2020-2021学年河南省南阳市高二（下）4月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高二（下）4月月考数学试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数z=1+2i2+i，则|z|=( )
A.5B.25C.5D.1

2. 下列表示乘客搭乘飞机的流程正确的是( )
A.买票→候机→检票→登机B.候机→买票→检票→登机
C.买票→候机→登机→检票D.候机→买票→登机→检票

3. 观察下图数字，推断第八个图中五个数字之和为( )

A.137B.138C.139D.140

4. 关于线性相关系数r，下面说法不正确的是( )
A.r∈−1,1
B.|r|越小变量之间的线性相关程度越高
C.若r<0，则一个变量增加，另一个变量有减少的趋势
D.若r=0，则两个变量线性不相关

5. 已知复数z满足iz=a+i2，若z在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为( )
A.−1,0B.1,+∞C.0,1D.−1,0∪1,+∞

6. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是78，则整数a=( )

A.6B.7C.8D.9

7. 若复数z=2m2−m−1−2m2−3m+1i是纯虚数，则实数m=( )
A.−12或1B.−12C.13D.13或1

8. 类比在数学中应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比猜想，而后加以证明得出的．下列类比结论正确的是( )
A.由“若实数a，b满足|a|=|b|，则a=b或a=−b”类比推出“若复数z1，z2满足|z1|=|z2|，则z1=z2或z1=−z2”
B.由“若实数a，b满足ab=0，则a=0或b=0”类比推出“若向量a→，b→满足a→⋅b→=0，则a→=0→或b→=0→"
C.由“在△ABC中，∠C=90∘，BC=a，AC=b，则△ABC的外接圆半径r=a2+b22”类比推出“在四面体ABCD中，三条侧棱两两垂直，三条侧棱长分别是a，b，c，则四面体的外接球半径R=a2+b2+c23”
D.由“在椭圆x2a2+y2b2=1中，斜率为1的弦的中点在直线xa2+yb2=0上”类比推出“在双曲线x2a2−y2b2=1|a|≠|b|中，斜率为1的弦的中点在直线xa2−yb2=0上”

9. 已知复数z=1−3i23+i，z¯为z的共轭复数，若z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点为A点，z¯在复平面内对应的点为B点，则|AB|=( )
A.2B.23C.26D.4

10. 某学校派出了小张、小王、小李、小刘、小赵五位学生代表学校参加某次数学竞赛．已知其中一位学生在此次比赛中获奖，但不知是哪一位学生．
小张说：“要么是我，要么是小李．”
小王说：“不是小刘．”
小李说：“如果不是小赵，那么一定是小王．”
小赵说：“既不是我，也不是小王．”
小刘说：“既不是小李，也不是小张．”
数学老师拿到获奖名单后，看了看，说：“你们五位同学的猜测，只有两个的话是对的．”根据数学老师的话，判定在此次比赛中获奖的是( )
A.小刘B.小王C.小李D.小赵

11. 已知变量y与x的一组数据如下表所示，根据数据得到y关于x的回归方程为y=ebx−1 .
若y=e13，则x=( )
A.6B.7C.8D.9

12. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则此数列的前37项和为( )

A.1040B.1004C.1014D.1024
二、填空题

3+i3i−1⋅1+i1−i2021=________ .

先后掷两枚均匀的骰子，设A={掷出的点数之和不小于8}，B={第一枚骰子掷出的点数为5点}，则PA|B=________．

已知复数z满足|z−1+i|=2，z¯为z的共轭复数，则z⋅z¯的最大值为________.

在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有1个红的，2个蓝的，3个绿的，4个黄的．从中任取一球，放回后，再取一球，则第一次取出蓝球且第二次取出黄球的概率为________.
三、解答题

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，现用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)判断是否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.

