2022届高考数学一轮复习第七章立体几何7.4直线平面平行的判定及其性质学案理含解析北师大版

第四节　直线、平面平行的判定及其性质

授课提示：对应学生用书第146页

知识点一　直线与平面平行

直线与平面平行的判定定理和性质定理

1．下列命题中正确的是（　　）

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥α

解析：A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a∥α，可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b⃘α，cα，所以b∥α．

答案：D

2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_________．

解析：连接BD交AC于O，连接EO，则O为BD的中点．因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1．又因为BD1平面ACE，OE平面ACE，所以BD1∥平面ACE．

答案：平行

知识点二　平面与平面平行

平面与平面平行的判定定理和性质定理

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平面与平面平行的几个有用性质

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

（2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．

（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．

（6）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．

1．平面α∥平面β的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，aα，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α

解析：若α∩β＝l，a∥l，a⃘α，a⃘β，a∥α，a∥β，故排除A．若α∩β＝l，aα，a∥l，则a∥β，故排除B．若α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C．

答案：D

2．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中（　　）

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一的与a平行的直线

解析：当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线．

答案：A

3．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_________．

解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG．同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．

答案：平行四边形

授课提示：对应学生用书第147页

题型一　直线与平面平行的判定与性质　　

考法（一）　直线与平面平行的判定

[例1]　如图，在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE相交于O点，G是线段OF上一点．

（1）求证：AP∥平面BEF；

（2）求证：GH∥平面PAD．

[证明]　（1）连接EC，

∵AD∥BC，BC＝AD，E为AD的中点，

∴BC綊AE，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∴O为AC的中点．

又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，

FO平面BEF，AP平面BEF，

∴AP∥平面BEF．

（2）连接FH，OH，

∵F，H分别是PC，CD的中点，

∴FH∥PD，又PD平面PAD，FH平面PAD，∴FH∥平面PAD．

又易知O是BE的中点，

∴OH∥AD，易得OH∥平面PAD．

又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD．

又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD．

证明直线与平面平行的三种方法

（1）定义法：一般用反证法．

（2）判定定理法：关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程．

（3）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面．

考法（二）　直线与平面平行的性质

[例2]　如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．

（1）证明：GH∥EF；

（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

[解析]　（1）证明：因为BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC．

同理可证EF∥BC，

因此GH∥EF．

（2）连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK．

因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD．

又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面ABCD．又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO平面GEFH，

所以PO∥平面GEFH．

因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，所以GK⊥底面ABCD，

从而GK⊥EF．

所以GK是梯形GEFH的高．

由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，

从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点．

再由PO∥GK得GK＝PO，且G是PB的中点，所以GH＝BC＝4．

由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，

所以GK＝3．

易得EF＝BC＝8，

故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18．

证明线线平行的三种判定方法

（1）利用平行公理．

（2）利用线面平行的性质定理．

（3）利用面面平行的性质定理．

[对点训练]

如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：GH∥平面PAD．

证明：如图，连接AC交BD于点O，连接MO．

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以O是AC的中点．

又M是PC的中点，所以AP∥OM．

根据直线和平面平行的判定定理．

则有PA∥平面BMD．

因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，

根据直线和平面平行的性质定理，得PA∥GH．

因为GH平面PAD，PA平面PAD，

所以GH∥平面PAD．

题型二　平面与平面平行的判定与性质　　

[例]　如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG．

[证明]　（1）因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，

所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．

（2）在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，

所以EF∥BC，

因为EF平面BCHG，BC平面BCHG，

所以EF∥平面BCHG．

又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，

所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，

所以A1E∥GB．

因为A1E平面BCHG，GB平面BCHG，

所以A1E∥平面BCHG．

又因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG．

[变式探究1]　在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA．

证明：如图所示，连接HD，A1B，

因为D为BC1的中点，

H为A1C1的中点，

所以HD∥A1B．

又HD平面A1B1BA，

A1B平面A1B1BA，

所以HD∥平面A1B1BA．

[变式探究2]　在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D．

证明：如图所示，

连接A1C交AC1于点M，

因为四边形A1ACC1是平行四边形，

所以M是A1C的中点，连接MD，

因为D为BC的中点，

所以A1B∥DM．

因为A1B平面A1BD1，

DM平面A1BD1，

所以DM∥平面A1BD1．

又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，

所以四边形BDC1D1为平行四边形，

所以DC1∥BD1．

又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，

所以DC1∥平面A1BD1，

又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D，

所以平面A1BD1∥平面AC1D．

判定面面平行的四种方法

（1）面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点．

（2）面面平行的判定定理．

（3）垂直于同一条直线的两平面平行．

（4）平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．

[对点训练]

如图所示，平面α∥平面β，点A∈平面α，点C∈平面α，点B∈平面β，点D∈平面β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD．

（1）求证：EF∥平面β；

（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．

解析：（1）证明：①当AB，CD在同一平面内，

∵α∥β，平面α∩平面ABDC＝AC，

平面β∩平面ABDC＝BD，

∴AC∥BD．

∵AE∶EB＝CF∶FD，

∴EF∥BD．

又EFβ，BDβ，∴EF∥平面β．

②当AB与CD异面时，

设平面ACD∩β＝DH，且DH＝AC．

∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，

∴AC∥DH．故四边形ACDH是平行四边形．

在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，

又∵AE∶EB＝CF∶FD，

∴GF∥HD，EG∥BH．

又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面β．

又EF平面EFG，∴EF∥平面β．

综上，EF∥平面β．

（2）如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF．

∵E，F分别为AB，CD的中点，

∴ME∥BD，MF∥AC，

且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2．

因此∠EMF为AC与BD所成的角（或其补角）．

故∠EMF＝60°或120°．

在△EFM中，由余弦定理得，

EF＝

＝＝，

即EF＝或EF＝．

　直线与平面平行问题中的核心素养

直观想象、逻辑推理——直线与平面平行的创新应用

[例]　如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f（x）的图像大致是（　　）

[解析]　过M作MQ∥DD1，交AD于Q，连接QN（图略）．∵MN∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1，又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，∵＝＝2，∴MQ＝2x．在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1（x≥0，y≥1），∴函数y＝f（x）的图像为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．

[答案]　C

作平面MNQ∥平面DCC1D1，且由勾股定理得出y与x的关系是解题的关键．

[对点训练]

如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面EFGH所在四边形的面积为定值；

③棱A1D1始终与水面所在的平面平行；

④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．

其中正确的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：由题图，显然①是正确的，②是错的；对于③，因为A1D1∥BC，BC∥FG，

所以A1D1∥FG且A1D1⃘平面EFGH，

所以A1D1∥平面EFGH（水面）．

所以③是正确的；

因为水是定量的（定体积V）．

所以S△BEF·BC＝V，

即BE·BF·BC＝V．

所以BE·BF＝（定值），即④是正确的．

答案：C