2022届一轮复习专题练习9 第73练 双曲线（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习9 第73练 双曲线（解析版），共6页。试卷主要包含了如图，双曲线C，如图，已知双曲线E等内容，欢迎下载使用。

考点一 双曲线的定义
1.如图，双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,10)＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P2F1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P1F1))的值是( )
A．3 B．4 C．6 D．8
2．动圆C过点A(3,0)，且与圆B(x＋3)2＋y2＝4相外切，则动圆圆心C的轨迹方程为____________．
考点二 双曲线的标准方程
3．已知双曲线过点P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(3\r(5),2)))和P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(7),3)，4))，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1
C.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1
4．已知双曲线C的一个焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，5))，且与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为( )
A．x2－eq \f(y2,4)＝1 B．y2－eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1 D.eq \f(y2,5)－eq \f(x2,20)＝1
考点三 双曲线的性质
5．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1有公共点，则双曲线C的离心率e的取值范围是( )
A．(1,2] B．[2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞))
6．(2020·湘潭模拟)以双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为( )
A．x2－y2＝1 B.eq \f(x2,9)－y2＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1
7．平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(5)，过双曲线C的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1 D．x2－eq \f(y2,4)＝1
8．设F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＝3eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))，则双曲线的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(\r(10),2) C.eq \f(\r(15),2) D.eq \r(5)
9．已知点F是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(2,1＋eq \r(2)) D．(1,1＋eq \r(2))
10.如图，已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，长方形ABCD的顶点A、B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|＝6，|BC|＝eq \f(5,2)，则此双曲线的离心率为________．
11．若双曲线E：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝10，则|PF2|等于( )
A．2 B．4或16 C．16 D．2或18
12．已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))<0，则y0的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))
13.如图所示，从双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MT))与b－a的大小关系为( )
A.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MT))>b－a
B.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MT))＝b－a
C.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MT))D．不确定
14．设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq \f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为________.
答案精析
1．C [设F2为双曲线的右焦点，连接P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P1F1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P2F2))，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P2F1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P1F1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P2F1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P2F2))＝2×3＝6.]
2．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1)
解析 设动圆C的半径为r，
∴|CA|＝r，|CB|＝r＋2，
∴|CB|－|CA|＝2<|AB|＝6，
故点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且2a＝2,2c＝6，
∴a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8，
∴动圆圆心C的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1)．
3．B [因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(3\r(5),2)))，P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(7),3)，4))两点在双曲线上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4m＋\f(45,4)n＝1，,\f(112,9)m＋16n＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,16)，,n＝\f(1,9)，))于是所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1.]
4．D [双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的渐近线方程为
y＝±eq \f(1,2)x，
由题意设双曲线C的方程为
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1，
由焦点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，5))可得a2＋b2＝25，①
渐近线的方程为y＝±eq \f(a,b)x，
再由C与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的渐近线相同，所以eq \f(a,b)＝eq \f(1,2)，②
由①②可得a2＝5，b2＝20，
所以双曲线C的方程为eq \f(y2,5)－eq \f(x2,20)＝1.]
5．B [由题意得双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，
即bx－ay＝0.
∴eq \f(|0－2a|,\r(a2＋b2))≤1，∴4a2≤a2＋b2∴4a2≤c2，∴eq \f(c2,a2)≥4，
∴e2≥4，∴e≥2.]
6．D [由题意知，所求双曲线的顶点坐标为(±3,0)，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以a＝b＝3，故双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1.]
7．D [如图，|AF|＝b，|OA|＝a，
S＝eq \f(1,2)ab＝1，∴ab＝2，①
又e＝eq \r(5)，∴eq \f(c2,a2)＝5，即a2＋b2＝5a2，
∴b＝2a，②
联立①②解得a＝1，b＝2，
∴双曲线C的标准方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.]
8．B [依据双曲线的定义知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＝2a，
又∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＝3eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＝3a，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＝a，
∵∠F1AF2＝90°，
∴在Rt△F1AF2中，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a))2＋a2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2c))2，
得e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \f(\r(10),2).]
9．B [若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF<45°，在Rt△AFE中，|AF|＝eq \f(b2,a)，|FE|＝a＋c，则eq \f(b2,a)0，则e2－e－2<0，解得－11，则110.eq \f(3,2)
解析 因为2c＝|AB|＝6，所以c＝3.因为|BC|＝eq \f(b2,a)＝eq \f(5,2)，所以5a＝2b2.又c2＝a2＋b2，所以9＝a2＋eq \f(5a,2)，解得a＝2或a＝－eq \f(9,2)(舍去)，故该双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2).
11．B [由双曲线定义可得||PF2|－|PF1||＝6，所以|PF2|＝16或4，又因为|PF2|≥2，所以|PF2|＝16或4.]
12．A [根据双曲线的标准方程，可知F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)．因为M(x0，y0)在双曲线上，所以eq \f(x\\al(2,0),2)－yeq \\al(2,0)＝1，即xeq \\al(2,0)＝2＋2yeq \\al(2,0)，所以eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝(－eq \r(3)－x0，－y0)·(eq \r(3)－x0，－y0)＝xeq \\al(2,0)－3＋yeq \\al(2,0)＝3yeq \\al(2,0)－1.由3yeq \\al(2,0)－1<0得yeq \\al(2,0)13．B [设F1是双曲线的右焦点，连接PF1，OT，
∵M，O分别为FP，FF1的中点，∴|MO|＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1)).
又由双曲线定义得，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝2a，|FT|＝eq \r(|OF|2－|OT|2)＝b.
故eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MT))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FT))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))－|PF|))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FT))＝b－a.]
14.eq \f(5,3)
解析 不妨设P为双曲线右支上一点，
|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，
故r1＝eq \f(3b＋2a,2)，r2＝eq \f(3b－2a,2).
又r1·r2＝eq \f(9,4)ab，
所以eq \f(3b＋2a,2)·eq \f(3b－2a,2)＝eq \f(9,4)ab，
解得eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)(负值舍去)，
故e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＋1)
＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2＋1)＝eq \f(5,3).