2021-2022学年 初中数学 九年级上册 苏科版 第1章综合能力检测卷【试卷+答案】

这是一份2021-2022学年 初中数学 九年级上册 苏科版 第1章综合能力检测卷【试卷+答案】，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：90分钟 满分：130分

一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A.1x2+1x=0B.ax2+bx+c=0
C.(x-1)(x+2)=1D.3x2-2xy-5y2=0
2.一元二次方程-x2+8x+1=0配方后可变形为( )
A.(x+4)2=17B.(x+4)2=15C.(x-4)2=17D.(x-4)2=15
3.已知一元二次方程的两根分别是2和-3，则这个一元二次方程可能是( )
A.x2-6x+8=0B.x2+2x-3=0
C.x2-x-6=0D.x2+x-6=0
4.已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根D.无法判断
5.若关于x的方程kx2-3x-94=0有实数根，则实数k的取值范围是( )
A.k=0B.k≥-1且k≠0
C.k≥-1D.k>-1
6.某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为( )
A.80(1+x)2=100B.100(1-x)2=80C.80(1+2x)=100D.80(1+x2)=100
7.已知关于x的一元二次方程x2+2x+a-1=0的两根为x1，x2，且x12-x1x2=0，则a的值是( )
A.1B.1或-2C.2D.1或2
8.已知2是关于x的一元二次方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且该方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为( )
A.10B.14C.10或14D.8或10
9.若一次函数y=3x-2的图像与反比例函数y=kx的图像有两个不同的交点，则k的取值范围是( )
A.k>-13且k≠0B.k<13且k≠0
C.k≠0D.k<23且k≠0
10.已知三个关于x的方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，则a2bc+b2ca+c2ab的值为( )
A.0B.1C.2D.3
二、填空题(每小题3分，共24分)
11.关于x的方程ax2-3x+1=2x2是一元二次方程，则a的取值范围为 .
12.关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+(k2-1)=0无实数根，则k的取值范围为 .
13.已知三个连续奇数，其中较大的两个数的平方和比最小数的平方的3倍小25，则这三个数分别为 .
14.在△ABC中，BC=2，AB=23，AC=b，且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为 .
15.关于x的方程mx2+x-m+1=0，给出以下两个结论：①当m=0时，方程只有一个实数根；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数根.其中正确的是 .(填序号)
16.设x1，x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两个实数根，且2x1 (x22+6x2-3)+a=2，则a= .
17.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2+17)cm，正六边形的边长为(x2+2x)cm(其中x>0).则这两段铁丝的总长是 .
第17题图
第18题图
18.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16 cm，AD为BC边上的高.动点P从点A出发，沿A→D方向以2 cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s(0三、解答题(共76分)
19.(12分)解方程：
(1)12(2y-1)2=15； (2)x2+4x+9=2x+11；
(3)(x-3)(x-1)=3；(4)t2-22t+18=0.
20.(6分)解方程x2-2x-99=0，某同学的解法如下.
解：由x2-2x-99=0，得x2-2x+1=99+1，
∴(x-1)2=100，
∴x-1=±10，
∴x1=11，x2=-9.
(1)这位同学是用 法解方程；
(2)请你用另一种方法解方程.
21.(6分)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值.
22.(8分)在“十一”黄金周期间，某商店购进一批优质湖产品，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该湖产品一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系：
(1)若这种湖产品的售价为30元/千克，则该湖产品的销售量是 千克；
(2)如果某天销售这种湖产品获利150元，那么该天湖产品的售价为多少元?
23.(10分)已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y2.
把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2-1=0.
化简，得y2+2y-4=0.
故所求方程为y2+2y-4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
请用“换根法”求新方程.(要求：把新方程化成一般形式)
(1)已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数；
(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个均不为零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.
24.(10分)已知：如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动.已知点P到BC的距离与PB之比为32，设点P的运动时间为t s，是否存在某一时刻，使四边形APQC的面积是△ABC面积的23?如果存在，求出相应的t值；如果不存在，请说明理由.
25.(10分)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室，经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊.
(1)筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施?
(2)经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需要集资150元.镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户集资20 000元.经筹委会进一步宣传，自愿参与的居民在200户的基础上增加了a%(其中a>0)，则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了109a%，求a的值.
26.(14分)如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m、宽为40 m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道的宽为a m.
图1 图2
(1)花圃的面积为 m2；(用含a的式子表示)
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求此时通道的宽；
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(m2)之间的函数关系的图像如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2 m且不超过10 m，那么通道的宽为多少时，修建通道和花圃的总造价为105 920元?
第1章 综合能力检测卷
1.C 【解析】 A项中方程不是整式方程，故不是一元二次方程；B项，当a=0时，不是一元二次方程；C项，方程可变形为x2+x-3=0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；D项，方程含有两个未知数，故不是一元二次方程.故选C.
