高中数学苏教版 (2019)必修 第一册2.2 充分条件、必要条件、冲要条件教学设计

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教材在通过数学命题的学习，引出了数学意义上的逻辑问题，在此基础上，要理解充分条件、必要条件和充要条件的意义，并通过“若p则q”形式命题的真假，形式化地判断语句“p”与语句“q”之间的条件关系，学会合理、准确地表述问题．
1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.
2.教学难点：会求(判定)某些简单命题的条件关系．
1．下列语句中是命题的为( )
①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④对任意x∈R,5x－3>6.
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
答案 D
解析 ①无法判断真假，②没有涉及命题的真假，都不是命题；③④为命题．
2．判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p，则q”的形式．
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
(2)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；
(3)当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；
(4)1＋2＋3＋…＋2 014；
(5)这盆花长得太好了！
解 (1)(4)(5)未涉及真假，都不是命题．
(2)是真命题．此命题可写成“在三角形中，若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边．”
(3)是假命题．此命题可写成“若x＋y是有理数，则x，y都是有理数”．
阅读课本P29~30页，完成下列表格。
知识点一 充分条件与必要条件
知识点二 充要条件的概念
(1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
典型例题
类型一 充分条件与必要条件的概念
例1 判断下列说法中，p是q的充分条件的是____________________________________．
①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；
②设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”．
答案 ①
解析 对①，p⇒q；②p⇏ q，故填①.
引申探究
例1中p是q的必要条件的是________．
答案 ①
解析 ①x2－2x＋1＝0⇒x＝1，即q⇒p；
②q⇏p．故填①.
反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
变式：a>b的一个充分不必要条件是( )
A．a2>b2 B．|a|>|b|
C.eq \f(1,a)1
答案 D
解析 a－b>1⇒a－b>0而a－b>0⇏a－b>1，故选D.
跟踪训练 设计如图所示的三个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是________．
答案 (1)
类型二 充要条件的判断
例2 (1)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 分别判断x>y⇒x>|y|与x>|y|⇒x>y是否成立，从而得到答案．
当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>|y|不成立；
若x>|y|，因为|y|≥y，所以x>y.
所以x>y是x>|y|的必要不充分条件．
(2)下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为________．(填序号)
①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
②p：|x|>3，q：x2>9.
答案 ①②
解析①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，
所以p是q的充要条件．
②由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件．
反思与感悟 判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
跟踪训练（1） a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A．ab＝0 B．ab>0
C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0
答案 D
解析 a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
（2）设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
【答案】 A
【解析】 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
所以丙⇒乙，但乙D⇏丙，如图．
综上，有丙⇒甲，但甲D⇏丙，
既丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
类型三 由条件关系求参数取值范围
例3 已知p：x<－2，q：x解 因为p是q的必要条件。
所以q⇒p；从而x<－2表示的范围更大。
即A＝{x| x<－2}，B＝{x| x故实数a的取值范围是(－∞，－2].
引申探究
例3中若p是q的必要不充分条件，实数a的取值范围是什么？
答案：实数a的取值范围是(－∞，－2).
反思与感悟 (1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则AB.
(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．
变式 若“x2>1”是“x答案 －1
解析 因为x2>1，
所以x<－1或x>1.
又因为“x2>1”是“x所以x1但x2>1⇏x如图所示：
所以a≤－1，所以a的最大值为－1.
类型四 充要条件的探求与证明
例4 (1)“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________．
答案 a<－1
解析 因为方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．
故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是a<－1.
(2)求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明 充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两个不等实根，
设两实根为x1，x2，则x1x2＝eq \f(c,a)<0，
∴方程的两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝eq \f(c,a)<0，且Δ＝b2－4ac>0，
即ac<0.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
反思与感悟 (1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时，则是以p为“已知条件”，q是要证明的“结论”，即p⇒q.
(2)求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合．这就要求我们转化的时候思维要缜密．
跟踪训练 已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq \f(1,x)0.
证明 (1)必要性：由eq \f(1,x)得eq \f(1,x)－eq \f(1,y)<0，即eq \f(y－x,xy)<0，
又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.
(2)充分性：由xy>0及x>y，
得eq \f(x,xy)>eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)综上所述，eq \f(1,x)0.
学生学习时，对命题“若p则q”为真命题时，p是q的充分条件比较容易理解，但是，对同时称q是p的必要条件就不怎么理解了．不理解的原因主要是在命题“若p则q”中，q明明是“结论”，怎么成了“条件”了呢？事实上，p和q是两个语句，通过“若p则q”的形式将它们联结起来形成一个命题，通过命题的真假来判定这两个语句相互之间的关系．就“若p则q”为真命题时，p是q的充分条件而言，不能误认为p是这个命题的充分条件，同样q也不是这个命题的必要条件．命题“若p，则q”中，p是条件，q是结论，这是没有错的．充要条件也称为等价条件．p是q的充要条件是指p对于q而言，充分性和必要性同时成立，不能将这种充分性和必要性混同于“p是q的充分条件，q是p的必要条件”．课程目标
学科素养
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.
2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.
3.会判断、证明充要条件.
3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为．
a数学抽象: 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义
b逻辑推理: 对命题真假的判断
c数学运算: 通过命题之间的逻辑关系求参数的范围。
命题真假
若“p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p⇒q
p⇏q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件