2022届高考数学一轮复习单元检测一　集合与常用逻辑用语（解析版）

单元检测一　集合与常用逻辑用语

(时间：60分钟　满分：100分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2021·大连模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)等于(　　)

A．{2,5}   B．{3,6}

C．{2,5,6}   D．{2,3,5,6,8}

答案　A

解析　∁UB＝{2,5,8}，所以A∩(∁UB)＝{2,5}．

2．已知集合M＝{x|－1≤x<3}，集合N＝{x|y＝}，则M∪N等于(　　)

A．M   B．N

C．{x|－1≤x≤2}   D．{x|－3≤x<3}

答案　D

解析　因为y＝＝，所以N＝{x|－3≤x≤2}，所以M∪N＝{x|－3≤x<3}．

3．命题p：∀x∈R，x2－x＋≥0的否定綈p为(　　)

A．綈p：∀x∈R，x2－x＋<0

B．綈p：∀x∈R，x2－x＋≤0

C．綈p：∃x0∈R，x－x0＋<0

D．綈p：∃x0∈R，x－x0＋≥0

答案　C

解析　命题p：∀x∈R，x2－x＋≥0的否定綈p为∃x0∈R，x－x0＋<0.

4．(2020·湛江测试)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为(　　)

A．1  B．2  C．4  D．8

答案　C

解析　由题意，得B＝{－1,1,3,5}，∴A∩B＝{1,3}．

故集合A∩B的子集个数为22＝4.

5．下列命题为真命题的是(　　)

A．∃x0∈Z,1<4x0<3   B．∃x0∈Z,15x0＋1＝0

C．∀x∈R，x2－1＝0   D．∀x∈R，x2＋x＋2>0

答案　D

解析　由1<4x<3，可得<x<，所以不存在x0∈Z,1<4x0<3，所以A为假命题；由15x＋1＝0，解得x＝－，所以不存在x0∈Z,15x0＋1＝0，所以B为假命题；当x＝0时，x2－1≠0，所以∀x∈R，x2－1＝0为假命题，所以C为假命题；当x∈R时，y＝x2＋x＋2＝2＋≥>0，所以D为真命题．

6．(2021·开封模拟)“m≤－2”是“函数f(x)＝x2－4mx－3在区间[－2，＋∞)上单调递增”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由题意知，函数f(x)＝x2－4mx－3的对称轴为直线x＝2m，

若m≤－2，则2m≤－4，函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递增，充分性成立；

若f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递增，则2m≤－2，即m≤－1，不能推出m≤－2，

所以必要性不成立．

7．若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x0∈M，x0>3”为假命题，则集合M可以是(　　)

A．(－∞，－5)   B．(－3,1]

C．(3，＋∞)   D．[0,3]

答案　A

解析　∵∃x0∈M，x0>3为假命题，

∴∀x∈M，x≤3为真命题，

可得M⊆(－∞，3]，

又∀x∈M，|x|>x为真命题，

可得M⊆(－∞，0)，

所以M⊆(－∞，0)．

8．已知集合M＝{1,2，a3－a}，N＝{0，a＋1,3－a2}，且M∩N＝{0,1}，则实数a的值组成的集合是(　　)

A．{0}  B．{0,1}  C．{1}  D．∅

答案　A

解析　∵M∩N＝{0,1}，∴0∈M，

即a3－a＝0⇒a＝0或a＝1或a＝－1，

当a＝0时，M＝{1,2,0}，N＝{0,1,3}，符合题意；

当a＝1时，M＝{1,2,0}，N＝{0,2,2}，不符合集合元素互异性；

当a＝－1时，M＝{1,2,0}，N＝{0,0,2}，不符合集合元素互异性．

所以a＝0，即构成集合为{0}．

9．下列说法中正确的是(　　)

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”

B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件

C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题

D．“tan x＝1”是“x＝”的充分不必要条件

答案　C

解析　命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，故A不正确；“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件，故B不正确；命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，所以命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题，故C正确；“tan x＝1”是“x＝”的必要不充分条件，故D不正确．

10．设全集为U，则下面四个选项中不是“A⊆B”的充要条件的是(　　)

A．A∩B＝A   B．∁UA⊇∁UB

C．(∁UB)∩A＝∅   D．(∁UA)∩B＝∅

答案　D

解析　由 A∩B＝A，可得A⊆B.由 A⊆B 可得A∩B＝A，故A∩B＝A是A⊆B的充要条件．由∁UA⊇∁UB可得A⊆B，由A⊆B 可得∁UA⊇∁UB，故∁UA⊇∁UB 是A⊆B的充要条件．由(∁UB)∩A＝∅，可得A⊆B，由A⊆B 可得(∁UB)∩A＝∅，故(∁UB)∩A＝∅是A⊆B的充要条件．由(∁UA)∩B＝∅，可得B⊆A，不能推出A⊆B，故(∁UA)∩B＝∅不是A⊆B的充要条件．

