2020-2021学年河南省南阳市高一（下）5月月考数学试卷 (1)北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高一（下）5月月考数学试卷 (1)北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若α=2，则α是（ ）
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2. sin17π6=( )
A.12B.−12C.32D.−32

3. 函数fx=1−csx，x∈0,2π的大致图象为（ ）
A.
B.
C.
D.

4. 函数fx=1−2csx的定义域为（ ）
A.−π2+2kπ,π2+2kπk∈ZB.2kπ,π+2kπk∈Z
C.π2+2kπ,3π2+2kπk∈ZD.−π+2kπ,2kπk∈Z

5. 2021年4月16日消息，在第六个全民国家安全教育日到来之际，国家密码局组织开展2021年全民国家安全教育日密码安全宣传教育活动．活动旨在通过解读密码法律知识、普及密码安全常识，提升全民密码安全意识．为调查学生的密码安全常识的学习情况，某学校对800名学生进行抽样调查，先将800名学生编号为001，002，⋯，799，800，利用随机数表从中抽取80个样本，下面提供随机数表的前3行，若从第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ）

A.726B.489C.687D.234

6. 若角α与角β的终边关于y轴对称，则（ ）
A.α+β=πB.α+β=π2+2kπ,k∈Z
C.α+β=π+2kπ,k∈ZD.α+β=kπ,k∈Z

7. 如图，半径为6的扇形内切一个半径为2的圆，则该扇形的面积为（ ）

A.10πB.9πC.8πD.6π

8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的m=6，n=10，那么输出的k=（ ）

A.3B.4C.5D.6

9. 要得到函数f(x)=cs(2x+π3)的图象，只需把函数g(x)=sin2x的图象( )
A.向左平移π12个单位长度B.向左平移5π12个单位长度
C.向右平移π12个单位长度D.向右平移5π12个单位长度

10. 某同学假期参加夏令营趣味打靶射击活动，如图，已知该靶由五个同心圆组成，半径依次为1，2，3，4，5，假设该同学一定能够中靶，但落在靶中的位置是随机的，则射中阴影部分的概率是（ ）

A.1425B.1625C.35D.45

11. 当x∈−2π,2π时，函数y=sin2x与y=csx的图象的交点个数为（ ）
A.10B.8C.6D.4

12. 已知函数fx=2csωx+φ+3ω>0，若存在实数φ，使得fx在区间π6,π3上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为（ ）
A.0,2B.(0,14]C.(2,14]D.(2,22]
二、填空题

若函数fx=2sinωx−θω>0,0<θ≤π2为偶函数，且fx的图象关于直线x=π4对称，则ω的最小值为________ .
三、解答题

已知角θ的终边过点A5a,12aa<0 .
(1)求csθ−sinθ的值；

(2)求csπ2+θcsπ2−θsinπ−θ的值．

已知函数fx=tanx−π3 .
(1)求fx的定义域及fx图象的对称中心；

(2)求不等式fx≤3的解集．

随着夏天的到来，菠萝已经上市，某商超向果农收购菠萝，随机挑选了100个菠萝称重（单位：kg），将数据按照1.25,1.35，(1.35,1.45]，(1.45,1.55]，(1.55,1.65]，(1.65,1.75]，(1.75,1.85]分成6组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计这100个菠萝质量的中位数；

(2)果农准备从质量大于1.65kg的菠萝里用分层抽样的方法挑选6个送给商超的3位品鉴专家，每个专家品鉴2个，求专家甲拿到的菠萝来自同一组的概率．

已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示．

(1)求fx的解析式；

(2)求fx在π,2π上的单调递减区间．

为了给广大市民打造一个赏车购车的良好氛围，同时演绎出现代汽车注重科技与环保而带给人民的美好生活方式，某市每年都会定期举办一次汽车博览会．某车商每年都会参加该汽车博览会，并记录了最近4次汽车博览会参会人数（万人）与该车商卖出汽车数量y（辆）的数据，得到如下数据统计表：

(1)根据所给的4组数据，求出y关于x的线性回归方程；

(2)若今年的汽车博览会参会人数达到5万人，试估计该车商能卖出多少辆汽车．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯+bx¯ .

