专题10 平面向量的数量积及其应用-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点

这是一份专题10 平面向量的数量积及其应用-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点，主要包含了自主热身，归纳总结，思路分析，解题反思等内容，欢迎下载使用。
【自主热身，归纳总结】
1、 已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝eq \r(21)，则向量a，b的夹角为________．
【答案】 eq \f(π,3)
【解析】：设向量a，b的夹角为θ，由|a－b|＝eq \r(21)得，21＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))2＝a2＋b2－2a·b＝25＋1－2×5×csθ，即csθ＝eq \f(1,2)，所以向量a，b的夹角为eq \f(π,3).
2、已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，eq \r(2))，则向量a，b的夹角为________．
【答案】. eq \f(2,3)π
3、已知平面向量a＝(2，1)，a·b＝10，若|a＋b|＝5eq \r(2)，则|b|的值是________．
【答案】5
【解析】：因为50＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋20＋|b|2，所以|b|＝5.
4、 已知平面向量a＝(4x,2x)，b＝（1，eq \f(2x－2,2x)），x∈R，若a⊥b，则|a－b|＝________.
【答案】. 2
【解析】：因为a⊥b，所以4x＋2x×eq \f(2x－2,2x)＝4x＋2x－2＝0，解得2x＝－2(舍)或2x＝1，故a＝(1,1)，b＝(1，－1)，故a－b＝(0,2)，故|a－b|＝2.
5、如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝－7，则eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的值是________．
【答案】 9
【解析】：eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→)))＝(eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→)))＝OC2－OD2，类似eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝AO2－OD2＝－7，所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝OC2－OD2＝OC2－AO2－7＝9.
思想根源 极化恒等式：a·b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2)))2.在△ABC中，若M是BC的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝AM2－MC2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积．
6、 已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为________．
【答案】：eq \f(5\r(7),14)
解法1 因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，a·b＝－eq \f(1,2)a2＝－eq \f(1,2)b2，
所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝eq \f(5,2)a2，|2a－b|＝eq \r(2a－b2)＝eq \r(5a2－4a·b)＝eq \r(7)|a|，
cs〈a,2a－b〉＝eq \f(a·2a－b,|a|·|2a－b|)＝eq \f(\f(5,2)a2,|a|·\r(7)|a|)＝eq \f(5,2\r(7))＝eq \f(5\r(7),14).
解法2 因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以〈a，b〉＝eq \f(2π,3)，
所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2a2－|a|·|b|cseq \f(2π,3)＝eq \f(5,2)a2，|2a－b|＝eq \r(2a－b2)＝eq \r(5a2－4a·b)＝eq \r(5a2－4|a|·|b|cs\f(2π,3))＝eq \r(7)|a|.
以下同解法1.
解后反思 解法2充分挖掘题目条件“非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|”，可构造一个内角为eq \f(2π,3)的菱形，向量a，b为此菱形的一组邻边，且其夹角为eq \f(2π,3).类似地，若将条件变为“|a|＝|b|＝|a－b|”，同样可构造一个内角为eq \f(2π,3)的菱形，向量a，b为此菱形的一组邻边，但其夹角应为eq \f(π,3).
7、 在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))＝1，则实数λ的值为________．
【答案】： 1或－eq \f(1,4)
解法1 由题意可得eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→)).又eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋(λ－1)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋λ(λ－1)|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq \f(1,4).
解法2 建立如图所示的平面直角坐标系，所以A(0,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(2,0)，设P(x，y)．
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,0)．
又因为eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→))，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2λ＋\f(1,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))
所以eq \(BP,\s\up6(→))＝(2λ，0)，eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2λ－\f(3,2)，\f(\r(3),2))).
由eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))＝1可得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq \f(1,4).
