普通高中2021年高中数学学业水平考试模拟测试题八含解析

普通高中2021年高中数学学业水平考试模拟测试题（八）

(时间:90分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共15小题,每小题6分,满分90分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合A={0,2,4},B={-2,0,2},则A∪B= (　　)

A.{0,2} B.{-2,4}

C.[0,2] D.{-2,0,2,4}

2.用a,b,c表示三条不同的直线,y表示平面,给出下列命题:

①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;

③若a∥y,b∥y,则a∥b;④若a⊥y,b⊥y,则a∥b.

其中真命题的序号是 (　　)

A.①② B.②③ C.①④ D.③④

3.函数y=log3(x+2)的定义域为 (　　)

A.(-2,+∞) B.(2,+∞)

C.[-2,+∞) D.[2,+∞)

4.已知向量a=(2,-2),b=(2,-1),则|a+b|= (　　)

A.1 B. C.5 D.25

5.直线3x+2y-6=0的斜率是 (　　)

A. B.-

C. D.-

6.不等式x2-9<0的解集为 (　　)

A.{x|x<-3} B.{x|x<3}

C.{x|x<-3或x>3} D.{x|-3<x<3}

7.已知a>0,则= (　　)

A. B.

C. D.

8.某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为:9,8,7,6,5,7,则该六天最低气温的平均数和方差分别为              (　　)

A.7和 B.8和

C.7和1 D.8和

9.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,BD1=2,则AA1= (　　)

A.1 B.

C.2 D.

10.若不等式-4<2x-3<4与不等式x2+px+q<0的解集相同,则= (　　)

A. B.- C. D.

11.设x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为 (　　)

A.-5 B.-3 C.1 D.4

12.已知圆C与y轴相切于点(0,5),半径为5,则圆C的标准方程是 (　　)

A.(x-5)2+(y-5)2=25

B.(x+5)2+(y-5)2=25

C.(x-5)2+(y-5)2=5或(x+5)2+(y-5)2=5

D.(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=25

13.如图,△ABC中,=a,=b,=4,用a,b表示,正确的是 (　　)

A.a+b B.a+b

C.a+b D.a-b

14.若数列{an}的通项an=2n-6,设bn=|an|,则数列{bn}的前7项和为 (　　)

A.14 B.24

C.26 D.28

15.已知函数f(x)=则不等式f(x)≤5的解集为 (　　)

A.[-1,1] B.(-∞,-2]∪(0,4)

C.[-2,4] D.(-∞,-2]∪[0,4]

二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,满分24分)

16.已知角α的顶点与坐标原点重合,终边经过点P(4,-3),则cos α=　　　　　. 

17.在等比数列{an}中,a1=1,a2=2,则a4=　　　　　. 

18.袋中装有五个除颜色外完全相同的球,其中2个白球,3个黑球,从中任取两球,则取出的两球颜色相同的概率是　　　　　. 

19.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-4x,则当x∈(-∞,0)时,f(x)=　　　　　. 

三、解答题(本大题共2小题,每小题12分,满分24分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)

20.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos A=,bc=5.

(1)求△ABC的面积;

(2)若b+c=6,求a的值.

21.如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PA=PB=PC=2,E是AC的中点,点F在线段PC上.

(1)求证:PB⊥AC;

(2)若PA∥平面BEF,求四棱锥B-APFE的体积.

22.广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2017年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将他们年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.

(1)计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数;

(2)若从年龄在[20,40)的广场舞者中任取两名,求这两名广场舞者恰有一人年龄在[30,40)的概率.

答案：

1.D　【解析】由并集的定义,可得A∪B={-2,0,2,4}.故选D.

2.C　【解析】②不正确,a,c的位置关系有三种,平行、相交或异面;③不正确.

3.A　【解析】要使y=log3(x+2)有意义,则x+2>0,解得x>-2,即定义域为(-2,+∞).故选A.

4.C　【解析】由a=(2,-2),b=(2,-1),可得a+b=(4,-3),则|a+b|==5.故选C.

