普通高中2021年高中数学学业水平考试模拟测试题三含解析

普通高中2021年高中数学学业水平考试模拟测试题（三）

(时间:90分钟　满分:150分)

一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)

1.集合{0,1,2}的所有真子集的个数是 (　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

2.函数f(x)=lg(x-1)的定义域是 (　　)

A.(2,+∞) B.(1,+∞)

C.[ 1,+∞) D.[2,+∞)

3.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),若a⊥b,则实数x等于 (　　)

A.-1 B.1 C.-9 D.9

4.若函数f(x)=sin(0≤φ≤2π)是偶函数,则φ= (　　)

A. B. C. D.

5.已知直线的点斜式方程是y-2=-(x-1),那么此直线的倾斜角为 (　　)

A. B. C. D.

6.如图是2019年在某电视节目中七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为              (　　)

7　　9

 8　　　4　4　6　4　7

 9　　　3

A.84,4.84 B.84,1.6 C.85,1.6 D.85,4

7.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos 2x的图象 (　　)

A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位

C.向左平移个单位 D.向右平移个单位

8.下列说法不正确的是 (　　)

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形

B.同一平面的两条垂线一定共面

C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内

D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

9.函数y=logax(a>0,a≠1)的反函数的图象过,则a的值为 (　　)

A.2 B.

C.2或 D.3

10.已知等差数列{an}中,a2=2,a4=6,则前4项的和S4等于 (　　)

A.8 B.10 C.12 D.14

11.某几何体的三视图及其尺寸如图所示,则这个几何体的体积是 (　　)

A.6 B.9

C.18 D.36

12.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中正确的是 (　　)

A.log2a>0 B.2a-b<

C.log2a+log2b<-2 D.2

13.设x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为 (　　)

A.-10 B.-6 C.-1 D.0

14.= (　　)

A.- B.- C. D.

15.小李从甲地到乙地的平均速度为a,从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0),他往返甲、乙两地的平均速度为v,则              (　　)

A.v= B.v=

C.<v< D.b<v<

二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)

16.首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S4=　　　　. 

17.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面的概率是　　　　. 

18.已知函数f(x)=则f的值是　　　　. 

19.锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asin B=b,则角A等于　　　　. 

三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)

20.已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.

(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;

(2)当弦AB被点P平分时,求直线l的方程;

(3)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.

21.已知四棱锥A-BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥平面ABC,BE∥CD,F为AD的中点.

(1)求证:EF∥平面ABC;

(2)求证:平面ADE⊥平面ACD;

(3)求四棱锥A-BCDE的体积.

22.已知等差数列{an}满足a2+a5=8,a6-a3=3.

(1)求数列{an}的前n项和Sn;

(2)若bn=+3·2n-2,求数列{bn}的前n项和Tn.

答案：

1.C　【解析】真子集个数为23-1=7,故选C.

2.B　【解析】由题意得,x-1>0,x>1,即函数的定义域是(1,+∞),故选B.

3.B　【解析】a·b=3x-3=0,即x=1,故选B.

4.C　【解析】只需+kπ⇒φ=3kπ+(k∈Z),而φ∈[0,2π],所以φ=,选C.

5.C　【解析】∵k=tan α=-,∴α=π-.故选C.

6.C　【解析】由茎叶图知,去掉一个最高分93和一个最低分79后,所剩数据为84,84,86,84,87,平均数为=85,方差为[(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+(87-85)2]==1.6.故选C.

7.C　【解析】y=cos 2x→y=cos(2x+1)=cos.故选C.

8.D　【解析】A.一组对边平行且相等就决定了是平行四边形,故A正确;

B.由线面垂直的性质定理知,同一平面的两条垂线互相平行,因而共面,故B正确;

C.由线面垂直的定义知,这些直线都在同一个平面内即直线的垂面,故C正确;

D.由实际例子,如把书本打开,且把书脊垂直放在桌上,则由无数个平面满足题意,故D不正确.故选D.

9.B　【解析】函数y=logax(a>0,a≠1)的反函数为y=ax,过点,即,解得a=,故选B.

10.C　【解析】设等差数列{an}的公差为d,则a4=a2+(4-2)d⇒d==2,a1=a2-d=2-2=0,所以S4==2×(0+6)=12.故选C.

11.C　【解析】由题意可知,几何体是以正视图为底面的三棱柱,其底面面积S=×4×=6,高是3,所以它的体积为V=Sh=18.故选C.

12.C　【解析】由题意知0<a<1,故log2a<0,A错误;

由0<a<1,0<b<1,故-1<-b<0.又a<b,所以-1<a-b<0,所以<2a-b<1,B错误;

由a+b=1>2得ab<,因此log2a+log2b=log2ab<log2=-2,C正确;

由0<a<b可知>2=2,因此2>22=4,D错误.

13.B　【解析】由z=x-2y得y=x-,

作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分),

平移直线y=x-,

由图象可知,当直线y=x-过点B时,直线y=x-的截距最大,此时z最小,

由解得即B(2,4).

代入目标函数z=x-2y,

得z=2-8=-6,

∴目标函数z=x-2y的最小值是-6.故选B.

14.C　【解析】

=

==sin 30°=.故选C.

15.D　【解析】设甲地到乙地的距离为s.

则他往返甲、乙两地的平均速度为v=,

∵a>b>0,∴>1,∴v=>b.

v=.∴b<v<.故选D.

16.15　【解析】S4==15.

17.　【解析】试验结果有:(正正正)(正正反)(正反正)(反正正)(反反正)(反正反)(正反反)(反反反)共8种情况,其中出现一次正面情况有3种,即P=.

18.　【解析】f=log2=-2,f=f(-2)=3-2=.

19.　【解析】因为2asin B=b,由正弦定理有2sin Asin B=sin B.因为△ABC中sin B≠0,从而sin A=,而A是锐角,故A=.

20.【解】(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),因直线过点P,C,所以直线l的斜率为2,直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.

(2)当弦AB被点P平分时,l⊥PC,直线l的方程为y-2=-(x-2),即x+2y-6=0.

(3)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0.

圆心到直线l的距离为,圆的半径为3,弦AB的长为.

21.【解】(1)证明:如图所示,取AC中点G,连接FG,BG.

∵F,G分别是AD,AC的中点,

∴FG∥CD,且FG=DC=1.

∵BE∥CD,∴FG与BE平行且相等,

∴EF∥BG.又∵EF⊄平面ABC,BG⊂平面ABC,

∴EF∥平面ABC.

(2)证明:由题意知△ABC为等边三角形,

∴BG⊥AC.

又∵DC⊥平面ABC,BG⊂平面ABC,

∴DC⊥BG,

∴BG垂直于平面ADC的两条相交直线AC,DC,

∴BG⊥平面ADC.

∵EF∥BG,∴EF⊥平面ADC.

又∵EF⊂平面ADE,

∴平面ADE⊥平面ACD.

(3)连接EC,该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC.

×1+×1×.

22.【解】(1)由a6-a3=3得数列{an}的公差d==1,

由a2+a5=8,得2a1+5d=8,

解得a1=,

∴Sn=na1+d=.

(2)由(1)可得,

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn

=+…+(1+2+…+2n-1)

=

+

=×(2n-1)

=3·2n-1-.