2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.4二次函数与幂函数学案理含解析北师大版

第四节　二次函数与幂函数

授课提示：对应学生用书第23页

知识点一　幂函数

1.幂函数的概念

一般地，形如y＝xα（α∈R）的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数.

2.5个简单的幂函数的图像与性质

• 温馨提醒 •

由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到.

1.已知幂函数f（x）的图像过点（8，4），则该幂函数的解析式是（　　）

A.f（x）＝x　　　　　　　 B.f（x）＝x2

C.f（x）＝x－1  D.f（x）＝x

解析：设f（x）＝xα，因为函数f（x）的图像过点（8，4），所以8α＝4，得α＝，所以f（x）＝x.

答案：D

2.如图所示是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限内的图像，则a，b，c的大小关系为__________.

解析：根据幂函数的性质可知a＜0，b＞1，0＜c＜1，故a＜c＜b.

答案：a＜c＜b

3.（易错题）已知幂函数f（x）＝x－，若f（a＋1）＜f（10－2a），则a的取值范围为__________.

解析：由题意知解得3＜a＜5.

答案：（3，5）

知识点二　二次函数

二次函数的图像和性质

• 温馨提醒 •

1.注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论.

2.一元二次不等式恒成立的条件

（1）“ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立”的充要条件是“a＞0且Δ＜0”.

（2）“ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立”的充要条件是“a＜0且Δ＜0”.

1.（易错题）若不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（　　）

A.（－∞，2]  B.[－2，2]

C.（－2，2]  D.（－∞，－2）

解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，恒成立，所以a＝2时，成立；当a－2≠0，即a≠2时，a满足解得－2＜a＜2.综上，可知a的取值范围是（－2，2].

答案：C

2.已知函数f（x）＝（m2－m－5）xm是幂函数，且在x∈（0，＋∞）时为增函数，则实数m的值是（　　）

A.－2  B.4

C.3  D.－2或3

解析：f（x）＝（m2－m－5）xm是幂函数⇒m2－m－5＝1⇒m＝－2或m＝3.

又在x∈（0，＋∞）上是增函数，

所以m＝3.

答案：C

3.已知函数f（x）＝x2＋（a－1）x＋a在区间[2，5]上单调，则a的取值范围为__________.

解析：∵函数f（x）＝x2＋（a－1）x＋a的对称轴方程为x＝－，且f（x）在[2，5]上单调，

∴－≤2或－≥5，解得a≥－3或a≤－9.

∴a的取值范围是（－∞，－9]∪[－3，＋∞）.

答案：（－∞，－9]∪[－3，＋∞）

4.如图所示，若a＜0，b＞0，则函数y＝ax2＋bx的大致图像是　　　　（填序号）.

解析：由函数的解析式可知，图像过点（0，0），故①、④不正确.又a＜0，b＞0，所以二次函数图像的对称轴为x＝－＞0，故③正确.

答案：③

授课提示：对应学生用书第24页

题型一　幂函数的图像与性质　　

1.幂函数y＝f（x）的图像过点（4，2），则y＝f（x）的图像大致是（　　）

解析：设幂函数为y＝xα，因为y＝f（x）的图像过点（4，2），所以2＝4α，解得α＝.所以y＝x.C正确.

答案：C

2.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）

A.a＜b＜c　　　　　　　 B.c＜a＜b

C.b＜c＜a  D.b＜a＜c

解析：因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝＞b＝，因为y＝是减函数，所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c.

答案：D

3.若（a＋1）－2＞（3－2a）－2，则a的取值范围是__________.

解析：因为（a＋1）－2＞（3－2a）－2，

又f（x）＝x－2为偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，

所以解得a＜且a≠－1或a＞4，所以a的取值范围是（－∞，－1）∪∪（4，＋∞）.

答案：（－∞，－1）∪∪（4，＋∞）

4.已知幂函数f（x）＝x－m2－2m＋3（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，＋∞）上是单调增函数，则f（2）的值为__________.

答案：16

1.对于幂函数图像的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

题型二　二次函数的图像与性质　　

考法（一）　二次函数的图像

[例1]　如图所示是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图像的一部分，图像过点A（－3，0），对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.

其中正确的是（　　）

A.②④　　　　　　　 B.①④

C.②③  D.①③

[解析]　因为题中图像与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；

又对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；

结合图像，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；

由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确.

[答案]　B

考法（二）　二次函数的单调性

[例2]　函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在区间[－1，＋∞）上是单调递减的，则实数a的取值范围是__________.