5.B　【解析】直线3x+2y-6=0,可化为y=-x+3,故斜率为-.故选B.

6.D　【解析】由x2-9<0,可得-3<x<3.故选D.

7.D　【解析】,则.故选D.

8.A　【解析】平均数×(9+8+7+6+5+7)=7,方差s2=[(9-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(7-7)2]=.故选A.

9.B　【解析】在长方体中,B=AB2+AD2+A,则22=12+12+A,解得AA1=.故选B.

10.A　【解析】∵不等式-4<2x-3<4,

∴-<x<.

∵不等式-4<2x-3<4与不等式x2+px+q<0的解集相同,

∴不等式x2+px+q<0的解集为,

∴-是方程x2+px+q=0的两个根,

∴

解得p=-3,q=-,

∴.故选A.

11.C　【解析】作出约束条件表示的平面区域如图所示,当直线z=x-2y过点A(1,0)时,z取得最大值,zmax=1-2×0=1.故选C.

12.D　【解析】由题意得圆C的圆心为(5,5)或(-5,5),故圆C的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.故选D.

13.C　【解析】由=4,可得=4(),则,即a+b.故选C.

14.C　【解析】当n≤3时,an≤0,bn=|an|=-an=6-2n,即b1=4,b2=2,b3=0.当n>3时,an>0,bn=|an|=an=2n-6,即b4=2,b5=4,b6=6,b7=8.所以数列{bn}的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26.故选C.

15.C　【解析】由于f(x)=

当x>0时,3+log2x≤5,即log2x≤2=log24,解得0<x≤4;

当x≤0时,x2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x≤3.又x≤0,所以-2≤x≤0.

综上不等式f(x)≤5的解集为[-2,4],故选C.

16.　【解析】由题意得x=4,y=-3,r==5,cos α=.

17.8　【解析】设等比数列{an}的公比为q,由题意得q==2,则a4=a1q3=1×23=8.

18.　【解析】记2个白球分别为白1,白2,3个黑球分别为黑1,黑2,黑3,从这5个球中任取两球,所有的取法有{白1,白2},{白1,黑1},{白1,黑2},{白1,黑3},{白2,黑1},{白2,黑2},{白2,黑3},{黑1,黑2},{黑1,黑3},{黑2,黑3},共10种.其中取出的两球颜色相同取法的有4种,所以所求概率为P=.

19.-x2-4x　【解析】当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),由奇函数可得f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-4(-x)]=-x2-4x.

20.【解】(1)∵A是△ABC的内角,即A∈(0,π),cos A=,∴sin A=.

又bc=5,∴S△ABC=bcsin A=×5×=2.

(2)由cos A=,bc=5,可得b2+c2-a2=6.

由bc=5,b+c=6,可得b2+c2=(b+c)2-2bc=26.

∴26-a2=6,解得a=2.

21.【解】(1)∵PA⊥PB,PB⊥PC,PA⊂平面PAC,PC⊂平面PAC,PA∩PC=P,

∴PB⊥平面PAC.

又AC⊂平面PAC,∴PB⊥AC.

(2)∵PA∥平面BEF,PA⊂平面PAC,平面BEF∩平面PAC=EF,

∴PA∥EF.

又E为AC的中点,∴F为PC的中点.

∴S四边形APFE=S△PAC-S△FEC=S△PAC.

∵PC⊥PA,PA=PC=2,

∴S△PAC=×2×2=2.∴S四边形APFE=.

由(1)得PB⊥平面PAC,

∴PB=2是四棱锥B-APFE的高.

∴S四边形APFE·PB=×2=1.

22.【解】(1)由表中数据知,这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数为(0.02+0.03+0.025)×10×40=30.

(2)由直方图可知,年龄在[20,30)的有2人,分别记为a1,a2;在[30,40)的有4人,分别记为b1,b2,b3,b4.

现从这6人中任选两人,共有如下15种选法:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),其中恰有1人在[30,40)的情况有8种,故这两名广场舞者恰有一人年龄在[30,40)的概率为P=.