专题5.2 等差数列及其前n项和-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.理解等差数列的概念．
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
【命题趋势】
1. 利用公式求等差数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明数列是等差数列．
2．利用等差数列性质求等差数列指定项(或其项数)、公差；利用等差数列的单调性求前n项和的最值
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算、逻辑推理的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝eq \f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中项．
在一个等差数列中，从第2项起，每一项有穷等差数列的末项除外都是它的前一项与后一项的等差中项.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(na1＋an,2).
3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．
(2)数列{an}是等差数列，且公差不为0⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
【素养清单•常用结论】
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(6)若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2).
(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1).
(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
(9)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值Sm.
【真题体验】
1.【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2.【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________．
3.【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为___________．
4.【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是___________．
5.【2018年高考全国II卷理数】记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【考法拓展•题型解码】
考法一 等差数列基本量的求解
归纳总结:解决等差数列基本量计算问题的思路
(1)在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可．
(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，在这两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．
【例1】 (1)在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则a5＝( )
A．11 B．10
C．7 D．3
(2)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( )
A. eq \f(17,2) B eq \f(19,2)
C．10 D．12
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝__________.
考法二 等差数列的性质及应用
归纳总结:等差数列的常用性质和结论
(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.一般地，am＋an≠am＋n，等号左右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.
(2)在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．
【例2】 (1)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则S8＝( )
A．72 B．88
C．92 D．98
(2)(2019·西安模拟)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若eq \f(an,bn) ＝eq \f(2n,3n＋1)，则eq \f(S21,T21)＝__________.
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝__________.
考法三 等差数列的判定与证明
解题技巧:判定数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．
(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
【例3】 若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝eq \f(1,2).
(1)求证：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
考法四 等差数列前n项和的最值问题
解题技巧：求等差数列前n项和的最值的方法
(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．
(2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可．一般地，等差数列{an}中，若a1＞0，且Sp＝Sq(p≠q)，则：
①若p＋q为偶数，则当n＝eq \f(p＋q,2)时，Sn最大；
②若p＋q为奇数，则当n＝eq \f(p＋q－1,2)或n＝eq \f(p＋q＋1,2)时，Sn最大．
(3)邻项变号法：①a1>0，d<0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
【例4】 等差数列{an}中，a1＞0，S5＝S12，则当Sn有最大值时，n的值为__________．
【例5】 (2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
【易错警示】
易错点 混淆了等差数列中的必要条件和充要条件
【典例】 已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n∈N*，n≥2)，a3＝25，是否存在实数t使得bn＝eq \f(an＋t,2n)(n∈N*)，且{bn}为等差数列？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
【错解】：由已知得a1＝3，a2＝9，所以b1＝eq \f(3＋t,2)，b2＝eq \f(9＋t,4)，b3＝eq \f(25＋t,8).若{bn}为等差数列，则有2×eq \f(9＋t,4)＝eq \f(3＋t,2)＋eq \f(25＋t,8)，解得t＝－1.
【错因分析】：2b2＝b1＋b3是数列{bn}成等差数列的必要条件，必须进行检验，答案尽管是对的，但解答出现了逻辑上的错误．
【正解】：由已知得a1＝3，a2＝9，所以b1＝eq \f(3＋t,2)，b2＝eq \f(9＋t,4)，b3＝eq \f(25＋t,8).若{bn}为等差数列，则有2×eq \f(9＋t,4)＝eq \f(3＋t,2)＋eq \f(25＋t,8)，解得t＝－1.
当t＝－1时，bn＋1－bn＝eq \f(an＋1－1,2n＋1)－eq \f(an－1,2n)＝eq \f(an＋1－2an＋1,2n＋1)＝eq \f(2n＋1－1＋1,2n＋1)＝1，是与n无关的常数．因此，存在t＝－1使{bn}为等差数列．
【误区防范】：证明或判断等差数列时应注意的两点
(1)用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列．
(2)利用2an＝an＋1＋an－1证明{an}是等差数列，一定是要求n为大于等于2的任何正整数，不能用中间的几项来代替，如用2a2＝a1＋a3来代替，而2a2＝a1＋a3只是{an}为等差数列的必要不充分条件，因此不能用来直接判断{an}是否为等差数列．
【跟踪训练】 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)求证：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
【递进题组】
1．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( )
A．37 B．36
C．20 D．19
2．等差数列{an}为递增数列，若aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,10)＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差d等于( )
A．1 B．2
C．9 D．10
3．若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为__________．
4．等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，a5＝3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n＝__________.
5．已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)·(an＋n)(n∈N*)．
(1)求证数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是等差数列，并求其通项公式；
(2)设bn＝eq \r(2an)－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.
【考卷送检】
一、选择题
1．(2019·湘潭三模)《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( )
A.eq \f(4,7)尺 B.eq \f(16,29)尺
C.eq \f(8,15)尺 D.eq \f(16,31)尺
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则a9＝( )
A．8 B．12
C．16 D．24
3．(2019·东北三省联考)现给出以下几个数列：①2,4,6，8，…，2(n－1)，2n；②1,1,2,3，…，n；③常数列a，a，a，…，a；④在数列{an}中，已知a2－a1＝2，a3－a2＝2.其中一定是等差数列的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(3n－2,2n＋1)，则eq \f(a7,b7)＝( )
A.eq \f(37,27) B.eq \f(38,28)
C.eq \f(39,29) D.eq \f(40,30)
5．设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1>0，若S5＝S9，则当Sn最大时，n＝( )
A．6 B．7
C．10 D．9
6．(2019·北京海淀区期末)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
二、填空题
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝eq \f(3,2)，Sk＝－12，则正整数k＝________.
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－19．(2019·西安一中月考)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n－3,4n－3)，则eq \f(a9,b5＋b7)＋eq \f(a3,b8＋b4)的值为________．
三、解答题
10．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
11．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项bn＝eq \f(Sn,n)，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
12．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a6＝1，S13＝39.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在n(n∈N*)，使得Sn＜an，若存在，求满足条件的eq \f(Sn,an)的最大值；若不存在，请说明理由．
13．(2019·银川一中月考)在等差数列{an}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，有以下命题：
①若S3＝S11，则必有S14＝0；②若S3＝S11，则必有S7是Sn中的最大项；③若S7＞S8，则必有S8＞S9；④若S7＞S8，则必有S6＞S9.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D． 4