2020-2021学年江西省上饶市高一（下）期末考试数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省上饶市高一（下）期末考试数学（文）试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. −365∘是第几象限角( )
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2. 在数列{an}中，a1=1，an+1−an=2，则a100的值为( )
A.99B.100C.199D.200

3. 若角α的终边经过点P−5,12，则sinα+tanα等于( )
A.713B.−9665C.−18165D.6065

4. 圆x2+y2−2x=0与圆x−12+y+22=9的位置关系为（ ）
A.内切B.相交C.外切D.相离

5. 如图，在△ABC中，点D是边BC的中点， AG→=2GD→，则用向量AB→，AC→表示BG→为( )

A.BG→=−23AB→+13AC→B.BG→=−13AB→+23AC→
C.BG→=23AB→−13AC→D.BG→=23AB→+13AC→

6. △ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A=30∘，a=3，若这个三角形有两解，则b的范围是( )
A.3
7. 在△ABC中，ab−c=sinC+sinBsinA，则△ABC是( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

8. 已知sin2α=13，α∈0,π4，则csα−sinα=( )
A.23B.−23C.63D.−63

9. 已知a=sin1，b=lg3sin1，c=3sin1，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

10. 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π2,π上为减函数的是( )
A.y=sin2xB.y=tan−xC.y=csx2D.y=2|csx|

11. 数列{an}的前n项和为Sn，若点n,Sn在函数fx=x2+2x的图象上，则a2021=( )
A.2021B.4041C.4042D.4043

12. 已知函数fx=sinωx2csωx2−sinωx2+1ω>0在π6,2π3上单调递减，则ω的取值范围为( )
A.0<ω≤2B.32<ω≤2C.32≤ω≤158D.158<ω≤2
二、填空题

已知扇形的圆心角为30∘，半径为6，则扇形的弧长为________．

2cs240∘−2cs250∘sin55∘cs65∘−cs55∘sin65∘= ________.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=3，a=2c，B=π3，则△ABC的面积为________.

如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有nn>1,n∈N∗个点，相应的图案中总的点数记为an，则9a2a3+9a3a4+9a4a5+…+9a2021a2022=________.

三、解答题

已知sinα=−255，且tanα<0．
(1)求tanα的值；

(2)求3sin(α−π)+cs(2π+α)cs(α+π2)+sin(3π2−α)的值．

已知a→，b→，c→在同一平面内，且a→=(1,2)．
(1)若|c→|=35，且a→//c→，求c→；

(2)若|b→|=2，且(a→+2b→)⊥(a→−b→)，求a→与b→的夹角的余弦值．

已知函数fx=Asin2ωx+φ(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．

(1)求fx的解析式；

(2)将函数y=fx的图象向右平移5π12个单位长度后，得到函数y=gx的图象，求gx在0,π上的单调递增区间．

数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=2，点P(bn, bn+1)直线y=x+2上.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设cn=an⋅bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

在平面四边形ABCD中，∠ABC=π3，∠ADC=π2，BC=2．

(1)若△ABC的面积为332，求AC；

(2)若AD=233，∠ACB=∠ACD+π3，求tan∠ACD．

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A0,2，O0,0，Dt,0t>0三点，M是直线AD上的动点．
(1)若t=23，求圆C的方程；