已知函数fx=csπx+π6 .
(1)求f12+f1+f32+f2+⋯+f20212；

(2)若对任意的x∈−1,0，|fx−m|≤3恒成立，求m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
象限角、轴线角
【解析】
因为π2<α<π，所以α是第二象限角．
【解答】
解：因为π2<α<π，所以α是第二象限角．
故选B .
2.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
利用三角函数的诱导公式及可求得答案．
【解答】
解：sin17π6=sin(2π+56π)=sin5π6=sin(π−π6)=sinπ6=12．
故选A．
3.
【答案】
A
【考点】
余弦函数的图象
【解析】
因为f0=1−1=0，所以排除B，C，C，选A．
【解答】
解：因为f0=1−1=0，所以排除B，C，D．
故选A．
4.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
余弦函数的定义域和值域
【解析】
由题意可得csx≥0，所以x∈−π2+2kπ,π2+2kπk∈Z .
【解答】
解：由题意可得csx≥0，
所以x∈−π2+2kπ,π2+2kπk∈Z .
故选A .
5.
【答案】
C
【考点】
随机数的含义与应用
【解析】
从表中第6行第6列开始向右读取分别为933（舍去），135,578，808（舍去），362,430,578（舍去），656，231,687，故第7个编号为687 .
【解答】
解：从表中第2行第7列开始向右读取分别为933（舍去），135，578，809（舍去），362，430，578（舍去），656，234，687，故第7个编号为687 .
故选C .
6.
【答案】
C
【考点】
函数的对称性
象限角、轴线角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为角α与角β的终边关于y轴对称，
所以α+β=π+2kπ,k∈Z．
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
扇形面积公式
【解析】
如图，设内切圆与OB切于点D，连接OC，CD．在△OCD中，sin∠COD=CDOC=26−2=12，所以∠COD=π6，所以∠BOA=π3，所以扇形的面积S=12×62×π3=6π .
【解答】
解：如图，设内切圆与OB切于点D，连接OC，CD．
在△OCD中，sin∠COD=CDOC=26−2=12，
所以∠COD=π6，所以∠BOA=π3，
所以扇形的面积S=12×62×π3=6π .
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
记录每次循环的结果，如下表所示，当循环到第4次时，满足s>30，故输出的k=4 .
【解答】
解：记录每次循环的结果，如下表所示，
当循环到第4次时，满足s>30，故输出的k=4.
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
诱导公式
【解析】
将两个函数化为同名函数，结合三角函数的平移规律即可得到结论．
【解答】
解：fx=cs2x+π3=sin2x+π3+π2=sin2x+5π12，
要得到fx的图象，只需将gx的图象向左平移5π12个单位长度．
故选B．
10.
【答案】
C
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
该靶的面积S1=3×π=2π，阴影部分的面积S1=π×52−42+32=15π，所以射中阴影部分的概率是15π25m=35 .
【解答】
解：该靶的面积S1=52×π=25π，
阴影部分的面积S2=π×52−42+32−22+12=15π，
所以射中阴影部分的概率是15π25π=35 .
故选C .
11.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的图象
余弦函数的图象
【解析】
由图可得，交点个数为8 .
【解答】
解：如图，
由图可得，交点个数为8 .
故选B .
12.
【答案】
D
【考点】
由函数零点求参数取值范围问题
余弦函数的图象
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：令fx=0，得csωx+φ=−32，
令t=ωx+φ，则cst=−32，
则问题转换为cst=−32在区间π6ω+φ,π3ω+φ上有且仅有2个解，