2.C 【解析】 -x2+8x+1=0，移项，得-x2+8x=-1，方程两边同乘以-1，得x2-8x=1，配方，得x2-8x+16=1+16，(x-4)2=17.故选C.
3.D 【解析】 因为两根分别是2和-3，所以此一元二次方程可以为(x-2)(x+3)=0，整理得x2+x-6=0.故选D.
4.B 【解析】 已知点P(a，c)在第二象限，可得a<0，c>0，所以ac<0，所以b2-4ac>0，所以方程有两个不相等的实数根.故选B.
5.C 【解析】 当k=0时，方程为一元一次方程，可化为-3x-94=0，此时方程有实数根；当k≠0时，方程为一元二次方程，要使方程有实数根，则(-3)2-4k·(-94)≥0，解得k≥-1.综上，k的取值范围为k≥-1.故选C.
6.A 【解析】 由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2017年蔬菜产量为80吨，得2018年蔬菜产量为80(1+x)吨，2019年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，所以80(1+x)(1+x)=100或80(1+x)2=100.故选A.
7.D 【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2+2x+a-1=0的两根为x1，x2，∴22-4(a-1)≥0，解得a≤2.∵x12-x1x2=0，∴x1(x1-x2)=0，∴x1=0或x1=x2.若x1=0，代入x2+2x+a-1=0，得a-1=0，∴a=1；若x1=x2，则22-4(a-1)=0，解得a=2，∴a=1或a=2.故选D.
8.B 【解析】 将x=2代入方程x2-2mx+3m=0，得4-4m+3m=0，解得m=4.将m=4代入原方程，得x2-8x+12=0，解得x1=2，x2=6.当6为三角形ABC的腰长时，三角形ABC的周长为2+6+6=14；当2为三角形ABC的腰长时，∵2+2<6，∴此时不能构成三角形.∴三角形ABC的周长为14.故选B.
9.A 【解析】 由y=3x-2，y=kx，消去y得3x-2=kx，整理，得3x2-2x-k=0，由题意，得b2-4ac=4+12k>0，所以k>-13，又因为k≠0，所以k的取值范围是k>-13且k≠0.故选A.
10.D 【解析】 设x0是它们的一个公共实数根，则ax02+bx0+c=0，bx02+cx0+a=0，cx02+ax0+b=0，三个式子相加，得(a+b+c)·(x02+x0+1)=0.∵x02+x0+1=(x0+12)2+34>0，∴a+b+c=0.则a2bc+b2ca+c2ab=a3+b3+c3abc=a3+b3-(a+b)3abc=-3ab(a+b)abc=3.故选D.
11.a≠2 【解析】 ax2-3x+1=2x2，整理得(a-2)x2-3x+1=0.∵关于x的方程ax2-3x+1=2x2是一元二次方程，∴a-2≠0，即a≠2.
12.k>54 【解析】 由题意，得b2-4ac=(2k-1)2-4(k2-1)<0，解得k>54.
13.15，17，19或-3，-1，1 【解析】 设中间的奇数为x，则较大的奇数为x+2，较小的奇数为x-2.由题意，得x2+(x+2)2=3(x-2)2-25，解得x1=17，x2=-1，所以这三个奇数为15，17，19或-3，-1，1.
14.2 【解析】 关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，∴16-4b=0，解得b=4，∴AC=b=4.又∵BC=2，AB=23，AC=b=4，∴BC2+AB2=AC2，∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，∴AC边上的中线长为2.
15. ① 【解析】 当m=0时，原方程为x+1=0，解得x=-1，方程只有一个实数根，故①正确；当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，1-4m(1-m)=1-4m+4m2=(2m-1)2≥0，∴方程有两个实数根，故②错误.
16.8 【解析】 ∵x2是一元二次方程x2+5x-3=0的根，∴x22+5x2-3=0，∴x22+6x2=3+x2.∵x1，x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两个根，∴x1x2=-3，∴2x1 (x22+6x2-3)+a=2x1(3+x2-3)+a=2x1x2+a=2，∴-6+a=2，∴a=8.
17.420 cm 【解析】 由正五边形和正六边形的周长相等，得5(x2+17)=6(x2+2x)，整理得x2+12x-85=0，配方得(x+6)2=121，解得x1=5，x2=-17(舍去).故正五边形的周长为5×(52+17)=210(cm).又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm.
18.6 【解析】 由题意可知Rt△ADC和Rt△EFC都是等腰直角三角形，∵AB=AC=16 cm，∴AD=DC=BD=82 cm.∵运动时间为t s，∴AP=2t cm，DP=EF=FC=(82-2t)cm，DF=2t cm，∴S1=12AP·BD=12×2t×82=8t(cm2)，S2=PD·DF=(82-2t)×2t=(-2t2+16t)(cm2)，当S1=2S2时，有8t=-4t2+32t，解得t1=0，t2=6，∵t>0，∴t=6.
