2020-2021年河南省南阳市高二（下）5月联考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021年河南省南阳市高二（下）5月联考数学试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 1+i2−i= ( )
A.−3−iB.−3+iC.3−iD.3+i

2. 已知随机变量x和y满足关系y=−0.1x+1，随机变量y与z正相关，下列结论中正确的是( )
A.x与y负相关，x与z负相关B.x与y正相关，x与z正相关
C.x与y正相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关

3. 已知a，b∈R，那么“lg12a>lg12b”是“3a<3b”的( )
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

4. 连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8的概率为（ ）
A.13B.49C.59D.23

5. 在极坐标系中，已知圆C的方程为ρ=2cs(θ−π4)，则圆心C的极坐标可以为( )
A.(2, π4)B.(2, 3π4)C.(1, 3π4)D.(1, π4)

6. 阅读如图的程序框图，若输入的a，b，c分别是2020，2021，2022，则输出的a，b，c分别是（ ）

A.2020，2021，2022B.2022，2020，2021
C.2021，2020，2022D.2022，2021，2020

7. 下列命题中正确的是（ ）
A.命题“∃x∈R，使得x2−1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2−1<0
B.若命题p为假命题，命题¬q为假命题，则命题“p∨q”为假命题
C.命题“若x=3，则x2−2x−3=0”的否命题是“若x≠3，则x2−2x−3≠0”
D.命题“设x，y，z都是正数，则三个数x+1y,y+1z,z+1x的值至少有一个不大于2”的逆否命题是真命题

8. 抛物线y=−x2上的点到直线4x+3y−8=0距离的最小值是（ ）
A.14B.43C.85D.3

9. 三角形的面积S=12a+b+c⋅r，其中a，b，c为其边长，r为内切圆半径，利用类比法可以得出四面体的体积为（ ）
A.V=12S1+S2+S3+S4⋅r（其中S1，S2，S3，S4分别为四个面的面积，r为内切球的半径）
B.V=13S⋅ℎ（S为底面面积，ℎ为四面体的高）
C.V=13S1+S2+S3+S4⋅r（其中S1，S2，S3，S4分别为四个面的面积，r为内切球的半径）
D.V=13(ab+bc+ac)⋅ℎ(a，b，c为底面边长，ℎ为四面体的高）

10. 为了全面要求广大党员干部、群众要做到学史明理、学史增信，学史崇德、学史力行，我校开展党史学习教育知识问答比赛活动．在某场比赛中，甲乙丙三人同时回答一道问题，已知甲回答正确的概率是34，甲丙同时回答错误的概率是112，乙丙同时回答正确的概率是14. 若每人回答正确与否互不影响，则甲乙丙三人中不少于2人回答正确的概率（ ）
A.2132B.2532C.1132D.1332

11. 函数fx=x3−ax2−bx+a2在x=1处有极值10，则a，b的值为（ ）
A.a=3,b=−3或a=−4,b=11B.a=−4,b=11
C.a=−1,b=5D.a=3,b=−3

12. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的长半轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为k1,k2，且k1k2=−14，则椭圆的方程为（ ）
A.x216+y24=1B.x24+y22=1C.x216+y28=1D.x216+y2=1
二、填空题

复数z满足(z−3)(2−i)=5（i为虚数单位），则z的共轭复数z¯=________．

已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：x=3+3csθ,y=1+3sinθ（θ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcsθ+π6=0，则圆C截直线l所得弦长为________．

设条件p：实数x满足x2−4ax+3a2<0a<0；条件q：实数x满足x2+2x−8>0且¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.

