2022届高考数学一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n项和学案理含解析北师大版

这是一份2022届高考数学一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n项和学案理含解析北师大版，共10页。

第二节　等差数列及其前n项和
命题分析预测
学科核心素养
本节是高考的考查热点，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题．
本节通过对等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列性质的应用，考查考生对函数与方程思想的应用，提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养．

授课提示：对应学生用书第105页
知识点一　等差数列的概念与通项
1．等差数列的概念
（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
数学语言表达式：an＋1－an＝d（n∈N＋，d为常数），或an－an－1＝d（n≥2，d为常数）．
（2）若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝Ｗ．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
（1）若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋（n－1）dＷ．
通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（m，n∈N＋）．
（2）等差数列的前n项和公式
Sn＝＝na1＋d（其中n∈N＋，a1为首项，d为公差，an为第n项）．
• 温馨提醒 •
要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝（　　）
A．36　　　　　　　　 B．72
C．144 D．288
解析：因为a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，所以d＝，所以S9＝9×2＋×＝72．
答案：B
2．（易错题）一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是（　　）
A．d＞ B．d＜
C．＜d＜ D．＜d≤
解析：由题意可得即
解得＜d≤．
答案：D
3．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝________．
解析：由已知可得
解得所以S8＝8a1＋d＝32．
答案：32
知识点二　等差数列的性质
　已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和．
（1）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），
则有am＋an＝ap＋aq．
（2）等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；
当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列Ｗ．
• 温馨提醒 •
三个必备结论
（1）若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；②S偶－S奇＝nd，＝．
（2）若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，
则①S2n＋1＝（2n＋1）an＋1；②＝．
（3）在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1＜0，d＞0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm．

1．（2021·吉林月考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝（　　）
A．12　　　 B．8　　　　
C．20　　　 D．16
解析：∵S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，S4＝8，S8－S4＝12，∴S12－S8＝16，∴S16－S12＝20，即a13＋a14＋a15＋a16＝20．
答案：C
2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝（　　）
A．180 B．90
C．270 D．360
解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180．
答案：A
3．（易错题）已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．
解析：由|a3|＝|a9|，d＜0，得a3＝－a9，
即a3＋a9＝0，所以a6＝＝0．
所以a5＞0，a6＝0，a7＜0．
所以当n＝5或6时，Sn取最大值．
答案：5或6

授课提示：对应学生用书第106页
题型一　等差数列的基本问题　　
1．（2021·聊城期末测试）已知{an}是公差为2的等差数列，前5项和S5＝25，若a2m＝15，则m＝（　　）
A．4　　　　　　　 B．6
C．7 D．8
解析：S5＝5a1＋×2＝25，解得a1＝1．所以a2m＝a1＋（2m－1）×2＝1＋4m－2＝15，解得m＝4．
答案：A
2．（2021·西安调研）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（　　）
A．100 B．99
C．98 D．97
解析：设{an}的首项为a1，公差为d，则S9＝9a1＋36d＝9（a1＋4d）＝27，∴a1＋4d＝3．又∵a10＝a1＋9d＝8，∴a1＝－1，d＝1．∴a100＝a1＋99d＝98．
答案：C
3．（2019·高考全国卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5．
（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
解析：（1）设{an}的公差为d．
由S9＝－a5得a1＋4d＝0．
由a3＝4得a1＋2d＝4．
于是a1＝8，d＝－2．
因此{an}的通项公式为an＝10－2n．
（2）由（1）得a1＝－4d，故an＝（n－5）d，
Sn＝．
由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10．所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．

等差数列运算中方程思想的应用
（1）等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程（组）求解．
（2）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
题型二　等差数列的性质及应用　　
1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是（　　）
A．20　　　　　　　　　 B．22
C．24 D．－8
解析：因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，
所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24．
答案：C
2．在等差数列{an}中，a1＝－2 020，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 020的值等于（　　）
A．－2 020 B．－2 018
C．－2 019 D．－2 017
解析：由题意知，数列为等差数列，其公差为1，所以＝＋（2 020－1）×1＝－2 020＋2 019＝－1．
所以S2 020＝－2 020．
答案：A
3．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为（　　）
A．10 B．5
C．4 D．8
解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d．
由已知条件，得
解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5．
答案：B