解后反思 用基向量表示其他向量的能力是平面向量考查的重点，如何基底化需要积累经验，如果不能基底化，也可以恰当建系，正确给出每个点的坐标，用坐标运算
8、如图，在△ABC中，已知边BC的四等分点依次为D，E，F.若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝5，则AE的长为________．
【答案】 eq \r(6)
eq \a\vs4\al(思路分析) 解决平面向量问题有三种常见方法：基底法、坐标法和几何法，由于本题求线段AE长，且点B，C，D，E，F共线，故可以用向量eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))作为基底．
解法3(基底法) 因为E在中线AD上，所以可设eq \(AE,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，则eq \(EB,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(AB,\s\up6(→))－λeq \(AC,\s\up6(→))，同理eq \(EC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(AC,\s\up6(→))－λeq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝－3[(1－λ)2＋λ2]－13λ(1－λ)＝－3－7λ(1－λ)．由eq \(AD,\s\up6(→))·Eeq \(C,\s\up6(→))＝0，得(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·[(1－λ)eq \(AC,\s\up6(→))－λeq \(AB,\s\up6(→))]＝0，可解得λ＝eq \f(1,7).从而eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝－3－eq \f(6,7)＝－eq \f(27,7).
eq \a\vs4\al(解后反思) 对于平面向量数量积的计算主要有两种思路：(1)坐标法：通过建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，通过坐标运算求解；(2)基底法：根据题目条件，选择合适的目标向量，再将求解的向量向目标向量转化并求解．本题用坐标法求解，较为简单，请考生尝试用基底法求解.
【关联2】、 如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为 ▲ ．Q
P
O
B
A
【答案】
解法1 （坐标法） 以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，则，，则直线，由于点在单位圆在第一象限的圆弧上，可设，，设点关于直线的对称点，则，可得，即
所以
令，则且
故，所以的取值范围为．
解法2 （极化恒等式） 设的中点为，
则，根据图形可得，当点与（或）重合时，点与重合，且，，则，当点位于弧的中点时，，，则，所以的取值范围为．
解法3 （特殊位置法） 注意到本题图形的对称性，易得的最大值和最小值在点位于弧的端点或中点时取得，当点与（或）重合时，点与重合，此时，故；当点位于弧的中点时，如图，设与相交于点，则，故，
可得，所以的取值范围为．
解后反思：解决平面向量数量积的综合问题最常用的两种方法是坐标法和基底法，坐标法首先需要根据图形建立适当的平面直角坐标系，然后表示目标向量的坐标；基底法则需要选择一对不共线的向量作为基底来表示目标向量，然后利用向量的运算法则进行处理.另外，注意到本题是填空题，涉及的图形的对称性，可以考虑利用特殊法计算，也充分体现了小题小做，小题巧做的思想.
【变式3】、．如图，已知，为的中点，分别以为直径在的同侧作半圆，分别为两半圆上的动点（不含端点），且，则的最大值为 ▲ ．
【思路分析】处理向量数量问题，主要是坐标法和基底法，解法1，建立坐标系，设，，得到M,N坐标，建立以角的函数关系式；解法2，两个向量不共起点，可以转化为以为起点的向量，运用向量数量积的定义得到关于的函数，换元转化二次函数，求最值；解法3，
建立坐标系后，设出直线和方程，为直线与圆的交点，联立直线与圆方程，求出的坐标，得到一个关于斜率的函数关系式，换元后求最值.
【答案】
【解法1】（坐标法）以点为坐标原点，线段所在的直线为轴，建立平面坐标系。设，，则,，，
=，当时，的最大值为.
【解法2】（定义法）设，，
，令，
，所以的最大值为.
【解法3】（解析几何法）以点为坐标原点，线段所在的直线为轴，建立平面坐标系。，设直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，
联立解得，
联立解得，
因为 ，，
所以，，
令，则，，所以的最大值为.
【解题反思】若题中几何关系明显，且所求向量的长度和夹角未知，首选坐标法;圆中求向量数量积最值问题，优先考虑以角作为参数，来建立函数关系，这样问题转为三角的最值问题，便于求解 .
例3、 如图，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC于点E，F，点P是劣弧eq \(EF,\s\up8(︵))上的一动点，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的取值范围是________．
【答案】. [－11，－9]
解法1(几何法) 取BC的中点M，连结PM，则两个动向量eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))均可用一个动向量eq \(PM,\s\up6(→))和一个定向量eq \(MC,\s\up6(→))表示.eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→)))·(eq \(PM,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→)))＝PM2－MC2.