已知函数f(x)=2x3−3x，若过点P(1, t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，则t的取值范围是________．
三、解答题

已知曲线C的极坐标方程是ρ=2csθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是x=32t+m,y=12t(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(2)当m=2时，直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值．

证明：
(1)用综合法证明：若a，b∈R，求证：a2+b22≥a+b22；

(2)用分析法证明：设a≥3，求证：a−a−1
下图是某地区2014年至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图．
注：年份代码1−7分别对应年份2014−2020．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2020年该地区生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：i=17yi=9.32，i=17tiyi=40.17，i=17(yi−y¯)2=0.55，7≈2.646．
参考公式：相关系数r=i=1n(ti−t¯)(yi−y¯)i=1n(ti−t¯)2i=1n(yi−y¯)2，
回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b=i=1n(ti−t¯)(yi−y¯)i=1n(ti−t¯)2，a=y¯−bt¯.

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．
附：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．

已知抛物线C:y2=2pxp>0，点P为y轴左侧一点，A，B为抛物线C上两点，当直线AB过抛物线C的焦点F且垂直于x轴时，△AOB面积为2，O为坐标原点.
(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若直线PA，PB为抛物线C的两条切线，设△PAB的外心为M（点M不与焦点F重合），求sin∠PFM的所有可能取值．

