2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.1函数及其表示学案理含解析北师大版

第一节　函数及其表示

授课提示：对应学生用书第11页

知识点一　函数的基本概念

1．函数的定义

一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

2．函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

3．函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

4．表示函数的常用方法：列表法、图像法和解析式法．

• 温馨提醒 •

函数问题允许多对一，但不允许一对多．与x轴垂直的直线和一个函数的图像至多有1个交点．

1．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)

A．y＝()2　　　　 B．y＝＋1

C．y＝＋1  D．y＝＋1

解析：对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．

答案：B

2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A．[0，2)  B．(2，＋∞)

C．[0，2)∪(2，＋∞)  D．(－∞，2)∪(2，＋∞)

解析：由得x≥0且x≠2，所以函数f(x)的定义域为[0，2)∪(2，＋∞)．

答案：C

知识点二　分段函数

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．

分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

二级结论

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

必明易错

• 温馨提醒 •

1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．

2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．

1．若函数f(x)＝则f[f(1)]的值为(　　)

A．－10  B．10

C．－2  D．2

解析：∵f(1)＝21－4＝－2，∴f[f(1)]＝f(－2)＝－2.

答案：C

2．(易错题)设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________．

解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x＜1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x＜1；当x≥1时，f(x)≥1⇒4－ ≥1，即≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]．

答案：(－∞，－2]∪[0，10]

3．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．

解析：因为f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，所以f(a)＝－2＜0，故a≤0.依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.

答案：－3

授课提示：对应学生用书第12页

题型一　函数的定义域　　

1.已知函数y＝f（x2－1）的定义域为[－， ]，则函数y＝f（x）的定义域为__________.

解析：因为y＝f（x2－1）的定义域为[－， ]，所以x∈[－， ]，x2－1∈[－1，2]，所以y＝f（x）的定义域为[－1，2].

答案：[－1，2]

2.若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是__________.

解析：因为函数y＝的定义域为R，

所以mx2＋4mx＋3≠0，

所以m＝0或即m＝0或0＜m＜，所以实数m的取值范围是.

答案：

求函数f（x）的定义域时，要使解析式有意义.具体如下：（1）分式中，分母不为0；（2）偶次方根中，被开方数非负；（3）对于y＝x0，要求x≠0，负指数的底数不为0.

题型二　函数解析式的求法　　

求下列函数的解析式：

（1）已知f（1－sin x）＝cos2x，求f（x）的解析式；

（2）已知f＝x4＋，求f（x）的解析式；

（3）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）的解析式；

（4）定义在（－1，1）内的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），求f（x）的解析式.

解析：（1）（换元法）设1－sin x＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t，因为f（1－sin x）＝cos2x＝1－sin2x，所以f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2].即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2].

（2）（配凑法）因为f＝－2，所以f（x）＝x2－2，x∈[2，＋∞）.

（3）（待定系数法）因为f（x）是一次函数，可设f（x）＝ax＋b（a≠0），所以3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17.即ax＋（5a＋b）＝2x＋17，因此应有解得故f（x）的解析式是f（x）＝2x＋7.（4）（方程组法）当x∈（－1，1）时，有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1）①.又－x∈（－1，1），以－x代替x得2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1）②.由①②消去f（－x）得f（x）＝lg（x＋1）＋lg（1－x），x∈（－1，1）.

题型三　分段函数　　

考法（一）　分段函数求值问题

[例1]　（1）（2021·江西南昌模拟）设函数f（x）＝则f（5）的值为（　　）

A.－7　　　　　　　 B.－1

C.0  D.

（2）若函数f（x）＝则f（f（－9））＝__________.

[解析]　（1）f（5）＝f（5－3）＝f（2）＝f（2－3）＝f（－1）＝（－1）2－2－1＝.

（2）因为函数f（x）＝所以f（－9）＝lg 10＝1，所以f（f（－9））＝f（1）＝－2.