19.【解析】 (1)方程两边同乘以2，得(2y-1)2=25，
∵2y-1是25的平方根，
∴2y-1=±105，
∴y1=1010+12，y2=-1010+12.
(2)方程可化为x2+2x-2=0，
移项，得x2+2x=2，
配方，得x2+2x+1=2+1，
(x+1)2=3，
∵(x+1)是3的平方根，∴x+1=±3，
∴x1=3-1，x2=-3-1.
(3)方程可化为x2-4x=0，
x(x-4)=0，x=0或x-4=0，
∴x1=0，x2=4.
(4)原方程可化为8t2-42t+1=0，
a=8，b=-42，c=1，
b2-4ac=(-42)2-4×8×1=0，
∴t=-(-42)2×8=24，
∴t1=t2=24.
20.【解析】 (1)配方
(2)可以用公式法.
由求根公式得，x=2±(-2)2+4×992=2±202，
∴x1=11，x2=-9.
21.【解析】 (1)∵方程①有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac=(2k+1)2-4×1×k2>0，
解得k>-14，
∴k的取值范围是k>-14.
(2)当k=1时，方程①为x2+3x+1=0，
∴由根与系数的关系可得x1+x2=-3，x1·x2=1，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-2×1=9-2=7.
22.【解析】 (1)20
设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(24，32)，(26，28)代入y=kx+b，得24k+b=32，26k+b=28，
解得k=-2，b=80.
∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+80.
当x=30时，y=-2×30+80=20.
(2)根据题意得(x-20)(-2x+80)=150，
解得x1=25，x2=35.
∵20≤x≤32，
∴x=25.
答：如果某天销售这种湖产品获利150元，那么该天湖产品的售价为25元.
23.【解析】 (1)设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y.
把x=-y代入已知方程x2+x-2=0，
得(-y)2+(-y)-2=0，
化简，得y2-y-2=0.
故所求方程为y2-y-2=0.
(2)设所求方程的根为y，则y=1x，所以x=1y.
把x=1y代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，得a(1y)2+b·1y+c=0，
去分母，得a+by+cy2=0.
若c=0，有ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不符合题意.
所以c≠0，故所求方程为cy2+by+a=0(c≠0).
24.【解析】 不存在.理由如下：
如图，过点P作PM⊥BC于点M.
由题意得PMPB=32，∴PM=32PB=32(3-t)cm.
∴S△PBQ=12BQ·PM=12·t·32(3-t)=34(3-t)t(cm2).
∴S四边形APQC=S△ABC-S△PBQ=12×3×332-34(3-t)t=(34t2-334t+934)(cm2).
假设存在某一时刻，使S四边形APQC=23S△ABC，
则34t2-334t+934=23×12×3×332.
∴t2-3t+3=0.
∵b2-4ac=(-3)2-4×1×3<0，∴方程无解.
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的23.
25.【解析】 (1)设用于购买书桌、书架等设施的资金为x元，
由题意，得30 000-x≥3x，
解得x≤7 500.
所以最多花7 500元购买书桌、书架等设施.
(2)由题意，得200(1+a%)×150(1-109a%)=20 000，
设y=a%，则3(1+y)(1-109y)=2，
整理，得10y2+y-3=0，
解得y1=-0.6(舍去)，y2=0.5=50%.
所以a%=50%，所以a=50.
26.【解析】 (1)(4a2-200a+2 400)
由题意，得花圃的面积为(60-2a)(40-2a)=(2 400-200a+4a2)(m2).
(2)根据题意，得4a2-200a+2 400=60×40×58，
解得a1=5，a2=45(不符合题意，舍去).
答：此时通道的宽为5 m.
(3)当a=10时，花圃的面积为(60-2×10)×(40-2×10)=800(m2)，
∴花圃的面积最少为800 m2.
根据题中图像可设y1=mx(m≠0)，y2=kx+b(k≠0且x≥800)，
将(1 200，48 000)代入y1=mx，
得1 200m=48 000，解得m=40，∴y1=40x.
将(800，48 000)，(1 200，62 000)代入y2=kx+b，
得800k+b=48000，1200k+b=62000，解得k=35，b=20000，
∴y2=35x+20 000(x≥800).
∵花圃的面积为4a2-200a+2 400，
∴通道的面积为2 400-(4a2-200a+2 400)=-4a2+200a，∴35(4a2-200a+2 400)+20 000+40(200a-4a2)=105 920，
解得a1=2，a2=48(不符合题意，舍去).
答：通道的宽为2 m时，修建通道和花圃的总造价为105 920元. 售价x/(元/千克)
…
22.6
24
25.2
26
…
销售量y/千克
…
34.8
32
29.6
28
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
B
C
A
D
B
A
D
11.a≠2 12.k>54 13.15，17，19或-3，-1，1 14.2
15.①16.817.420 cm18.6