已知f(x)=x−1+aex(e为自然对数的底数，a∈R）.
(1)求函数fx的极值；

(2)当 a=1时，若曲线y=fx与直线l：y=kx−1没有公共点，求k的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021年河南省南阳市高二（下）5月联考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的混合运算
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：(1+i)(2−i)=2−i+2i+1=3+i.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
线性相关关系的判断
【解析】
试题分析：由题意得，变量∼和！满足关系y=−0.1x+1知；b=−0.1<0，所以х与Ⅳ负相关，又变量）与7正相关，可得∼与z负相关，故选A．
【解答】
解：由y=−0.1x+1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，
又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，z随y的减小而减小，
所以z随x的增大而减小，x与z负相关.
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据对数不等式和指数不等式的解法求出对应的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：若lg12a>lg12b，则0若3a<3b，则a∴ “lg12a>lg12b”是“3a<3b”的充分不必要条件．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
基本事件总数n＝3×3＝9，利用列举法求出两次的点数之和不大于8包含的基本事件有6个，由此能求出两次的点数之和不大于8的概率．
【解答】
解：连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，
在已知两次的点数均为偶数的条件下，
基本事件总数n=3×3=9，
两次的点数之和不大于8包含的基本事件有：
(2, 2)，(2, 4)，(2, 6)，(4, 2)，(4, 4)，(6, 2)，共6个，
∴ 两次的点数之和不大于8的概率为P=69=23．
故选D.
5.
【答案】
D
【考点】
圆的极坐标方程
点的极坐标不唯一
【解析】
利用和差公式展开，再利用互化公式可得直角坐标方程，即可把圆心坐标化为极坐标．
【解答】
解：圆C的方程为ρ=2cs(θ−π4)，
即ρ2=2×22ρ(csθ+sinθ)，
化为：x2+y2=2x+2y，
配方为(x−22)2+(y−22)2=1，
圆心坐标(22,22)，化为极坐标(1,π4)．
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
弄清楚每个数字之间的相互替换，即可解题.
【解答】
解：∵ a=2020,b=2021,c=2022，
∴ x=a⇒x=2020，
a=c⇒a=2022，
c=b⇒c=2021，
b=x⇒b=2020.
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
复合命题及其真假判断
逻辑联结词“或”“且”“非”
四种命题间的逆否关系
【解析】
本题主要考察对于命题真假的判断以及逻辑连接词“或”、“与”的掌握。
【解答】
解：A，命题“∃x∈R，使得x2−1<0”的否定是
“∀x∈R，均有x2−1≥0”，所以A错误；
B，命题¬q为假命题，所以q为真命题，
所以p∨q为真命题，所以B错误；
C，命题“若x=3，则x2−2x−3=0”的否命题需要条件和结果均否定，
故为“若x≠3，则x2−2x−3≠0”，所以C选项正确；
D，利用反证法证明原命题，设x，y，z都是正数，
假设三个数x+1y，y+1z，z+1x的值都大于2，
则x+1y+y+1z+z+1x=x+1x+y+1y+z+1z>6.
又因为x+1y+y+1z+z+1x=x+1x+y+1y+z+1z
≥2x⋅1x+2y⋅1y+2z⋅1z=6，
因此假设成立，故“x，y，z都是正数，
假设三个数x+1y，y+1z，z+1x的值至少有一个不大于2”是假命题，
逆否命题与原命题的真假性一致，因此逆否命题也是假命题，所以D选项错误.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
设抛物线y＝−x2上一点为(m, −m2)，该点到直线4x+3y−8＝0的距离为|4m−3m2−8|5，由此能够得到所求距离的最小值．
【解答】
解：设抛物线y=−x2上一点为(m, −m2)，
该点到直线4x+3y−8=0的距离为：
|4m−3m2−8|5=|−3(m−23)2−203|5，
∴ 当m=23时，取得最小值为43.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
类比推理
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
三角形面积与四面体体积类比，三角形内切圆与四面体内切球类比，三角形的边长与四面体个面的面积类比；接下来结合已知中的三角形的面积，据此表示出四面体的面积.
【解答】
解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，
将球心O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，
所以V=13S1+S2+S3+S4r.