(2)若点B1,0，t是使2|AM|≤3|BM|恒成立的最小正整数，求t的值（已知：5≈2.236）
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高一（下）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
象限角、轴线角
终边相同的角
【解析】
先找出与−365∘终边相同的角，进而得到−365∘是第四象限角.
【解答】
解：−365∘=−720∘+355∘，
355∘是第四象限角，
∴ −365∘是第四象限角.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
由an+1−an=2可知数列为等差数列，根据通项求a100即可．
【解答】
解：∵ an+1−an=2，
∴ an是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴ a100=a1+100−1d=1+99×2=199.
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
化简所求表达式，由三角函数的定义可求得sinα，tanα的值，即可得到结果.
【解答】
解：因为角α的终边经过点P(−5,12)，
所以sinα=12(−5)2+122=1213，
tanα=12−5=−125，
所以sinα+tanα=1213+(−125)=−9665.
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：圆C1:x2+y2−2x=0，即x−12+y2=1，
表示以C11,0为圆心，半径等于1的圆．
圆C2:x−12+y+22=9，
表示以C21,−2为圆心，半径等于3的圆．
∴ 两圆的圆心距d=|−2−0|=2，
∵ 2=3−1，
∴ 两个圆内切．
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
由已知结的合向量加法的三角形法则及向量共线定理即可求解．
【解答】
解：由题意可得，BG→=BA→+AG→=BA→+23AD→
=BA→+23×12(AB→+AC→)
=BA→+13AB→+13AC→
=−23AB→+13AC→.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
根据bsinA【解答】
解：由题意，△ABC有两解时需bsinA则bsin30∘<3解得3故选B．
7.
【答案】
C
【考点】
正弦定理的应用
三角形的形状判断
【解析】
直接利用正弦定理和勾股定理的逆定理的应用求出结果．
【解答】
解：在△ABC中， ab−c=sinC+sinBsinA，
利用正弦定理： ab−c=c+ba，
故a2=b2−c2，
即a2+c2=b2，
故△ABC为直角三角形．
故选C．
8.
【答案】
C
【考点】
二倍角的正弦公式
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：已知sin2α=13，
所以1−sin2α=1−2sinαcsα=23，
可得sin2α−2sinαcsα+cs2α=23，
即(csα−sinα)2=23，
因为α∈(0,π4)，
所以csα−sinα>0，
解得csα−sinα=63.
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
可看出01，从而可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：∵ 0<1<π2，
∴ 0lg3sin13sin1>30=1，
∴ c>a>b.
故选D．
10.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的单调性
余弦函数的单调性
正切函数的单调性
三角函数的周期性及其求法
【解析】
分析每个选项中函数的周期性和单调性，利用排除法解题．
【解答】
解：A，函数y=sin2x在π2,3π4上单调递减，在3π4,π上单调递增，故排除；
B，y=tan(−x)=−tanx，周期为π，在π2,π内是减函数，符合题意；
C，函数y=csx2的周期是T=2π12=4π，故排除；
D，函数y=2|csx|在π2,π上单调递增，故排除．
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
数列与函数的综合
数列递推式
【解析】
由题可得，Sn=n2+2n,n∈N+，利用这个关系式，可分类讨论n=1和n≥2时，an=a1,n=1Sn−Sn−1,n≥2，进而求出数列的通项公式，即可得解.
【解答】
解：∵ 点n,Sn在函数fx=x2+2x的图象上，
∴ Sn=n2+2n,n∈N+，
∴ 当n=1时，a1=S1=3，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n+1，
当n=1时，适合上式，
∴ an=2n+1，
当n=2021时，a2021=2×2021+1=4043.
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的单调性
【解析】
先结合二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求．
【解答】
解：fx=sinωx2csωx2−sinωx2+1
=sinωx2csωx2−sin2ωx2+1
=12sinωx+12csωx+12
=22sinωx+π4+12，
由题意得，wπ6+π4≥2kπ+π2,2ωπ3+π4≤2kπ+3π2,
故12k+32≤ω≤3k+158，k=0，1，2，3，⋯，
当k=0时，32≤ω≤158，
因为2πω×12≥2π3−π6，
所以0<ω≤2，
综上32≤ω≤158．
故选C．
二、填空题
【答案】
π
【考点】
弧长公式
【解析】
根据弧长的公式l=nπr180，代入直接求解即可．
【解答】
解：根据弧长的公式l=nπr180，得l=π．
故答案为：π．
【答案】
−2
【考点】
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
诱导公式
【解析】
由诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．
【解答】
解：2cs240∘−2cs250∘sin55∘cs65∘−cs55∘sin65∘
=2cs240∘−sin240∘sin55∘−65∘
=2cs80∘sin−10∘
=−2．
故答案为：−2．
【答案】
32
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
由余弦定理可求a，c，然后结合三角形面积公式可求．
【解答】
解：因为b=3，a=2c，B=π3，
由余弦定理得
csB=12=a2+c2−b22ac
=4c2+c2−32⋅2c⋅c，
解得c=1，a=2，
则△ABC的面积
S=12acsinB=12×1×2×32=32．
故答案为：32．
【答案】
20202021
【考点】
数列的求和
归纳推理
【解析】
根据题意，可得 数列an是首项为3，公差为3的等差数列，通项为an=3n−1n≥2 ，所以1anan+1=13n−1⋅3n=191n−1−1n ，据此解答即可．
【解答】
解：根据分析，可得a2=3=3×2−1，
a3=6=3×3−1，
a4=9=3×4−1，
a5=12=3×5−1 ，
…
an=3n−1，
∴ 数列an是首项为3，公差为3的等差数列，
通项为an=3n−1n≥2，
∴ 1anan+1=13n−1⋅3n=191n−1−1n，
则9a2a3+9a3a4+9a4a5+⋯+9a2021a2022
=1−12+12−13+⋯+12020−12021
=20202021.
故答案为：20202021.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ sinα=−255<0，tanα<0，
∴ α在第四象限，
∴ csα=1−sin2α=55，
∴ tanα=sinαcsα=−2.
(2)3sin(α−π)+cs(2π+α)cs(α+π2)+sin(3π2−α)
=−3sinα+csα−sinα−csα
=7．
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由已知可求α在第四象限，利用同角三角函数基本关系式即可求解．
（2）由（1）利用诱导公式即可计算得解．