因为MC为定值，所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的变化可由PM的变化确定．
易得AM＝2，MC＝2eq \r(3).
当P为劣弧eq \(EF,\s\up8(︵))与AM的交点时，PM取最小值AM－1＝1；PM的最大值为EM＝FM＝eq \r(3).
所以PM2－MC2的取值范围是[－11，－9]，即eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))∈[－11，－9]．
解法2(坐标法) 以A为原点，垂直于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系xAy，则B(2，－2eq \r(3))，C(2，2eq \r(3))，设P(csθ，sinθ)，其中θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3))).
eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(2－csθ，－sinθ－2eq \r(3))·(2－csθ，2eq \r(3)－sinθ)＝(csθ－2)2＋sin2θ－12＝－7－4csθ.
因为csθ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，所以eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))∈[－11，－9]．
【变式1】、 已知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝1.若点C满足|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(OC,\s\up6(→))|的取值范围是________．
【答案】： [eq \r(6)－1，eq \r(6)＋1]
【解析】：如图，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，因为|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝1，所以|eq \(OD,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(\(OA,\s\up6(→))＋\(OB,\s\up6(→))2)＝eq \r(\(OA,\s\up6(→))2＋\(OB,\s\up6(→))2＋2\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)))＝eq \r(6)，由|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))|＝1得|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(CD,\s\up6(→))|＝1，所以点C在以点D为圆心，1为半径的圆上，而|eq \(OC,\s\up6(→))|表示点C到点O的距离，从而|eq \(OD,\s\up6(→))|－1≤|eq \(OC,\s\up6(→))|≤|eq \(OD,\s\up6(→))|＋1，即eq \r(6)－1≤|eq \(OC,\s\up6(→))|≤eq \r(6)＋1，即|eq \(OC,\s\up6(→))|的取值范围是[eq \r(6)－1，eq \r(6)＋1]．
【变式2】、在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且AB＝2，若点P(2，eq \r(5))，则|eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))|的取值范围是________．
【答案】. [7,11]
解法3 因为AB＝2，所以AB的中点M在以原点为圆心，1为半径的圆上运动(如下图)，则|eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))|＝|2eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))|，当M点为射线OP与圆交点时，|2eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))|的最小值为7，当M点为射线OP的反向延长线与圆交点时，|2eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))|的最大值为11，所以|eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))|的取值范围是[7,11]．
【关联1】、 已知平面向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－2,2)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))的最小值为________．
【答案】 －eq \f(9,4)
思路分析 以eq \(CB,\s\up6(→))为桥梁，把eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))与已知向量eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))联系起来．
设eq \(CB,\s\up6(→))＝(x，y)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝(x＋1，y＋2)，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝(x－2，y＋2)．所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝(x＋1)(x－2)＋(y＋2)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋(y＋2)2－eq \f(9,4)，其最小值为－eq \f(9,4).
【关联2】、 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是互相垂直的单位向量，且(a－c)·(eq \r(3)b－c)＝1，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c))的最大值是________．
【答案】 eq \r(2)＋1
eq \a\vs4\al(思路分析) 首先要根据题目条件求出c＝(x，y)的轨迹方程，再利用|c|的几何意义求解即可；另外，也可以考虑用三角换元，用三角函数的有界性求解．
解法1 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，－y)，eq \r(3)b－c＝(－x，eq \r(3)－y)，
由题意得－x(1－x)－y(eq \r(3)－y)＝1，整理得x2＋y2－x－eq \r(3)y－1＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)))2＝2，它表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))为圆心，以eq \r(2)为半径的圆，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c))表示该圆上的点到原点(0,0)的距离，从而|c|max＝eq \r(2)＋eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝eq \r(2)＋1.学_科网
解法2 由解法1得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)))2＝2，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)＋\r(2)csα，,y＝\f(\r(3),2)＋\r(2)sinα))(α为参数)，
则|c|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\r(2)csα))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\r(2)sinα))2＝3＋eq \r(2)csα＋eq \r(6)sinα＝3＋2eq \r(2)cs(α－θ)(其中tanθ＝eq \r(3))，
所以|c|eq \\al(2,max)＝3＋2eq \r(2)，于是|c|max＝1＋eq \r(2).