故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
本题主要考察对于概率的掌握，由题目已知的条件求出每一个事件的概率，进而进行进一步的求解即可得到相应结果。
【解答】
解：记“甲回答正确”、“乙回答正确”、“丙回答正确”分别为事件A，B，C，
则P(A)=34，
且有P(A¯)P(C¯)=112,P(B)P(C)=14,
即：[1−P(A)][1−P(C)]=112,P(B)P(C)=14,
所以，P(B)=38，P(C)=23.
有0个家庭回答正确的概率为：
P0=P(ABC¯)=P(A¯)P(B¯)P(C¯)=14×58×13=596，
有1个家庭回答正确的概率为：
P1=P(ABC¯+A¯BC¯+AB¯C)
=34×58×13+14×38×13+14×58×23=724，
所以不少于2个家庭回答正确的概率为：
P=1−P0−P1=1−596−724=2132.
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
利用函数值，函数的导数列出方程求解即可．
【解答】
解：函数fx=x3−ax2−bx+a2，
f′x=3x2−2ax−b，
函数fx=x3−ax2−bx+a2在x=1处有极值10，
可得： 3−2a−b=0,1−a−b+a2=10,
解得a=3,b=−3或a=−4,b=11,
当a=3,b=−3时，f′x=3x2−6x+3≥0恒成立，不合题意．
当a=−4,b=11时，f′x=3x2+8x−11,
Δ=196>0，导函数有两个解， 满足题意．
故选B．
12.
【答案】
A
【考点】
椭圆的准线方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
由长轴长易求a值，设Px0,y0 ，直线l方程为y=kx，Mx1,kx1，N−x1,−kx1 ，由K1⋅K2=−14可得一等式，再由P在椭圆上可得一等式，由两式可消去y0，由P为椭圆任意点可知该式与x0无关，由此可求得b值．
【解答】
解：由长半轴长为4得，a=4.
设Px0,y0，直线l方程为y=kx，M(x1,kx1)，N(−x1,−kx1)，
则k1=y0−kx1x0−x1，k2=y0+kx1x0+x1，
由k1⋅k2=−14得，
y0−kx1x0−x1⋅y0+kx1x0+x1=−14，
即y02−k2x12x02−x12=−14，
所以4y02=4k2+1x12−x02①.
又P在椭圆上，所以x0216+y02b2=1，
即16y02=16b2−b2x02，代入①式得
16b2−b2x02=44k2+1x12−4x02，
所以16b2=44k2+1x12+b2−4x02.
因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立，与x0无关，
所以b2−4=0，解得b=2，−2舍去，
所以所求椭圆方程为x216+y24=1．
故选A．
二、填空题
【答案】
5−i
【考点】
复数代数形式的混合运算
共轭复数
【解析】
把给出的等式两边同时乘以12−i，然后利用复数的除法运算化简，求出复数z，则z的共轭复数可求．
【解答】
解：由(z−3)(2−i)=5，
得z−3=52−i=5(2+i)(2−i)(2+i)=2+i，
∴ z=5+i，
则z¯=5−i．
故答案为：5−i．
【答案】
42
【考点】
参数方程与普通方程的互化
点到直线的距离公式
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
【解析】
首先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，再利用圆心到直线的距离公式即可求出．
【解答】
解：圆C：x=3+3csθ，y=1+3sinθ（θ为参数）表示的曲线是以点3,1为圆心，以3为半径的圆，
将直线ρcsθ+π6=0的方程化为直角坐标方程为3x−y=0，
圆心3,1到直线3x−y=0的距离d=|3×3−1|(3)2+12=1，
故圆C截直线l所得弦长为232−12=42．
故答案为：42.
【答案】
a≤−4
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
首先确定p,q命题中x的取值范围，结合已知条件，进而再进一步得出实数a的取值范围。
【解答】
解：由命题q：实数x满足x2+2x−8>0，
得x<−4或x>2.
由命题p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，其中a<0，
得(x−3a)(x−a)<0，
得3a因为¬p是¬q的必要不充分条件，
所以¬p推不出¬q，¬q可以推出¬p，
所以q推不出p，p可以推出q，
所以(3a,a)⊈(−∞,4)∪(2,+∞).
又因为a<0，
所以a≤−4.
故答案为：a≤−4.
【答案】
(−3, −1)
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，进行求解即可得到结论．
【解答】
解：函数的导数f′(x)=6x2−3.
设过点P(1, t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x, 2x3−3x)，
则2x3−3x−tx−1=6x2−3，
化简得，4x3−6x2+3+t=0.
令g(x)=4x3−6x2+3+t，
则令g′(x)=12x(x−1)=0，
得x1=0，x2=1．
g(0)=3+t，g(1)=t+1.
又∵ 过点P(1, t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，
则(t+3)(t+1)<0，
解得，−3故答案为：(−3, −1).
三、解答题
【答案】
解：(1)由ρ=2csθ得：ρ2=2ρcsθ，