作出y=cst和y=−32的图象，
可知使得cst=−32在a,b内有且仅有两解的最短区间长度为b−a=π3，
最长区间长度不超过11π3，
由题意得π3<π3ω+φ−π6ω+φ≤11π3，
解得2<ω≤22．
故选D．
二、填空题
【答案】
4
【考点】
正弦函数的图象
余弦函数的图象
余弦函数的对称性
偶函数
【解析】
因为fx=2sinωx−θ为偶函数，且0<θ≤π2，所以θ=π2，则fx=2sinωx−π2=−2csωx．因为fx的图象关于直线x=π4对称，所以πω4=kπ,k∈Z，即ω=4k,k∈Z，又因为ω>0，所以ω的最小值为4 .
【解答】
解：因为fx=2sinωx−θ为偶函数，且0<θ≤π2，
所以θ=π2，则fx=2sinωx−π2=−2csωx．
因为fx的图象关于直线x=π4对称，
所以πω4=kπ,k∈Z，即ω=4k,k∈Z，
又因为ω>0，所以ω的最小值为4.
故答案为：4.
三、解答题
【答案】
解：(1)因为角θ的终边过点A5a,12aa<0，
所以点A到坐标原点的距离r=5a2+12a2=−13a，
根据三角函数的定义可得sinθ=12a−13a=−1213 ，
csθ=5a−13a=−513，
所以csθ−sinθ=−513+1213=713．
(2)csπ2+θcsπ2−θsinπ−θ
=−sinθ⋅sinθsinθ
=−sinθ=1213．
【考点】
三角函数线
诱导公式
【解析】
（1）因为角θ的终边过点A5a,12aa<0，
所以点A到坐标原点的距离r=5a2+12a2=−13a，
根据三角函数的定义可得sinθ=12a−13a=−1213 ，
csθ=5a−13a=−513，
所以csθ−sinθ=−513+1213=713．
（2）csπ2+θcsπ2−θsinπ−θ
=−sinθ⋅sinθsinθ
=−sinθ=1213．
【解答】
解：(1)因为角θ的终边过点A5a,12aa<0，
所以点A到坐标原点的距离r=5a2+12a2=−13a，
根据三角函数的定义可得sinθ=12a−13a=−1213 ，
csθ=5a−13a=−513，
所以csθ−sinθ=−513+1213=713．
(2)csπ2+θcsπ2−θsinπ−θ
=−sinθ⋅sinθsinθ
=−sinθ=1213．
【答案】
解：(1)令−π2+kπ解得−π6+kπ故fx的定义域为−π6+kπ,5π6+kπk∈Z．
令x−π3=kπ2,k∈Z，解得x=π3+kπ2,k∈Z，
故fx图象的对称中心为π3+kπ2,0k∈Z．
(2)由fx≤3得−π2+kπ解得−π6+kπ故不等式fx≤3的解集为(−π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z).
【考点】
正切函数的定义域
正切函数的奇偶性与对称性
正切函数的性质
【解析】
（1）AS−π2+kπ解得−π6+kπ故fx的定义域为−π6+kπ,5π6+kπk∈Z．
令x−π3=kπ2,k∈Z，解得x=π3+kπ2,k∈Z，
故fx图象的对称中心为π3+kπ2,0k∈Z．
（2）由fx≤3得−π2+kπ解得−π6+kπ故不等式fx≤3的解集为(−π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z) .
【解答】
解：(1)令−π2+kπ解得−π6+kπ故fx的定义域为−π6+kπ,5π6+kπk∈Z．
令x−π3=kπ2,k∈Z，解得x=π3+kπ2,k∈Z，
故fx图象的对称中心为π3+kπ2,0k∈Z．
(2)由fx≤3得−π2+kπ解得−π6+kπ故不等式fx≤3的解集为(−π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z).
【答案】
解：(1)设中位数为x，
因为0.5×0.1+1×0.1+3×0.1=0.45<0.5，
0.45+2.5×0.1>0.5，
所以x∈(1.55,1.65]，
则0.45+2.5×x−1.55=0.5，
解得x=1.57，所以中位数为1.57．
(2)质量在(1.65,1.75]的菠萝有100×2×0.1=20个，
质量在(1.75,1.85]的菠萝有100×1×0.1=10个．
因为分层抽样的比例为630=15，
所以质量在(1.65,1.75]的菠萝应抽取20×15=4个，
质量在(1.75,1.85]的菠萝应抽取10×15=2个．
记质量在(1.65,1.75]的菠萝为A1,A2,A3,A4，质量在(1.75,1.85]的菠萝为B1,B2，
甲分到的菠萝共有15种情况，
