期末复习：中位线定理（一）八年级数学人教版下册

这是一份期末复习：中位线定理（一）八年级数学人教版下册，共17页。
1．已知三角形三边长分别为7cm，8cm，9cm，作三条中位线组成一个新的三角形，同样方法作下去，一共做了五个新的三角形，则这五个新三角形的周长之和为（ ）
A．46.5cmB．22.5cmC．23.25cmD．以上都不对
2．如图，在△ABC中，BC＝15，B1、B2、…B9、C1、C2、…C9分别是AB、AC的10等分点，则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是（ ）
A．45B．55C．67.5D．135
3．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，F，G为BC上的点，连接DG、EF，若AB＝5cm，BC＝8cm，FG＝4cm，则△HFG的面积为（ ）
A．1cm2B．1.5cm2C．2cm2D．3cm2
4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC＝12，F是DE上一点，连接AF、CF，DE＝3DF，若∠AFC＝90°，则AC的长度为（ ）
A．4B．5C．8D．10
5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（ ）
A．8B．9C．10D．12
6．如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30，BC＝12．则MN的长是（ ）
A．15B．9C．6D．3
二．填空题
7．如图，△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，BC＝EG．若AC＝BC＝10，AB＝16，则四边形AECG的面积是 ．
8．在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，若DE＝5，则AB＝ ．
9．如图，△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点，若S△CMN＝2，则S四边形ABNM＝ ．
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝6，E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点．连接EF，FM，则FM＝ ；线段EF的最大值为 ．
11．如图，在△ABC中，M是BC边上的中点，AP是∠BAC的平分线，BP⊥AP于点P，已知AB＝16，AC＝24，那么PM的长为 ．
12．如图，在△ABC中，D为BC边中点，P为AC边中点，E为BC上一点且BE＝CE，连接AE，取AE中点Q并连接QD，取QD中点G，延长PG与BC边交于点H，若BC＝6，则HE＝ ．
三．解答题
13．三角形中位线定理，是我们非常熟悉的定理．
①请你在下面的横线上，完整地叙述出这个定理： ．
②根据这个定理画出图形，写出已知和求证，并对该定理给出证明．
14．如图，已知AO是△ABC的∠A的平分线，BD⊥AO的延长线于D，E是BC的中点．
求证：DE＝（AB﹣AC）
15．如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，点F在AE上，∠CFA＝90°，试判断DF与AB的位置关系，并说明理由．
16．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．
17．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
18．【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
【结论应用】
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 ．
参考答案
一．选择题
1．解：由△ABC三边长分别为7cm，8cm，9cm，三条中位线组成一个新的三角形，
可知新三角形与原三角形相似，相似比是1：2，
即：后一个三角形的周长都是前一个三角形周长的，
∵原三角形的周长＝7+8+9＝24，
∴这个新三角形的周长＝×24＝12，
∴这个五个新三角形的周长之和＝24+×24+×24+×24+×24＝23.25，
故选：C．
2．解：当B1、C1是AB、AC的中点时，B1C1＝BC；
当B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点时，B1C1+B2C2＝BC+BC；
…
当B1，B2，C1，…，∁n分别是AB，AC的n等分点时，
B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1＝BC+BC+…+BC＝BC＝7.5（n﹣1）；
当n＝10时，7.5（n﹣1）＝67.5；
故B1C1+B2C2+…+B9C9的值是67.5．故选：C．
3．解：连接，作AK⊥BC于K．
∵AB＝AC，
∴BK＝CK＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABK中，AK＝＝＝3，
∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE是中位线，即平分三角形的高且DE＝8÷2＝4，
∴DE＝BC＝FG，
∴△DEH≌△GFH，H也是DG，EF的中点，
∴△HFG的高是AK÷2＝1.5÷2＝0.75，
∴S△HFG＝4×0.75÷2＝1.5．
故选：B．
4．解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝6，
∵DE＝3DF，
∴EF＝4，
∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，
∴AC＝2EF＝8，
故选：C．
5．解：连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
∴BE＝DE，
在△AEB和△KED中，，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线，
∴EF＝CK＝（DC﹣DK）＝（DC﹣AB），
∵EG为△BCD的中位线，
∴EG＝BC，
又FG为△ACD的中位线，
∴FG＝AD，
∴EG+GF＝（AD+BC），
∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，即DC﹣AB＝6，