应用等差数列的性质解题的两个注意点
（1）如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq（m，n，p，q∈N＋）．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am（或其他项）有关的条件；若求am项，可由am＝（am－n＋am＋n）转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．
（2）要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋（n－m）d，d＝，S2n－1＝（2n－1）an，Sn＝＝（n，m∈N＋）等．
题型三　等差数列的判断与证明　　
[例]　（2021·大连模拟）已知数列{an}的各项都是正数，n∈N＋．
（1）若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝b－b，n∈N＋，求证：数列{cn}是等差数列；
（2）若a＋a＋a＋…＋a＝S，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．
[解析]　（1）证明：由题意得b＝anan＋1，
则cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，
因此cn＋1－cn＝2d（an＋2－an＋1）＝2d2，∴{cn}是等差数列．
（2）当n＝1时，a＝a，∵a1＞0，∴a1＝1．
当n≥2时，a＋a＋a＋…＋a＝S，①
a＋a＋a＋…＋a＝S，②
①－②得，a＝S－S＝（Sn－Sn－1）（Sn＋Sn－1）．
∵an＞0，∴a＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③
∵a1＝1合适上式，∴当n≥2时，a＝2Sn－1－an－1，④
③－④得a－a＝2（Sn－Sn－1）－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，
∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n．

等差数列的判定与证明方法
（1）定义法：对于任意自然数n（n≥2），an－an－1（n≥2，n∈N＋）为同一常数⇔{an}是等差数列．
（2）等差中项法：2an－1＝an＋an－2（n≥3，n∈N＋）成立⇔{an}是等差数列．
（3）通项公式法：an＝pn＋q（p，q为常数）对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列．
（4）前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn（A，B是常数）对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列．
[对点训练]
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
（1）证明：an＋2－an＝λ；
（2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
解析：（1）证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1（an＋2－an）＝λan＋1，
由于an＋1≠0，
所以an＋2－an＝λ．
（2）由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，
可得a2＝λ－1．
由（1）知，a3＝λ＋1．
令2a2＝a1＋a3，
解得λ＝4．
故an＋2－an＝4，
由此可得{a2n－1}是首项为1，
公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3．
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1．
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，
因此存在λ＝4，
使得数列{an}为等差数列．
题型四　等差数列前n项和的最值　　
[例]　记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
[解析]　（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15．
由a1＝－7得d＝2．
∴{an}的通项公式为an＝a1＋（n－1）d＝2n－9．
（2）法一：由（1）得Sn＝·n＝n2－8n＝（n－4）2－16．∴当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16．
法二：由an＝2n－9，∴Sn最小⇔
即≤n≤．又n∈N＋，∴n＝4．
即S4最小，且S4＝－16．

求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
（1）函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm．
[对点训练]
设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0且＝，则当Sn取最大值时，n的值为（　　）
A．9　　　　　　　 B．10
C．11 D．12
解析：由＝，得S11＝S9，即a10＋a11＝0，根据首项a1＞0可推知这个数列递减，从而a10＞0，a11＜0，故n＝10时，Sn最大．
答案：B
　等差数列应用中的核心素养
（一）数学建模——等差数列中的数学文化问题
[例1]　（2020·高考全国卷Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（　　）

A．3 699块　　　　　　　 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
[解析]　设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且（S3n－S2n）－（S2n－Sn）＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402（块）．
[答案]　C

等差数列的数学文化题求解关键是阅读文化信息后建立等差数列的模型，再利用等差数列相关的知识进行求解．
[对点训练]
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（　　）
A．钱　　　　　　　 B．钱
C．钱 D．钱
解析：依题意，设甲所得为a1，公差为d，则a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝，即2a1＋d＝3a1＋9d＝，解得a1＝，所以甲所得为钱．
答案：B
（二）数学抽象——等差数列新定义问题
[例2]　（2021·太原期末测试）对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优值”，已知数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则Sn最小值为（　　）
A．－70 B．－72
C．－64 D．－68
[解析]　∵数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，∴Hn＝＝2n＋1，∴a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1，∴2n－1an＝n·2n＋1－（n－1）·2n（n≥2），∴an＝4n－2（n－1）＝2n＋2（n≥2），又a1＝4，满足上式，∴an＝2n＋2（n∈N＋），∴an－20＝2n－18，由得8≤n≤9，∴Sn的最小值为S8＝S9＝－72．
[答案]　B

有关等差数列的新定义问题的求解要紧扣定义信息转化为等差数列相关问题求解．
[对点训练]
已知定义：在数列{an}中，若a－a＝p（n≥2，n∈N＋，p为常数），则称{an}为等方差数列．下列命题不正确的是（　　）
A．若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列
B．{（－1）n}是等方差数列
C．若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N＋，k为常数）不可能还是等方差数列
D．若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
解析：若{an}是等方差数列，则a－a＝p，故{a}是等差数列，故A正确；当an＝（－1）n时，a－a＝（－1）2n－（－1）2（n－1）＝0，故B正确；若{an}是等方差数列，则由A知{a}是等差数列，从而{a}（k∈N＋，k为常数）是等差数列，设其公差为d，则有a－a＝d．由定义知{akn}是等方差数列，故C不正确；若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则a－a＝p，an－an－1＝d，所以a－a＝（an－an－1）（an＋an－1）＝d（an＋an－1）＝p．若d≠0，则an＋an－1＝．又an－an－1＝d，解得an＝，{an}为常数列；若d＝0，该数列也为常数列，故D正确．
答案：C