2020-2021学年江西省上饶市高二（下）期末考试数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省上饶市高二（下）期末考试数学（文）试卷北师大版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列语句不是命题的是（ ）
A.3是15的约数B.0是自然数
C.4不小于2D.5能被15整除吗？

2. 已知函数f(x)=−asinx，且limΔx→0f(π+Δx)−f(π)Δx=2，则实数a的值为( )
A.2πB.−2πC.2D.−2

3. 动点P到两定点F1(−4, 0)，F2(4, 0)的距离和是10，则动点P的轨迹为（ ）
A.椭圆B.双曲线C.线段F1F2D.不能确定

4. 极坐标方程ρ=−4csθ化为直角坐标方程是（ ）
A.x−4=0B.x+4=0C.(x+2)2+y2=4D.x2+(y+2)2=4

5. 设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6. 当x>0时，f(x)=x+4x的单调减区间是（ ）
A.(2, +∞)B.(0, 2)C.(2，+∞)D.(0,2)

7. 若函数f(x)=aex−sinx在x=0处有极值，则a的值为( )
A.−1B.0C.1D.e

8. 椭圆x2+y24=1的离心率为( )
A.52B.32C.5D.3

9. 准线方程为y=2的抛物线的标准方程是（ ）
A.x2=16yB.x2=8yC.x2=−16yD.x2=−8y

10. 若f(x)=3x2−x+1，g(x)=2x2+x−1，则f(x)与g(x)的大小关系是（ ）
A.f(x)=g(x)B.f(x)>g(x)
C.f(x)
11. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直，焦距为62，则该双曲线的实轴长为（ ）
A.3B.6C.9D.12

12. 在极坐标系中，点A(2, π6)与点B(2, −π6)之间的距离为( )
A.4B.3C.2D.1
二、填空题

若方程x2k−5+y210−k=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
三、解答题

已知P=x|x2−8x−20≤0，非空集合S=x|1−m≤x≤1+m，若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

已知12(1)求a−b的取值范围；

(2)求ab的取值范围．

已知函数fx=x3−x2−x+1．
(1)求fx在点0,f0处的切线；

(2)求fx在区间0,2上的最大值和最小值．

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为3，点3,0是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；

(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30∘的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|．

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+csα，y=2+sinα （α为参数），直线C2的方程为y=3x，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求1|OA|+1|OB|．

