第四章 指数函数和对数函数（考点与题型解析）-2020-2021学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）教案

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二、考点与题型解读
考点一 指数与对数的运算
(1)指数与对数的运算应遵循的原则
①指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的；
②对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行．
(2)底数相同的对数式化简的两种基本方法
①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
【例1】（1）计算；
（2）已知，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）.
（2）由，得，又由，即，得，
所以.
【变式1】求值：（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）原式=；
（2）原式.
考点二 指数函数、对数函数的图象问题
1.指数函数的图象和性质
一般地，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与性质如下表所示.
注意 (1)对于a>1与0(2)a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；0(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.
规律方法
(1)识别函数的图象从以下几个方面入手：
①单调性：函数图象的变化趋势；
②奇偶性：函数图象的对称性；
③特殊点对应的函数值．
(2)已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决．
【例2】当时， 在同一坐标系中，函数与的图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由于，所以为上的递减函数，且过；为上的单调递减函数，且过，故只有D选项符合.
故选：D.
【变式2】函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
由题意，函数是偶函数，图象关于轴对称，
当时，为单调递减函数，
时，为单调递增函数，
再由函数的图象过点，应选A选项，
故选A．
考点三 指数函数、对数函数的性质
基本初等函数单调性的判断与应用
(1)对于指数函数和对数函数，注意底数a对函数单调性的影响，对于幂函数y＝xα，注意指数α对函数单调性的影响．
(2)根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集．
【例3】设f(x)＝ex，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f()，r＝，则下列关系式中正确的是（ ）
A．q＝r＜pB．p＝r＜q
C．q＝r＞pD．p＝r＞q
【答案】C
【解析】
∵0＜a＜b，
∴＞，又f(x)＝ex在(0，＋∞)上为增函数，
∴f()＞f()，即q＞p.
又r＝＝＝＝q，
故q＝r＞p.
故选：C.
【变式3】设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
，
，
，
．
故选:.
考点四 大小比较问题
数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数的图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小.
【例4】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
，，，
∴，
故选：D
【变式4】若，，，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，，，
∴，
故选：A
考点五 函数的应用
利用已知函数模型解决实际问题的方法
解决已给出函数模型的实际应用题，关键要分清函数类型，并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件，然后结合所给模型，列出函数关系式；最后结合其实际意义作出解答．
【例5】某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.
（1）求森林面积的年增长率；
（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
（3）为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？
（参考数据：，）
【答案】（1）；（2）年；（3）至少还需要年.
【解析】（1）设增长率为，依题意可得
所以即，解得
（2）设已经植树造林年，则
即
解得，故已经植树造林年.
（3）设至少还需要年，则
即即解得
故至少还需要年
考点六 函数的零点与方程的根
函数的零点与方程的根的关系及应用
(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.
【例6】已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
设函数，，
则，所以函数为定义域上的为偶函数，
作出函数与的图象，如图所示，
当时，，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；
当时，，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；
当时，，两函数有1个交点，即1个零点；
当时，，，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数共4个零点.
故选：D.
【变式6】已知函数，则方程的根的个数可能为（ ）
A．2B．6C．5D．4
【答案】ACD
【解析】
画出的图象如图所示：
令，则，则，
当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点，
即方程的根的个数为2个，A正确；
当时，即时，，则
故，，
当时，即，则有2解，
当时，若，则有3解；若，则有2解，
故方程的根的个数为5个或4个，CD正确；
故选：ACD
考点七 函数模型的应用
1.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤
(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示.
(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.
(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解.
2.建模的三个原则
(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.
(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.
【例7】某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产百台的生产成本为万元（总成本固定成本生产成本）．销售收入（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）写出利润函数的解析式（利润销售收入总成本）；
（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
【答案】（1）（2）当工厂生产百台时，可使赢利最大为万元．
【解析】（1）由题意得．
，

（2）当时，
函数递减，
（万元）．
当时，函数，
当时，有最大值为（万元）．
所以当工厂生产百台时，可使赢利最大为万元．
【变式7】环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈。绵阳某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且
（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
（2）规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过，则调节参数应控制在什么范围内？
【答案】（1）一天中早上点该厂的污水污染指数最低; （2）调节参数应控制在内.
【解析】（1）时，，，
令，解得即可得出；（2）利用换元法，则，故将表示成关于的分段函数，再利用函数的单调性即可得出.
试题解析：（1） 因为,则.
当时，,得，
即.所以一天中早上点该厂的污水污染指数最低.
（2）设，则当时，.
设,
则,
显然在上是减函数，在上是增函数，
则,
因为,
则有 ，解得，
又，故调节参数应控制在内.