所以x2+y2=2x，即x−12+y2=1，
所以曲线C的直角坐标方程为x−12+y2=1.
由x=32t+m,y=12t,得x=3y+m，
即x−3y−m=0，
所以直线l的普通方程为x−3y−m=0.
(2)设圆心到直线l的距离为d，
由(1)可知直线l:x−3y−2=0.
曲线C:x−12+y2=1，
圆C的圆心坐标为1,0，半径1，
则圆心到直线l的距离为d=|1−3×0−2|12+(3)2=12，
所以|AB|=212−122=3，
因此|AB|的值为3.
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程与普通方程的互化
点到直线的距离公式
【解析】
(1)先把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程化为普通方程．
(2)利用解直角三角形求直线和圆的弦长.
【解答】
解：(1)由ρ=2csθ得：ρ2=2ρcsθ，
所以x2+y2=2x，即x−12+y2=1，
所以曲线C的直角坐标方程为x−12+y2=1.
由x=32t+m,y=12t,得x=3y+m，
即x−3y−m=0，
所以直线l的普通方程为x−3y−m=0.
(2)设圆心到直线l的距离为d，
由(1)可知直线l:x−3y−2=0.
曲线C:x−12+y2=1，
圆C的圆心坐标为1,0，半径1，
则圆心到直线l的距离为d=|1−3×0−2|12+(3)2=12，
所以|AB|=212−122=3，
因此|AB|的值为3.
【答案】
证明：1∵a，b∈R，
∴a2+b2≥2ab，
∴2a2+b2≥a+b2，
∴a2+b22≥a+b22（当且仅当a=b时等号成立）．
2要证a−a−1只需证a+a−3只需证a+a−32即证aa−3只需证aa−32即证aa−3即证a2−3a即证0<2，此式显然成立，
以上各步可逆，所以原命题得证．
【考点】
基本不等式
综合法与分析法
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
证明：1∵a，b∈R，
∴a2+b2≥2ab，
∴2a2+b2≥a+b2，
∴a2+b22≥a+b22（当且仅当a=b时等号成立）．
2要证a−a−1只需证a+a−3只需证a+a−32即证aa−3只需证aa−32即证aa−3即证a2−3a即证0<2，此式显然成立，
以上各步可逆，所以原命题得证．
【答案】
解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
t¯=4，i=17(ti−t¯)2=28，i=17(yi−y¯)2=0.55，
i=17(ti−t¯)(yi−y¯)
=i=17tiyi−t¯i=17yi=40.17−4×9.32=2.89，
r≈×2×2.646≈0.99.
因为y与t的相关数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
(2)由y¯=9.327≈1.331及(1)得b=i=17(ti−t¯)(yi−y¯)i=17(ti−t¯)2=2.8928≈0.103，
a=y¯−bt¯≈1.331−0.103×4≈0.92.
所以，y关于t的回归方程为：y=0.92+0.10t.
将2020年对应的t=9代入回归方程得：y=0.92+0.10×9=1.82.
所以预测2020年该地区生活垃圾无害化处理量约1.82亿吨.
【考点】
相关系数的求法
求解线性回归方程
【解析】
（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；
（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
【解答】
解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
t¯=4，i=17(ti−t¯)2=28，i=17(yi−y¯)2=0.55，
i=17(ti−t¯)(yi−y¯)
=i=17tiyi−t¯i=17yi=40.17−4×9.32=2.89，
r≈×2×2.646≈0.99.
因为y与t的相关数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
(2)由y¯=9.327≈1.331及(1)得b=i=17(ti−t¯)(yi−y¯)i=17(ti−t¯)2=2.8928≈0.103，
a=y¯−bt¯≈1.331−0.103×4≈0.92.
所以，y关于t的回归方程为：y=0.92+0.10t.
将2020年对应的t=9代入回归方程得：y=0.92+0.10×9=1.82.
所以预测2020年该地区生活垃圾无害化处理量约1.82亿吨.
【答案】
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，
因此在该地区老年人中，
需要帮助的老年人的比例的估计值为70500×100%=14%.
(2)K2的观测值 k=500(40×270−30×160)2200×300×70×430≈9.967
因为9.967>6.635，
且P(K2≥6.635)=0.01，
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
(3)根据(2)的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．
【考点】
随机抽样和样本估计总体的实际应用
独立性检验
分层抽样方法
【解析】
（1）由样本的频率率估计总体的概率，
（2）求K2的观测值查表，下结论；
（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．
【解答】