在2020年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某地区从2020年2月1日算起，最近5天，每日新增的新型冠状病毒肺炎人数y的具体数据如下表所示：
已知2月份前半个月处于疫情爆发期，且新增病例数与天数具有相关关系．
(1)求y关于x的线性回归方程y=bx+a；

(2)预测从哪天开始该地区新增的新型冠状病毒肺炎人数会大于36.
注：回归直线方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯，x¯，y¯为样本平均值．

已知复数z=m2−m−6+m2−9i．
(1)若z的实部与虚部互为相反数，求实数m的值；

(2)若m为整数，且|z|=10，求z在复平面内对应点的坐标．

已知某曲线方程为x2−2y2=1，过点0,−1的直线l与该曲线交于A，B两点，用反证法证明：以AB为直径的圆不经过原点．

已知数列an满足2a1+5a2+⋯+3n−1an=2n+1−2 .
(1)求an的通项公式；

(2)已知数列an的前n项和为Sn，数列bn的首项为−4，且2nbn+1−2n−1bn=4，证明：存在正整数m，使得对任意的正整数n，恒有mbn

(1)证明：对任意的x1，x2∈[1,+∞)，不等式lnx1x2≤x1+x21−1x1x2恒成立．

(2)证明：xex≥x+lnx+1．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】

【解答】
解：因为z=1+2i2+i=(1+2i)(2−i)(2+i)(2−i)=45+35i，
所以|z|=1 .
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
流程图
【解析】
旅客搭乘火车，应买票→候车→检票→上车，可得结论．
【解答】
解：检票在登机之前，排除C，D，
旅客搭乘飞机要先买票，故排除B，
旅客搭乘飞机，流程为买票→候机→检票→登机.
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
归纳推理
进行简单的合情推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：可知3，5，7，9，⋯，依次增加2，
所以第8个图中，数字为17；
可知1，2，3，4，⋯，依次增加1，
所以第8个图中，数字为8；
可知2，6，12，20，⋯，依次增加2+2n，
所以第8个图中，数字为72；
可知2，4，6，8，⋯，依次增加2，
所以第8个图中，数字为16；
可知5，8，11，14，⋯，依次增加3，
所以第8个图中，数字为26；
所以第八个图为：
所以五个数字之和为17+8+72+16+26=139 .
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
相关系数
变量间的相关关系
【解析】
根据题意，由相关系数r的意义，分析选项，即可得答案．
【解答】
解：A，r∈−1,1，该选项正确；
B，|r|越接近于1，变量之间的线性相关程度越高，该选项错误；
C，若r<0，两变量为负相关，则一个变量增加，另一个变量有减少的趋势，该选项正确；
D，若r=0，则两个变量线性不相关，该选项正确.
故选B.
5.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为z=a+i2i=2a−a2−1i，且z在复平面内对应的点在第二象限，
所以2a<0，−a2−1>0，解得−1故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据程序框图可知，当a=8时，
则S=1−12+12−13+13−14+⋯+17−18=1−18=78 .
故选C .
7.
【答案】
B
【考点】
复数的基本概念
【解析】

【解答】
解：由2m2−m−1=0，2m2−3m+1≠0，
得m=−12 .
故选B .
8.
【答案】
D
【考点】
类比推理
【解析】

【解答】
解：若复数z1，z2满足|z1|=|z2|，则z1，z2可能互为共轭复数，故A错误；
若向量a→，b→满足a→⋅b→=0，则可能a→⊥b→，故B错误；
若在四面体ABCD中，三条侧棱两两垂直，三条侧棱长分别是a，b，c，
则四面体的外接球半径R=a2+b2+c22，故C错误；
结合中点弦，由点差法可知D正确．
故选D．
9.
【答案】
D
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
共轭复数
【解析】
无
【解答】
解：因为z=(1−3i)23+i=−3−i，
所以z¯=−3+i．
因为z在复平面内对应的点为−3,−1．
所以关于虚轴对称的点为A(3,−1)，
z¯在复平面内对应的点为B−3,1，
所以|AB|=(3+3)2+(−1−1)2=4．
故选D．
10.
【答案】
A
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
因为小张与小刘两人的话是对立的，小李与小赵两人的话也是对立的，都是一对—错，所以小王的话—定是情的，即获奖人为小刘 .
【解答】
解：因为小张与小刘两人的话是对立的，小李与小赵两人的话也是对立的，都是一对—错，
所以小王的话—定是错的，
所以获奖人为小刘 .
故选A .
11.
【答案】
B
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
。
【解答】
解：由y=ebx−1，得lny=bx−1，
令z=lny，则z=bx−1，
由题意，x¯=1+2+3+44=2.5，
z¯=2+3+5+64=4，
∵ (x¯,z¯)满足z=bx−1，
∴ 4=b×2.5−1，
解得b=2，
∴ z=2x−1，
∴ y=e2x−1，
令e2x−1=e13，
则2x−1=13，
解得x=7.
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
数列的应用
【解析】