[解析]　当a＝0时，f（x）＝－3x＋1在[－1，＋∞）上单调递减，满足条件；

当a≠0时，f（x）的对称轴为x＝，

由f（x）在[－1，＋∞）上单调递减知

解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3，0].

[答案]　[－3，0]

考法（三）　二次函数中的恒成立问题

[例3]　已知函数f（x）＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式f（x）＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.

[解析]　由题意可知，f（x）＞2x＋m等价于x2－x＋1＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0，令g（x）＝x2－3x＋1－m，要使g（x）＞0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g（x）在[－1，1]上的最小值大于0即可.

∵g（x）＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，

∴g（x）min＝g（1）＝－m－1，

由－m－1＞0得m＜－1.

因此，满足条件的实数m的取值范围是（－∞，－1）.

　解决二次函数图像与性质问题时应注意的三点

（1）抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论.

（2）要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”（作草图），再“定量”（看图求解）.

（3）由不等式恒成立求参数取值范围关键的解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.

[题组突破]

1.已知abc>0，则二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图像可能是（　　）

 解析：A项，因为a<0，－<0，所以b<0.

又因为abc>0，所以c>0，而f（0）＝c<0，故A错.

B项，因为a<0，－>0，所以b>0.

又因为abc>0，所以c<0，而f（0）＝c>0，故B错.

C项，因为a>0，－<0，所以b>0.又因为abc>0，

所以c>0，而f（0）＝c<0，故C错.

D项，因为a>0，－>0，所以b<0，因为abc>0，所以c<0，而f（0）＝c<0.

答案：D

2.已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]上是增函数，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　　）

A.[0，＋∞）  B.（－∞，0]

C.[0，4]  D.（－∞，0]∪[4，＋∞）

解析：由题意可知函数f（x）的图像开口向下，对称轴为x＝2（如图），若f（a）≥f（0），从图像观察可知0≤a≤4.

答案：C

3.已知a是实数，函数f（x）＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围为__________.

解析：2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立.

当x＝0时，－3＜0，成立；

当x≠0时，a＜－，易知∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），所以当x＝1时，函数f（x）取最小值，所以a＜.

综上，实数a的取值范围是.

答案：

　二次函数应用中的核心素养

（一）逻辑推理——分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用

[例1]　函数f（x）＝x2＋2x在区间[t，t＋1]上的最小值为8，求实数t的值.

[解析]　二次函数f（x）＝x2＋2x图像的对称轴方程为x＝－1.

当t＋1＜－1，即t＜－2时，f（x）在区间[t，t＋1]上单调递减，故f（x）min＝f（t＋1）＝（t＋1）2＋2（t＋1）＝8，解得t＝－5或t＝1（舍去）；

当t≤－1≤t＋1，即－2≤t≤－1时，f（x）min＝f（－1）＝－1≠8；

当t＞－1时，f（x）在区间[t，t＋1]上单调递增，故f（x）min＝f（t）＝t2＋2t＝8，解得t＝2或t＝－4（舍去）.

综上可知，t的值为－5或2.

二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处，也可以作出二次函数在该区间上的图像，由图像来判断最值.解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系.

（二）创新应用——与高数接轨的创新问题

[例2]　定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f′（x1）＝f′（x2）＝，则称函数f（x）是[a，b]上的“中值函数”.已知函数f（x）＝x3－x2＋m是[0，m]上的“中值函数”，则实数m的取值范围是__________.

[解析]　由题意，知f′（x）＝x2－x在[0，m]上存在x1，x2（0＜x1＜x2＜m），满足f′（x1）＝f′（x2）＝＝m2－m，所以方程x2－x＝m2－m在（0，m）上有两个不相等的解.令g（x）＝x2－x－m2＋m（0＜x＜m），

则

[答案]　

本题关键是利用“中值函数”的定义转化为二次方程根的分布问题，从而利用函数与方程的思想、数形结合思想求出.

[题组突破]

1.（2021·承德模拟）若函数f（x）＝x2－ax－a在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a等于（　　）

A.－1　　　　　　　 B.1

C.2  D.－2

解析：∵函数f（x）＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，

∴函数的最大值在区间的端点处取得，

∵f（0）＝－a，f（2）＝4－3a，

∴或解得a＝1.

答案：B

2.设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f（x）－g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”.若f（x）＝x2－3x＋4与g（x）＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为__________.

解析：由题意得，函数y＝f（x）－g（x）＝x2－3x＋4－2x－m＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点.

令h（x）＝x2－5x＋4－m，

则即

故答案为.

答案：