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，
因此在该地区老年人中，
需要帮助的老年人的比例的估计值为70500×100%=14%.
(2)K2的观测值 k=500(40×270−30×160)2200×300×70×430≈9.967
因为9.967>6.635，
且P(K2≥6.635)=0.01，
所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
(3)根据(2)的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．
【答案】
解：(1)当直线AB过抛物线焦点F且垂直于x轴时，
A，B两点横坐标为p2，
S△ABO=12⋅p2⋅2p=p22=2，
得p=2，
故抛物线C标准方程为y2=4x．
(2)设A(4t12,4t1)，B(4t22,4t2)，
易知直线PA：2t1y=x+4t12，直线PB：2t2y=x+4t22，
联立得P(4t1t2,2(t1+t2))，
则PA，PB的中垂线方程分别为：
l1：y+2t1x=4t12(t1+t2)+(3t1+t2)，
l2：y+2t2x=4t22(t1+t2)+(3t2+t1)，
联立l1，l2解得：M(2(t1+t2)2+1，−4t1t2(t1+t2)+(t1+t2))，
由于F(1,0)，故FP→=22t1t2−12,2t1+t2，
FM→=2t1+t22,−4t1t2t1+t2+t1+t2，
FP→⋅FM→=22t1t2−12,2t1+t2⋅
2t1+t22,−4t1t2t1+t2+t1+t2
=8t1t2t1+t22−2t1+t22−8t1t2t1+t22+2t1+t22
=0，
故FP→⊥FM→，
所以∠PFM=π2，则sin∠PFM的所有可能取值为1．
【考点】
抛物线的求解
抛物线的标准方程
抛物线的性质
抛物线的应用
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)当直线AB过抛物线焦点F且垂直于x轴时，
A，B两点横坐标为p2，
S△ABO=12⋅p2⋅2p=p22=2，
得p=2，
故抛物线C标准方程为y2=4x．
(2)设A(4t12,4t1)，B(4t22,4t2)，
易知直线PA：2t1y=x+4t12，直线PB：2t2y=x+4t22，
联立得P(4t1t2,2(t1+t2))，
则PA，PB的中垂线方程分别为：
l1：y+2t1x=4t12(t1+t2)+(3t1+t2)，
l2：y+2t2x=4t22(t1+t2)+(3t2+t1)，
联立l1，l2解得：M(2(t1+t2)2+1，−4t1t2(t1+t2)+(t1+t2))，
由于F(1,0)，故FP→=22t1t2−12,2t1+t2，
FM→=2t1+t22,−4t1t2t1+t2+t1+t2，
FP→⋅FM→=22t1t2−12,2t1+t2⋅
2t1+t22,−4t1t2t1+t2+t1+t2
=8t1t2t1+t22−2t1+t22−8t1t2t1+t22+2t1+t22
=0，
故FP→⊥FM→，
所以∠PFM=π2，则sin∠PFM的所有可能取值为1．
【答案】
(1)f′x=1−aex，
①当a≤0时，f′x>0，fx在−∞,+∞上单调递增，所以fx无极值；
②当a>0时，令f′x=0，得x=lna，
所以x∈−∞,lna，f′x<0；x∈lna,+∞，f′x>0.
所以fx在−∞,lna上单调递减，在lna,+∞上单调递增，
故fx在x=lna处取到极小值，且极小值为flna=lna ，无极大值．
综上，当a≤0时，fx 无极值；
当a>0时，fx 在x=lna处取到极小值lna，无极大值．
(2)当a=1时，fx=x−1+1ex，
令gx=fx−kx−1=1−kx+1ex，
因为直线l：y=kx−1与曲线y=fx没有公共点，
等价于方程gx=0在R上没有实数解．
所以假设k>1，此时g0=1>0，
g1k−1=−1+1e1k−1<0.
又函数gx的图象连续不断，
由零点存在定理可知gx=0在R上至少有一解，
与“方程gx=0在R上没有实数解”矛盾，
故k≤1，
又k=1时，由gx=1ex>0知方程gx=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1.
【考点】
利用导数研究函数的极值
函数零点的判定定理
函数的零点与方程根的关系
【解析】
直接利用导数分析其极值即可.
直线l:y=kx−1与曲线y=fx 没有公共点，等价于方程gx=0在R上没有实数解．求解即可

【解答】
(1)f′x=1−aex，
①当a≤0时，f′x>0，fx在−∞,+∞上单调递增，所以fx无极值；
②当a>0时，令f′x=0，得x=lna，
所以x∈−∞,lna，f′x<0；x∈lna,+∞，f′x>0.
所以fx在−∞,lna上单调递减，在lna,+∞上单调递增，
故fx在x=lna处取到极小值，且极小值为flna=lna ，无极大值．
综上，当a≤0时，fx 无极值；
当a>0时，fx 在x=lna处取到极小值lna，无极大值．
(2)当a=1时，fx=x−1+1ex，
令gx=fx−kx−1=1−kx+1ex，
因为直线l：y=kx−1与曲线y=fx没有公共点，
等价于方程gx=0在R上没有实数解．
所以假设k>1，此时g0=1>0，
g1k−1=−1+1e1k−1<0.
又函数gx的图象连续不断，
由零点存在定理可知gx=0在R上至少有一解，
与“方程gx=0在R上没有实数解”矛盾，
故k≤1，
又k=1时，由gx=1ex>0知方程gx=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1.性别是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828