11．若命题“∃x0∈R，ax＋2x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1]  B．(－∞，1)  C．[1，＋∞)  D．(－∞，1]

答案　B

解析　当a＝0时，命题“∃x0∈R，ax＋2x0＋1<0”是真命题；

当a<0时，命题“∃x0∈R，ax＋2x0＋1<0”是真命题；

当a>0时，若命题“∃x0∈R，ax＋2x0＋1<0”是真命题，

则Δ＝4－4a>0，解得a<1，∴0<a<1.

综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．

12．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，记其前n项和为Sn.设命题p：S2 019＝a2 021－1，命题q：a2＋a4＋a6＋…＋a98＝a99，则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q   B．(綈p)∨q

C．p∧(綈q)   D．(綈p)∧(綈q)

答案　C

解析　因为an＋2＝an＋1＋an＝an＋an－1＋an－1＋an－2＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－3＋an－4＝…＝Sn＋1，

所以S2 019＝a2 021－1，

故命题p为真命题，则綈p为假命题．

∵a2＋a4＋a6＋…＋a98＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a97＝S97＝a99－1，

故命题q为假命题，则綈q为真命题．

由复合命题的真假判断，得p∧(綈q)为真命题．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．命题“如果x＋y>3，那么x>1且y>2”的逆否命题是________________．

答案　如果x≤1或y≤2，则x＋y≤3

解析　命题“如果x＋y>3，那么x>1且y>2”的逆否命题是“如果x≤1或y≤2，则x＋y≤3”．

14．若－1∈{a－1,2a＋1，a2－1}，则实数a的取值集合是________．

答案　{－1}

解析　若a－1＝－1，解得a＝0，此时集合中的元素为－1，1，－1，不符合元素的互异性；若2a＋1＝－1，解得a＝－1，此时集合中的元素为－2，－1,0，符合题意；若a2－1＝－1，解得a＝0，不符合题意．综上所述，a＝－1.

15．命题p：关于x的方程x2－ax＋a＋3＝0有实根，命题q：实数a满足不等式|a－2|≤5，若綈p∧q为假命题，綈p∨q为真命题，则实数a的取值范围为________．

答案　[－3，－2]∪[6,7]

解析　命题p：Δ＝(－a)2－4(a＋3)≥0，

即a≤－2或a≥6，

命题q：－5≤a－2≤5，即－3≤a≤7，

∵綈p∧q为假命题，綈p∨q为真命题，

∴p真q真或p假q假，

当p假q假时，有解得a∈∅；

当p真q真时，有解得－3≤a≤－2或6≤a≤7.

综上可得a∈[－3，－2]∪[6,7]．

16．设S⊆{1,2,3,4,5}．令S为非空集合，且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则集合S共有_________个．

答案　7

解析　由a∈S，则6－a∈S可知，当a＝1时，6－a＝5，

当a＝2时，6－a＝4，当a＝3时，6－a＝3.

即1和5,2和4,3和3必须成对出现，

∵S⊆{1,2,3,4,5}，

∴S＝{1,5}，S＝{2,4}，S＝{3}，S＝{1,2,4,5}，S＝{1,3,5}，S＝{2,3,4}，S＝{1,2,3,4,5}，

共7个．

三、解答题(本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)设全集U＝R，集合A＝{x|(x＋2)(x－3)<0}，B＝，求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.

解　∵U＝R，A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，

∴∁UA＝{x|x≥3或x≤－2}，

A∩B＝{x|－2<x<3}，

∁U(A∩B)＝{x|x≥3或x≤－2}，

(∁UA)∩B＝{x|x≥3或x≤－2}∩{x|－3<x≤3}＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．

18．(10分)已知集合A＝{x|x2＋x－6<0}，B＝{x|a－1<x<2a＋3}．

(1)若a＝－1，求A∪B，A∩(∁RB)；

(2)若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解　(1)A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3<x<2}，

当a＝－1时，B＝{x|－2<x<1}，

∴A∪B＝{x|－3<x<2}，

又∁RB＝{x|x≤－2或x≥1}，

∴A∩(∁RB)＝{x|－3<x≤－2或1≤x<2}．

(2)∵x∈B是x∈A的充分不必要条件，

∴BA，

当B＝∅时，BA，∴a－1≥2a＋3，

即a≤－4；

当B≠∅，BA，

则且两等号不能同时成立，

解得－2≤a≤－.

综上，a的取值范围是a≤－4或－2≤a≤－.