【解答】
解：没有去掉“1”之前，第1行的和为20，第2行的和为21，第3行的和为22，
以此类推，
即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则前n项和为Sn=1−2n1−2=2n−1，
每一行的个数为1，2，3，4．⋯，
可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则前n项总个数为Tn=n(n+1)2，
当n=10时，T10=55，
去掉两端$``1"$，可得55−19=36，
则去掉两端“1”后此数列前36项和为S10−19=210−1−19=1004，
所以第37项为第11行去掉“1”后的第一个数，
第一个数为10，
所以该数列的前37项和为1004+10=1014.
故选C.
二、填空题
【答案】
1
【考点】
复数代数形式的混合运算
【解析】

【解答】
解：∵ 1+i1−i=i，
∴ (1+i1−i)2021=i2021=i.
∵ 3+i3i−1=(3+i)(3i+1)(3i−1)(3i+1)=−i，
∴ 3+i3i−1⋅(1+i1−i)2021=−i2=1.
故答案为：1.
【答案】
23
【考点】
条件概率与独立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为P(B)=636=16，
所以P(A∩B)=436=19，
P(A|B)=P(A∩B)P(B)=23 .
故答案为：23.
【答案】
6+42
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的模
共轭复数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ |z−1+i|=2的几何意义为z在复平面内所对应的点(a,b)到点(1,−1)的距离为2，
∴ z所对应的点(a,b)的轨迹是以(1,−1)为圆心，2为半径的圆，
而z⋅z¯=a2+b2可看作该圆上的点(a,b)到原点的距离的平方，
∴ (z⋅z¯)max=(2+2)2=6+42.
故答案为：6+42.
【答案】
225
【考点】
等可能事件的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：P=210×410=225.
故答案为：225.
三、解答题
【答案】
解：(1)调查的500名老年人中有80位需要志愿者提供帮助，
因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为：
80500×100%=16%.
(2)K2=500×45×265−35×155280×300×200×420≈10.479，
因为10.479>6.635，
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
【考点】
用样本的数字特征估计总体的数字特征
独立性检验的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)调查的500名老年人中有80位需要志愿者提供帮助，
因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为：
80500×100%=16%.
(2)K2=500×45×265−35×155280×300×200×420≈10.479，
因为10.479>6.635，
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
【答案】
解：(1)由题意，x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=2+5+9+12+175=9，
i=15xiyi=172，i=15xi2=55，
则b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2=172−5×3×955−5×32=3.7，
a=y¯−bx¯=9−3.7×3=−2.1，
所以线性回归方程为y=3.7x−2.1．
(2)令3.7x−2.1>36，
得x>101137，
故预测2月11日该地区新增的新型冠状病毒肺炎人数会大于36.
【考点】
求解线性回归方程
回归分析
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=2+5+9+12+175=9，
i=15xiyi=172，i=15xi2=55，
则b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2=172−5×3×955−5×32=3.7，
a=y¯−bx¯=9−3.7×3=−2.1，
所以线性回归方程为y=3.7x−2.1．
(2)令3.7x−2.1>36，
得x>101137，
故预测2月11日该地区新增的新型冠状病毒肺炎人数会大于36.
【答案】
解：(1)因为z的实部与虚部互为相反数，
所以m2−m−6+m2−9=0，
即2m2−m−15=0，
解得m=3或−52.
(2)因为|z|=10，
所以m2−m−62+m2−92=100，
所以(m−3)2(2m2+10m+13)=100，
因为m为整数，
所以m−32为平方数，2m2+10m+13为奇数．
因为100=102×1或100=22×25
所以验证可得m−3=−2，即m=1，
因为m=1，
所以z=−6−8i，
其在复平面内对应点的坐标为−6,−8.
【考点】
复数的基本概念
复数的代数表示法及其几何意义
复数的模
【解析】