【解答】
解：(1)∵ sinα=−255<0，tanα<0，
∴ α在第四象限，
∴ csα=1−sin2α=55，
∴ tanα=sinαcsα=−2.
(2)3sin(α−π)+cs(2π+α)cs(α+π2)+sin(3π2−α)
=−3sinα+csα−sinα−csα
=7．
【答案】
解：(1)根据题意，设c→=(x,y)
则a→//c→，a→=(1,2)，
则有2x−y=0，即y=2x，①
又由|c→|=35，
则有x2+y2=45，②
解得：x=3,y=6或x=−3,y=−6,
∴ c→=(3,6)或c→=(−3,−6).
(2)又由(a→+2b→)⊥(a→−b→)，
则有(a→+2b→)⋅(a→−b→)=0，
变形可得a→2+a→⋅b→−2b→2
=|a→|2+a→⋅b→−2|b→|2=0，
又|a→|2=5，|b→|2=2，
则有a→⋅b→=−1，
则有csθ=a→⋅b→| a→|⋅|b→|=−15⋅2=−1010，
故a→与b→的夹角的余弦值为−1010．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
向量的模
数量积判断两个平面向量的垂直关系
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
（1）根据题意，设c→=(x,y)，由向量平行的坐标表示可得2x−y＝0，即y＝2x，由向量模的公式可得x2+y2＝45，解可得x、y的值，即可得答案；
（2）根据题意，由向量垂直的判断方法可得(a→+2b→)⋅(a→−b→)=0，变形可得a→2+a→⋅b→−2b→2=0|a→|2+a→⋅b→−2|b→|2=0，又由数量积计算公式，变形分析即可得答案．
【解答】
解：(1)根据题意，设c→=(x,y)
则a→//c→，a→=(1,2)，
则有2x−y=0，即y=2x，①
又由|c→|=35，
则有x2+y2=45，②
解得：x=3,y=6或x=−3,y=−6,
∴ c→=(3,6)或c→=(−3,−6).
(2)又由(a→+2b→)⊥(a→−b→)，
则有(a→+2b→)⋅(a→−b→)=0，
变形可得a→2+a→⋅b→−2b→2
=|a→|2+a→⋅b→−2|b→|2=0，
又|a→|2=5，|b→|2=2，
则有a→⋅b→=−1，
则有csθ=a→⋅b→| a→|⋅|b→|=−15⋅2=−1010，
故a→与b→的夹角的余弦值为−1010．
【答案】
解：(1)由图可得函数fx的最小正周期为T=2×11π12−5π12=π，
∴ 2ω=2πT=2，即ω=1．
∵ f5π12=Asin5π6+φ=0，
则sinφ+5π6=0，
∵ −π2<φ<π2，
则π3<φ+5π6≤4π3，
∴ φ+5π6=π，
则φ=π6，
∴ fx=Asin2x+π6．
∵ f0=Asinπ6=12A=1，
∴ A=2，
∴ fx=2sin2x+π6．
(2)由题意可得gx=2sin2x−5π12+π6=2sin2x−2π3，
令−π2+2kπ≤2x−2π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z．
记Ω=π12+kπ,7π12+kπk∈Z，
则Ω∩[0,π]=π12,7π12．
因此，函数gx在0,π上的增区间是π12,7π12．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
【解析】