[答案]　（1）D　（2）－2

求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的取值选择相应段的解析式求解，有时各段交替使用求值.

考法（二）　求参数值问题

[例2]　（1）（2021·安庆模拟）已知函数f（x）＝若实数a满足f（a）＝f（a－1），则f＝（　　）

A.2  B.4

C.6  D.8

（2）设函数f（x）＝若f（m）＝3，则实数m的值为__________.

[解析]　（1）由题意得a≥0且－1＜a－1＜0，

即0＜a＜1，由f（a）＝f（a－1），即2a＝，解得a＝，则f＝f（4）＝8.

（2）当m≥2时，由m2－1＝3，得m2＝4，解得m＝2；当0＜m＜2时，由log2m＝3，解得m＝23＝8（舍去）.综上所述，m＝2.

[答案]　（1）D　（2）2

求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应段上自变量的值，切记要代入检验.

[题组突破]

1.已知函数f（x）＝则f（f（1））＝（　　）

A.－  B.2

C.4  D.11

解析：因为f（1）＝12＋2＝3，所以f（f（1））＝f（3）＝3＋＝4.

答案：C

2.已知函数f（x）＝若f（f（0））＝3a，则实数a等于（　　）

A.  B.4

C.2  D.9

解析：由题意，得f（0）＝30＋1＝2，f（f（0））＝f（2）＝4a－2＝3a，解得a＝2.

答案：C

　函数概念中的核心素养

（一）数学抽象——函数的新定义问题

解决与函数有关的新定义问题

（1）联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等）为背景定义的，可以通过阅读材料，联想和类比、拆分或构造，将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解.

（2）紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答.

（3）巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x，y取特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题.

（4）构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的.

[例1]　（2021·深圳模拟）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f（x）的图像恰好经过n（n∈N*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数.给出下列函数：

①f（x）＝sin 2x；②g（x）＝x3；③h（x）＝；④φ（x）＝ln x.

其中是一阶整点函数的是（　　）

A.①②③④　　　　　　　 B.①③④

C.①④  D.④

[解析]　对于函数f（x）＝sin 2x，它的图像（图略）只经过一个整点（0，0），所以它是一阶整点函数，排除D；对于函数g（x）＝x3，它的图像（图略）经过整点（0，0），（1，1），…，所以它不是一阶整点函数，排除A（只要找到两个整点，即可判断函数不是一阶整点函数）；对于函数h（x）＝，它的图像（图略）经过整点（0，1），（－1，3），…，所以它不是一阶整点函数，排除B.

[答案]　C

本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解.

（二）数学运算——分类讨论思想在分段函数中的应用

[例2]　设函数f（x）＝则满足f（x）＋f＞1的x的取值范围是__________.

[解析]　当x≤0时，f（x）＋f＝x＋1＋＋1＝2x＋，∴f（x）＋f＞1⇒2x＋＞1⇒x＞－，即－＜x≤0；

当0＜x≤时，f（x）＋f＝2x＋＋1＝2x＋x＋＞2x＞1；

当x＞时，f（x）＋f＝2x＋2x－＞2x＞＞1.

综上所述，x的取值范围是.

[答案]　

解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量的取值范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用.总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，即应用分类讨论思想解决.

[题组突破]

1.（2021·滨州模拟）具有性质f＝－f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝中满足“倒负”变换的函数是（　　）

A.①②  B.②③

C.①③  D.只有①

解析：（逐项验证法）对于①，

f＝－x＝－f（x），满足“倒负”变换；

对于②，f＝＋x≠－f（x），不满足“倒负”变换；

对于③，f＝

满足f＝－f（x）.

故③满足“倒负”变换.

答案：C

2.（2021·河南郑州质量测评）已知函数f（x）＝若f（a）＝3，则f（a－2）＝__________.

解析：当a＞0时，若f（a）＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2（满足a＞0）；当a≤0时，若f（a）＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去.于是，可得a＝2.故f（a－2）＝f（0）＝4－2－1＝－.

答案：－