分别为A1,A2，A1,A3，A1,A4，A1,B1，A1,B2，A2,A3，A2,A4，A2,B1，A2,B2，A3,A4，
A3,B1，A3,B2，A4,B1，A4,B2，B1,B2 ．
甲拿到的菠萝来自同一组的情况共有7种，
分别为A1,A2，A1,A3，A1,A4，A2,A3，A2,A4，A3,A4，B1,B2，
则甲拿到的菠萝来自同一组的概率为715．
【考点】
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
分层抽样方法
【解析】
（1）设中位数为x，因为0.5×0.1+1×0.1+3×0.1=0.45<0.5,0.45+2.5×0.1>0.5，
所以x∈(1.55,1.65]，
则0.45+2.5×x−1.55=0.5，
解得x=1.57，所以中位数为1.57．
（2）质量在(1.65,1.75]的菠萝有100×2×0.1=20个，质量在(1.75,1.85]的菠萝有100×1×0.1=10个．因为分层抽样的比例为630=15，
所以质量在(1.65,1.75]的菠萝应抽取20×15=4个，质量在(1.75,1.85]的菠萝应抽取10×15=2个．
记质量在(1.65,1.75]的菠萝为A1,A2,A3,A4，质量在(1.75,1.85]的菠萝为B1,B2，
甲分到的菠萝共有15种情况，
分别为A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,B1,A1,B2,A2,A3,A2,A4,A2,B2,A2,2,A3,A3
A3,B1,A3,B2,A1,B1,A4,B2,B1,B2 ．
甲拿到的菠萝来自同一组的情况共有7种，
分别为A1,A2,A1,A3,A1,A4,A2,A3,A2,A4,A3,B2,B1,B2,B1，
则甲拿到的菠萝来自同一组的概率为715．
【解答】
解：(1)设中位数为x，
因为0.5×0.1+1×0.1+3×0.1=0.45<0.5，
0.45+2.5×0.1>0.5，
所以x∈(1.55,1.65]，
则0.45+2.5×x−1.55=0.5，
解得x=1.57，所以中位数为1.57．
(2)质量在(1.65,1.75]的菠萝有100×2×0.1=20个，
质量在(1.75,1.85]的菠萝有100×1×0.1=10个．
因为分层抽样的比例为630=15，
所以质量在(1.65,1.75]的菠萝应抽取20×15=4个，
质量在(1.75,1.85]的菠萝应抽取10×15=2个．
记质量在(1.65,1.75]的菠萝为A1,A2,A3,A4，质量在(1.75,1.85]的菠萝为B1,B2，
甲分到的菠萝共有15种情况，
分别为A1,A2，A1,A3，A1,A4，A1,B1，A1,B2，A2,A3，A2,A4，A2,B1，A2,B2，A3,A4，
A3,B1，A3,B2，A4,B1，A4,B2，B1,B2 ．
甲拿到的菠萝来自同一组的情况共有7种，
分别为A1,A2，A1,A3，A1,A4，A2,A3，A2,A4，A3,A4，B1,B2，
则甲拿到的菠萝来自同一组的概率为715．
【答案】
解：(1)根据图象可得34T=11π12−π6=34π，
所以T=π .
因为T=2π|ω|=π,ω>0，所以ω=2．
又因为图象过点π6,3，所以A=3，
且fπ6=3sin2×π6+φ=3，
可得π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，即φ=π6+2kπ,k∈Z，
又因为|φ|<π2，所以φ=π6，
故fx=3sin2x+π6．
(2)由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z，
得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，
又x∈π,2π，
所以fx在π,2π上的单调递减区间为7π6,5π3．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的单调性
【解析】
（1）根据图象可得34T=11π12−π6=34π，
所以T=π .
因为T=2π|ω|=π,ω>0，所以ω=2．
又因为图象过点π6,3，所以A=3，
且fπ6=3sin2×π6+φ=3，
可得π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，即φ=π6+2kπ,k∈Z，
又因为|φ|<π2，所以φ=π6，
故fx=3sin2x+π6．