【解答】
解：(1)由图可得函数fx的最小正周期为T=2×11π12−5π12=π，
∴ 2ω=2πT=2，即ω=1．
∵ f5π12=Asin5π6+φ=0，
则sinφ+5π6=0，
∵ −π2<φ<π2，
则π3<φ+5π6≤4π3，
∴ φ+5π6=π，
则φ=π6，
∴ fx=Asin2x+π6．
∵ f0=Asinπ6=12A=1，
∴ A=2，
∴ fx=2sin2x+π6．
(2)由题意可得gx=2sin2x−5π12+π6=2sin2x−2π3，
令−π2+2kπ≤2x−2π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z．
记Ω=π12+kπ,7π12+kπk∈Z，
则Ω∩[0,π]=π12,7π12．
因此，函数gx在0,π上的增区间是π12,7π12．
【答案】
解：(1)an是Sn与2的等差中项，
∴ 2an=Sn+2，2an−1=Sn−1+2，
∴ an=2an−1n≥2，
即{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列，
又2a1=a1+2，解得a1=2
∴ an=a1qn−1=2n；
∵ 点Pbn,bn+1在直线y=x+2上
∴ bn+1=bn+2，
∴ bn+1−bn=2，
即{bn}是以b1为首项，2为公差的等差数列，
∴ bn=b1+n−1d=2n.
(2)cn=anbn=2n⋅2n=n⋅2n+1，
∴ Tn=1⋅22+2⋅23+...+n⋅2n+1，
2Tn=1⋅23+2⋅24+...+(n−1)⋅2n+1+n⋅2n+2，
两式相减得−Tn=22+23+...+2n+1−n⋅2n+2
=4(2n−1)2−1−n⋅2n+2
=2n+2−4−n⋅2n+2=(1−n)⋅2n+2−4.
∴ Tn=(n−1)⋅2n+2+4．
【考点】
等差数列的通项公式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
（2）设等比数列{an}的公比为q，则q=a2a1=42=2，利用通项公式an=a1qn−1即可得出；由于点P(bn, bn+1)在直线y=x+2上，可得bn+1=bn+2，即bn+1−bn=2，利用等差数列的通项公式就看得出．
（3）cn=anbn=2n⋅2n=n⋅2n+1，利用“错位相减法”即可得出．
【解答】
解：(1)an是Sn与2的等差中项，
∴ 2an=Sn+2，2an−1=Sn−1+2，
∴ an=2an−1n≥2，
即{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列，
又2a1=a1+2，解得a1=2
∴ an=a1qn−1=2n；
∵ 点Pbn,bn+1在直线y=x+2上
∴ bn+1=bn+2，
∴ bn+1−bn=2，
即{bn}是以b1为首项，2为公差的等差数列，
∴ bn=b1+n−1d=2n.
(2)cn=anbn=2n⋅2n=n⋅2n+1，
∴ Tn=1⋅22+2⋅23+...+n⋅2n+1，
2Tn=1⋅23+2⋅24+...+(n−1)⋅2n+1+n⋅2n+2，
两式相减得−Tn=22+23+...+2n+1−n⋅2n+2
=4(2n−1)2−1−n⋅2n+2
=2n+2−4−n⋅2n+2=(1−n)⋅2n+2−4.
∴ Tn=(n−1)⋅2n+2+4．
【答案】
解：(1)△ABC中，∠ABC=π3，BC=2，
∴ S△ABC=12AB⋅BCsin∠ABC=332，