∴EG+GF＝6，FE＝3，
∴△EFG的周长是6+3＝9．
故选：B．
6．证明：∵△ABC的周长为30，BC＝12．
∴AB+AC＝30﹣BC＝18．
延长AN、AM分别交BC于点F、G．如图所示：
∵BM为∠ABC的角平分线，
∴∠CBM＝∠ABM，
∵BM⊥AG，
∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠G+∠CBM＝90°，
∴∠BAM＝∠AGB，
∴AB＝BG，
∴AM＝FM，
同理AC＝CF，AN＝NG，
∴MN为△AFG的中位线，GF＝BG+CF﹣BC，
∴MN＝（AB+AC﹣BC）＝（18﹣12）＝3．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
7．解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF＝BC，
∵AC＝BC，
∴EF＝AC，CE⊥AB，
∵EG＝BC，
∴EG＝2EF，
∴EF＝FG，
∵AF＝CF，
∴四边形AECG是矩形，
∵AE＝AB＝8，AC＝10，
∴CE＝6，
∴四边形AECG的面积＝8×6＝48，
故答案为：48．
8．解：∵D，E分别为AC，BC的中点，
∴AB＝2DE＝10，
故答案为：10．
9．解：∵M、N分别为AC，BC的中点，
∴NM∥AB，AB＝2MN，
∴△CMN∽△CAB，
∴＝（）2＝，
∵S△CMN＝2，
∴S△ABC＝8，
∴S四边形ABNM＝8﹣2＝6，
故答案为：6．
10．解：连接EM，
∵E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点，
∴FM＝，EM＝，
当EF＝EM+MF时，线段EF最大，即EF＝1+3＝4，
故答案为：1；4．
11．解：延长BP交AC于N
∵AP是∠BAC的角平分线，BP⊥AP于P，
∴∠BAP＝∠NAP，∠APB＝∠APN＝90°，
∴△ABP≌△ANP（ASA），
∴AN＝AB＝16，BP＝PN，
∴CN＝AC﹣AN＝24﹣16＝8，
∵BP＝PN，BM＝CM，
∴PM是△BNC的中位线，
∴PM＝CN＝4．
故答案为：4．
12．解：连接PQ．
∵BD＝DC＝3，BE＝BC＝，EC＝，
∵AQ＝QE，AP＝PC，
∴PQ∥EC，PQ＝EC＝，
∵∠QPG＝∠GHD，∠QGP＝∠DGH，QG＝GD，
∴△PQG≌△HDG（AAS），
∴PQ＝HD＝，BH＝BD﹣DH＝3﹣＝，
∴HE＝BE﹣BH＝﹣＝，
故答案为．
三．解答题（共6小题）
13．解：（1）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
（2）已知：DE是△ABC的中位线，
求证：DE∥BC，DE＝BC．
证明：延长DE到F，使EF＝DE，连接CF．
∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CEF．
∴AD＝CF，∠ADE＝∠CFE．
∴AD∥CF．
∵AD＝BD，
∴BD＝CF．
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴DE∥BC，DE＝BC．
故答案为三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
14．证明：延长AC、BD交于点F，
∵在△ABD和△AFD中，
，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴AB＝AF，BD＝DF，
又∵E是BC的中点，即ED是△BCF中位线，
∴DE＝CF＝（AB﹣AC）．
15．解：DF∥AB．理由如下：
如图，延长CF交AB于点G，
∵AE是角平分线，
∴∠GAF＝∠CAF，
在△AGF和△ACF中，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴GF＝CF，
即点F是GC的中点，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点
∴DF是△BCG的中位线，
∴DF∥AB．
16．证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，
∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF＝AD，PF∥AD，EP＝BC，EP∥BC，
∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠AHF＝∠BGF．
17．（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，
∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．
又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，
即EF＝5；
（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．
∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，
∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，
∴AB2+CD2＝4EF2．
18．【教材呈现】证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM＝BC，
同理，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM，
【结论应用】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM∥BC，
∴∠PMN＝∠F，
同理，∠PNM＝∠AEN，
∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
（2）解：∵PN∥AD，
∴∠PNB＝∠A，
∵∠DPN是△PNB的一个外角，
∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，
∵PM∥BC，
∴∠MPD＝∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝×（180°﹣122°）＝29°，
∴∠F＝∠PMN＝29°，
故答案为：29°．