可知xM＝eq \f(p,4)，∴eq \f(p,4)＝6－eq \f(p,2)，解得p＝8，∴抛物线C的方程为y2＝16x.
答案：y2＝16x
三、解答题
9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))，求抛物线与双曲线的方程．
解析：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，
∴p＝2c.
设抛物线方程为y2＝4c·x，
∵抛物线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))，
∴6＝4c·eq \f(3,2).
∴c＝1，故抛物线方程为y2＝4x.
又双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\r(6)))，
∴eq \f(9,4a2)－eq \f(6,b2)＝1.又a2＋b2＝c2＝1，
∴eq \f(9,4a2)－eq \f(6,1－a2)＝1.
∴a2＝eq \f(1,4)或a2＝9(舍去)．
∴b2＝eq \f(3,4)，
故双曲线方程为eq \f(x2,\f(1,4))－eq \f(y2,\f(3,4))＝1.
10．[2020·江西南昌重点中学段考]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
解析：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p. ①
(1)由x2＝2py得y′＝eq \f(x,p)，则A，B处的切线斜率的乘积为eq \f(x1x2,p2)＝－eq \f(2,p)，
∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－eq \f(2,p)＝－1，∴p＝2.
(2)易得直线AN：y－y1＝eq \f(x1,p)(x－x1)，直线BN：y－y2＝eq \f(x2,p)(x－x2)，
联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－y1＝\f(x1,p)x－x1，,y－y2＝\f(x2,p)x－x2，))结合①式，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝pk，,y＝－1，))即N(pk，－1)．
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4p2k2＋8p)，
点N到直线AB的距离d＝eq \f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq \f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，
则S△ABN＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝eq \r(ppk2＋23)≥2eq \r(2p)，当且仅当k＝0时，取等号，
∵△ABN的面积的最小值为4，
∴2eq \r(2p)＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.
[能力挑战]
11．[2020·福建厦门一模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，AF的中点坐标为(2,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝8x
C．y2＝10x D．y2＝16x
解析：由抛物线y2＝2px(p>0)，可得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，由线段AF的中点坐标为(2,2)，可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(p,2)，4))，又点A在抛物线C上，代入抛物线C的方程可得16＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(p,2)))，得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，故选B.
答案：B
12．[2020·湖南五市十校联考]在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若∠NFR＝60°，则|NR|＝( )
A．2 B.eq \r(3)
C．2eq \r(3) D．3
解析：
如图，连接MF，QF，设准线l与x轴交于H，∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，∴|FH|＝2，|PF|＝|PQ|，∵M，N分别为PQ，PF的中点，∴MN∥QF，∵PQ垂直l于点Q，∴PQ∥OR，∵|PQ|＝|PF|，∠NFR＝60°，∴△PQF为等边三角形，∴MF⊥PQ，∴F为HR的中点，∴|FR|＝|FH|＝2，∴|NR|＝2.故选A.
答案：A
13．[2020·郑州入学测试]抛物线y2＝8x的焦点为F，点A(6,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为________．
解析：
由题意得抛物线的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2.∵|AF|＝eq \r(6－22＋32)＝5，∴求△PAF周长的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值．设点P在准线上的射影为D，如图，连接PD，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，∴|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值．根据平面几何的知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|取得最小值，∴|PA|＋|PF|的最小值为xA－(－2)＝8，∴△PAF周长的最小值为8＋5＝13.
答案：13