【解答】
解：(1)因为z的实部与虚部互为相反数，
所以m2−m−6+m2−9=0，
即2m2−m−15=0，
解得m=3或−52.
(2)因为|z|=10，
所以m2−m−62+m2−92=100，
所以(m−3)2(2m2+10m+13)=100，
因为m为整数，
所以m−32为平方数，2m2+10m+13为奇数．
因为100=102×1或100=22×25
所以验证可得m−3=−2，即m=1，
因为m=1，
所以z=−6−8i，
其在复平面内对应点的坐标为−6,−8.
【答案】
证明：假设以AB为直径的圆经过原点．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为直线l的斜率存在，
所以设直线l的方程为y=kx−1，
联立方程组y=kx−1,x2−2y2=1，
得1−2k2x2+4kx−3=0，
所以x1+x2=−4k1−2k2，x1x2=−31−2k2，
因为以AB为直径的圆经过原点O，
所以OA⊥OB，即OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=0，
因为x1x2+y1y2=x1x2+(kx1−1)(kx2−1)
=(1+k2)x1x2−k(x1+x2)+1，
所以−31+k21−2k2−−4k21−2k2+1=0，
得k2=−2，与k2≥0相矛盾．
所以假设不成立，
故以AB为直径的圆不经过原点O．
【考点】
反证法
点与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：假设以AB为直径的圆经过原点．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为直线l的斜率存在，
所以设直线l的方程为y=kx−1，
联立方程组y=kx−1,x2−2y2=1，
得1−2k2x2+4kx−3=0，
所以x1+x2=−4k1−2k2，x1x2=−31−2k2，
因为以AB为直径的圆经过原点O，
所以OA⊥OB，即OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=0，
因为x1x2+y1y2=x1x2+(kx1−1)(kx2−1)
=(1+k2)x1x2−k(x1+x2)+1，
所以−31+k21−2k2−−4k21−2k2+1=0，
得k2=−2，与k2≥0相矛盾．
所以假设不成立，
故以AB为直径的圆不经过原点O．
【答案】
(1)解：2a1+5a2+⋯ +3n−1an=2n+1−2，
当n≥2时，2a1+5a2+⋯+3n−4an−1=2n−2，
两式相减，得3n−1an=2n，
即an=3n−12n(n≥2)．
当n=1时，2a1=2，
解得a1=1，满足上式，
所以an=3n−12n.
(2)证明：Sn=2×12+5×122+8×123+⋯+3n−1×12n，①
12Sn=2×122+5×123+8×124+⋯+3n−1×12n+1，②
①−②，得12Sn=1+3×122+3×123+⋯
+3×12n−3n−1×12n+1，
即12Sn=1+3×14[1−(12)n−1]1−12−(3n−1)×(12)n+1，
12Sn=52−3n+52×12n，
所以Sn=5−3n+52n，
由2nbn+1−2n−1bn=4，得{2n−1bn}是首项为−4，公差为4的等差数列，
则2n−1bn=−4+4n−1=4n−8，
即bn=4n−82n−1=8n−162n，
由已知，对任意的正整数n，恒有8n−162nm<5−3n+52n，
当n=1时，−4m<1，
解得m>−14；
当n=2时，m∈R；
当n≥3时，不等式可化为8m<5×2n−3n−5n−2，
令fn=5×2n−3n−5n−2(n≥3，n∈N∗)，
则fn+1=5×2n+1−3n+1−5n−1=10×2n−3n−8n−1，
所以fn+1−fn=10×2n−3n−8n−1−5×2n−3n−5n−2
=10×2n−3n−8n−2−5×2n−3n−5n−1n−1n−2
=5n−15×2n+11n−1n−2，
当n≥3时，5n−15×2n+11n−1n−2>0，则fn+1>fn，
所以fn=5×2n−3n−5m−2(n≥3，n∈N∗)单调递增，
所以fn的最小值为f3=26，则8m<26，
即m=1或2或3满足题意．
所以存在正整数m，使得对任意的正整数n，恒有mbn【考点】
数列递推式
数列的求和
数列与不等式的综合
【解析】
.
.
【解答】
(1)解：2a1+5a2+⋯ +3n−1an=2n+1−2，
当n≥2时，2a1+5a2+⋯+3n−4an−1=2n−2，
两式相减，得3n−1an=2n，
即an=3n−12n(n≥2)．
当n=1时，2a1=2，
解得a1=1，满足上式，
所以an=3n−12n.
(2)证明：Sn=2×12+5×122+8×123+⋯+3n−1×12n，①
12Sn=2×122+5×123+8×124+⋯+3n−1×12n+1，②
①−②，得12Sn=1+3×122+3×123+⋯
+3×12n−3n−1×12n+1，
即12Sn=1+3×14[1−(12)n−1]1−12−(3n−1)×(12)n+1，
12Sn=52−3n+52×12n，
所以Sn=5−3n+52n，
由2nbn+1−2n−1bn=4，得{2n−1bn}是首项为−4，公差为4的等差数列，
则2n−1bn=−4+4n−1=4n−8，
即bn=4n−82n−1=8n−162n，
由已知，对任意的正整数n，恒有8n−162nm<5−3n+52n，
当n=1时，−4m<1，
解得m>−14；
当n=2时，m∈R；
当n≥3时，不等式可化为8m<5×2n−3n−5n−2，
令fn=5×2n−3n−5n−2(n≥3，n∈N∗)，
则fn+1=5×2n+1−3n+1−5n−1=10×2n−3n−8n−1，
所以fn+1−fn=10×2n−3n−8n−1−5×2n−3n−5n−2
=10×2n−3n−8n−2−5×2n−3n−5n−1n−1n−2
=5n−15×2n+11n−1n−2，
当n≥3时，5n−15×2n+11n−1n−2>0，则fn+1>fn，
所以fn=5×2n−3n−5m−2(n≥3，n∈N∗)单调递增，
所以fn的最小值为f3=26，则8m<26，
即m=1或2或3满足题意．
所以存在正整数m，使得对任意的正整数n，恒有mbn【答案】
证明：(1)要证ln(x1x2)≤(x1+x2)(1−1x1x2)，
即要证lnx1+lnx2≤x1+x2−1x1−1x2，
只需证lnx1−x1+1x1+lnx2−x2+1x2≤0，
令f(x)=lnx−x+1x，x∈[1,+∞)，
因为f′x=1x−1−1x2=−xx−1−1x2<0，
所以fx在[1,+∞)上单调递减．
所以fxmax=f1=0，
所以对任意的x1，x2∈[1,+∞)，都有fx1≤0，fx2≤0，
所以fx1+fx2≤0恒成立，
故对任意的x1，x2∈[1,+∞)，
不等式lnx1x2≤x1+x21−1x1x2恒成立．
(2)要证xex≥x+lnx+1，即要证ex+lnx≥x+lnx+1，
令t=x+lnx，则只要证et≥t+1，
令gt=et−t−1，
因为g′t=et−1，
所以gt在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增．
因为g(t)min=g(0)=0，
所以gt≥0，即et≥t+1成立，
故xe2≥x+lnx+1成立．
【考点】
函数恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】