∴ 32AB=332，
解得AB=3.
在△ABC中，由余弦定理可得，
AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABC
=9+4−2×3×2×12=7，
∴ AC=7.
(2)设∠ACD=α，则∠ACB=∠ACD+13π=α+13π.
在Rt△ACD中，AD=233，
∴ AC=ADsinα=233sinα.
在△ABC中，∠BAC=π−∠ACB−∠ABC=13π−α.
由正弦定理可得，BCsin∠BAC=ACsin∠ABC
∴ 2sin(13π−α)=23332sinα
∴ 3sinα=233sin(13π−α)=csα−33sinα，
化简可得，4sinα=3csα，
∴ tanα=34，
∴ tan∠ACD=34．
【考点】
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正弦公式
【解析】
（1）由已知结合三角形的面积公式S△ABC=12AB⋅BCsin∠ABC可求AB，在△ABC中，再由余弦定理，AC2＝AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABC可求AC；
（2）设∠ACD＝α，则可表示∠ACB，△ABC中，由正弦定理可得，BCsin∠BAC=ACsin∠ABC可求tanα，即可求解．
【解答】
解：(1)△ABC中，∠ABC=π3，BC=2，
∴ S△ABC=12AB⋅BCsin∠ABC=332，
∴ 32AB=332，
解得AB=3.
在△ABC中，由余弦定理可得，
AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABC
=9+4−2×3×2×12=7，
∴ AC=7.
(2)设∠ACD=α，则∠ACB=∠ACD+13π=α+13π.
在Rt△ACD中，AD=233，
∴ AC=ADsinα=233sinα.
在△ABC中，∠BAC=π−∠ACB−∠ABC=13π−α.
由正弦定理可得，BCsin∠BAC=ACsin∠ABC
∴ 2sin(13π−α)=23332sinα
∴ 3sinα=233sin(13π−α)=csα−33sinα，
化简可得，4sinα=3csα，
∴ tanα=34，
∴ tan∠ACD=34．
【答案】
解(1)由题意可知，圆C的直径为AD，
则AD的中点就是圆C的圆心，
所以圆C方程为x−32+y−12=4．
(2)设Mx,y，由点M在直线AD上，得xt+y2=1，即2x+y−2t=0．
由2AM≤3BM，得x−952+y+852≥365，
依题意知，直线AD与圆x−952+y+852=365至多有一个公共点．
故|185−185t|4+t2≥655，
解得t>9+554或t≤9−554．
因为t是使2AM≤3BM恒成立最小正整数，
所以t=6 ．
【考点】
两点间的距离公式
直线与圆的位置关系
【解析】


【解答】
解(1)由题意可知，圆C的直径为AD，
则AD的中点就是圆C的圆心，
所以圆C方程为x−32+y−12=4．
(2)设Mx,y，由点M在直线AD上，得xt+y2=1，即2x+y−2t=0．
由2AM≤3BM，得x−952+y+852≥365，
依题意知，直线AD与圆x−952+y+852=365至多有一个公共点．
故|185−185t|4+t2≥655，
解得t>9+554或t≤9−554．
因为t是使2AM≤3BM恒成立最小正整数，
所以t=6 ．