（2）由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z，
得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，
又x∈π,2π，
所以fx在π,2π上的单调递减区间为7π6,5π3．
【解答】
解：(1)根据图象可得34T=11π12−π6=34π，
所以T=π .
因为T=2π|ω|=π,ω>0，所以ω=2．
又因为图象过点π6,3，所以A=3，
且fπ6=3sin2×π6+φ=3，
可得π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，即φ=π6+2kπ,k∈Z，
又因为|φ|<π2，所以φ=π6，
故fx=3sin2x+π6．
(2)由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z，
得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，
又x∈π,2π，
所以fx在π,2π上的单调递减区间为7π6,5π3．
【答案】
解：1根据表中数据易得x¯=2.5，y¯=34.5，
i=14xiyi=418，i=14xi2=30，
所以b=i=14xiyi−4x¯y¯i=14xi2−4x¯2=418−4×52×69230−4×522=735=14.6，
a=y¯−bx¯=34.5−14.6×2.5=−2．
故回归方程为y=14.6x−2．
(2)当x=5时，y=14.6×5−2=71，
所以估计该车商能卖出71辆汽车．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：1根据表中数据易得x¯=2.5，y¯=34.5，
i=14xiyi=418，i=14xi2=30，
所以b=i=14xiyi−4x¯y¯i=14xi2−4x¯2=418−4×52×69230−4×522=735=14.6，
a=y¯−bx¯=34.5−14.6×2.5=−2．
故回归方程为y=14.6x−2．
(2)当x=5时，y=14.6×5−2=71，
所以估计该车商能卖出71辆汽车．
【答案】
解：1fx的最小正周期T=2ππ=2，
因为f12=csπ2+π6=−sinπ6=−12，
f1=csπ+π6=−32,
f32=cs3π2+π6=12，
f2=cs2π+π6=32，
所以f12+f1+f32+f2=0，
故f12+f1+f32+f2+⋯+f20212
=505×f12+f1+f32+f2+f20212
=0+f12=−12．
2当x∈−1,0时，πx+π6∈−5π6,π6，
则−32≤csπx+π6≤1，
即−32≤fx≤1，
因为fx−m≤3，
所以−3≤fx−m≤3，
即m−3≤fx≤m+3，
因为对任意的x∈−1,0，
fx−m≤3恒成立，
所以m−3≤fxmin,m+3≥fxmax,
即m−3≤−32,m+3≥1,
解得−2≤m≤3−32，
故m的取值范围为−2,3−32．
【考点】
函数的求值
余弦函数的周期性
诱导公式
不等式恒成立问题
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：1fx的最小正周期T=2ππ=2，
因为f12=csπ2+π6=−sinπ6=−12，
f1=csπ+π6=−32,
f32=cs3π2+π6=12，
f2=cs2π+π6=32，
所以f12+f1+f32+f2=0，
故f12+f1+f32+f2+⋯+f20212
=505×f12+f1+f32+f2+f20212
=0+f12=−12．
2当x∈−1,0时，πx+π6∈−5π6,π6，
则−32≤csπx+π6≤1，
即−32≤fx≤1，
因为fx−m≤3，
所以−3≤fx−m≤3，
即m−3≤fx≤m+3，
因为对任意的x∈−1,0，
fx−m≤3恒成立，
所以m−3≤fxmin,m+3≥fxmax,
即m−3≤−32,m+3≥1,
解得−2≤m≤3−32，
故m的取值范围为−2,3−32．第一次
第二次
第三次
第四次
参会人数x（万人）
1
2
3
4
卖出汽车数量y（辆）
12
28
42
56
循环参数
m
n
m
s
k
初始值
6
10
0
0
1
4
6
10
10
1
2
−4
10
6
16
2
3
4
6
10
26
3
4
−4
10
6
32
4
循环参数
m
n
m
s
k
初始值
6
10
0
0
1
4
6
10
10
1
2
−4
10
6
16
2
3
4
6
10
26
3
4
−4
10
6
32
4