【解答】
证明：(1)要证ln(x1x2)≤(x1+x2)(1−1x1x2)，
即要证lnx1+lnx2≤x1+x2−1x1−1x2，
只需证lnx1−x1+1x1+lnx2−x2+1x2≤0，
令f(x)=lnx−x+1x，x∈[1,+∞)，
因为f′x=1x−1−1x2=−xx−1−1x2<0，
所以fx在[1,+∞)上单调递减．
所以fxmax=f1=0，
所以对任意的x1，x2∈[1,+∞)，都有fx1≤0，fx2≤0，
所以fx1+fx2≤0恒成立，
故对任意的x1，x2∈[1,+∞)，
不等式lnx1x2≤x1+x21−1x1x2恒成立．
(2)要证xex≥x+lnx+1，即要证ex+lnx≥x+lnx+1，
令t=x+lnx，则只要证et≥t+1，
令gt=et−t−1，
因为g′t=et−1，
所以gt在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增．
因为g(t)min=g(0)=0，
所以gt≥0，即et≥t+1成立，
故xe2≥x+lnx+1成立．x
1
2
3
4
y
e2
e3
e5
e6
男
女
需要
45
35
不需要
155
265
PK2≥K0
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
第x天
1
2
3
4
5
新增的新型冠状病毒肺炎人数y（人）
2
5
9
12
17