解下列不等式：
(1)|2x−3|≤5；

(2)2|x+1|+|x|<4．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高二（下）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
四种命题的定义
【解析】
根据题意利用命题的定义逐项进行判断即可得到结果.
【解答】
解：A，3是15的约数，能判断真假，是命题；
B，0是自然数，能判断真假，是命题；
C，4不小于2，能判断真假，是命题；
D，5能被15整除吗？不是陈述句，不是命题.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
极限及其运算
【解析】
直接利用极限的应用和函数的关系式的应用求出结果．
【解答】
解：函数f(x)＝−asinx，且limΔx→0f(π+Δx)−f(π)Δx=2，
则limΔx→0f(π+Δx)−f(π)Δx=limΔx→0asinΔxΔx=2，
由于limΔx→0sinΔxΔx=1，
所以limΔx→0asinΔxΔx=a=2．
故选C.
3.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
【解析】
直接利用椭圆的定义得出结论．
【解答】
解：∵ 动点P到两定点F1(−4, 0)，F2(4, 0)的距离和是10，且10>|F1F2|，
根据椭圆的定义可得动点P的轨迹为以F1、F2 为焦点的椭圆，
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
【解析】
由极坐标方程ρ=−4csθ，化为ρ2=−4ρcsθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcsθ代入即可得出．
【解答】
解：由极坐标方程ρ=−4csθ，化为ρ2=−4ρcsθ，
可得直角坐标方程：x2+y2=−4x，配方为(x+2)2+y2=4．
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由不等式解得a的范围，根据充分条件和必要条件的定义，即可判断得出结论.
【解答】
解：由题意可知，不等式a2>a，
解得a>1或a<0，
则a>1是a2>a的充分不必要条件.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
由已知中函数的解析式，我们可以求出其导函数的解析式，根据导函数在函数的单调递减区间上函数值小于0，我们可以构造一个关于x的不等式，解不等式，即可求出满足条件的x的取值范围，得到答案．
【解答】
解：∵ 函数f(x)=x+4x，(x>0)，
∴ f′(x)=1−4x2，(x>0)，
令f′(x)<0，即1−4x2<0，
解得0故函数f(x)=x+4x单调减区间是(0, 2)．
故选B．
7.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
求出函数的导数，根据f′(0)=1，求出a的值，检验即可．
【解答】
解：f′(x)=aex−csx，
若函数f(x)=aex−sinx在x=0处有极值，
则f′(0)=a−1=0，解得a=1，
经检验a=1符合题意.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由椭圆的方程求出椭圆的长半轴长和半焦距，则椭圆的离心率可求．
【解答】
解：由椭圆x2+y24=1，可得a2=4，b2=1，
则c2=a2−b2=4−1=3，
∵ a>0，c>0，
∴ a=2,c=3，
则椭圆x2+y24=1的离心率为e=ca=32．
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
利用抛物线的简单性质求解抛物线方程即可．
【解答】
解：准线方程为y=2的抛物线的标准方程是：x2=−8y．
故选D．
10.
【答案】
B
【考点】
二次函数的性质
【解析】
比较大小一般利用作差的方法，进而得到f(x)−g(x)=x2−2x+2，然后再利用二次函数的性质解决问题即可．
【解答】
解：由题意可得：f(x)=3x2−x+1，g(x)=2x2+x−1，
所以f(x)−g(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1≥1，
所以f(x)>g(x)．
故选B．
11.
【答案】
B
【考点】
双曲线的定义
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
【解析】
设出双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据两条直线垂直，推断出其斜率之积为−1进而求得a和b的关系，再利用焦距为62，即可求出双曲线的实轴长．
【解答】
解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)则双曲线的渐近线方程为y=±bax
∵ 两条渐近线互相垂直，
∴ ba×(−ba)=−1，
∴ a2=b2，
∵ 焦距为62，∴ 2c=62，∴ c=32，
∴ a2=18−a2，∴ a2=9，∴ a=3，
∴ 双曲线的实轴长为6．
故选B．
12.
【答案】
C
【考点】
两点间的距离公式
【解析】
直接利用极坐标的关系，求解即可．
【解答】
解：在极坐标系中，已知两点A(2, π6)，B(2, −π6)，则|AB|=2×2sinπ6=2．
故选C．
二、填空题
【答案】
(5, 152)
【考点】
椭圆的定义
【解析】
根据椭圆的标准方程，求出k满足的条件即可．
【解答】
解：由于方程x2k−5+y210−k=1表示焦点在y轴上椭圆，
所以10−k>k−5>0，
即5所以实数k的取值范围是(5, 152).
故答案为：(5, 152).
三、解答题
【答案】
解：P=x|x2−8x−20≤0=x|−2≤x≤10，
非空集合S=x|1−m≤x≤1+m，
若x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P是非空集合，
所以 1−m≤1+m，1−m≥−2，1+m≤10，
解得0≤m≤3，
所以m的取值范围是0,3 .
【考点】
一元二次不等式的解法
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：P=x|x2−8x−20≤0=x|−2≤x≤10，
非空集合S=x|1−m≤x≤1+m，
若x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P是非空集合，
所以 1−m≤1+m，1−m≥−2，1+m≤10，
解得0≤m≤3，
所以m的取值范围是0,3 .
【答案】
解：(1)∵ 15∴ −36≤−b<−15．
又12∴ 12−36∴ −24即a−b的取值范围是−24,45．
(2)∵ 136<1b<115，，
∴ 1236∴ 13即ab的取值范围是13,4．
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ 15∴ −36≤−b<−15．
又12∴ 12−36∴ −24即a−b的取值范围是−24,45．
(2)∵ 136<1b<115，，
∴ 1236∴ 13即ab的取值范围是13,4．
【答案】
解：(1)f′x=3x2−2x−1，f′0=−1，
又f0=1，
所以切线方程为y−1=−1⋅x−0，
即x+y=1；
(2)由(1)知f′x>0⇒x>1或x<−13，
∴ fx在0,1上单调递减，在1.2上单调递增，
又f0=1，f1=0，f2=3，
∴ fx在[0,2]上的最大值为3，最小值为0．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)f′x=3x2−2x−1，f′0=−1，
又f0=1，
所以切线方程为y−1=−1⋅x−0，
即x+y=1；
(2)由(1)知f′x>0⇒x>1或x<−13，
∴ fx在0,1上单调递减，在1.2上单调递增，
又f0=1，f1=0，f2=3，
∴ fx在[0,2]上的最大值为3，最小值为0．
【答案】
解：(1) ∵ 双曲线C:x2a2−y2b2=1的离心率为3，
点(3, 0)是双曲线的一个顶点，
∴ ca=3,a=3,b2=c2−a2,
解得c=3，b=6，
∴ 双曲线的方程为x23−y26=1．
(2) 双曲线x23−y26=1的右焦点为F2(3, 0)，
∴ 经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30∘直线l的方程为y=33(x−3)，
联立x23−y26=1,y=33(x−3),得5x2+6x−27=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−65，x1x2=−275，
|AB|=1+13⋅(−65)2−4×(−275)=1635．
【考点】
双曲线的标准方程
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1) ∵ 双曲线C:x2a2−y2b2=1的离心率为3，
点(3, 0)是双曲线的一个顶点，
∴ ca=3,a=3,b2=c2−a2,
解得c=3，b=6，
∴ 双曲线的方程为x23−y26=1．
(2) 双曲线x23−y26=1的右焦点为F2(3, 0)，
∴ 经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30∘直线l的方程为y=33(x−3)，
联立x23−y26=1,y=33(x−3),得5x2+6x−27=0，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−65，x1x2=−275，
|AB|=1+13⋅(−65)2−4×(−275)=1635．
【答案】
解：(1)曲线C1的参数方程为：
x=2+csα,y=2+sinα （α为参数），
直角坐标方程为(x−2)2+(y−2)2=1，
即x2+y2−4x−4y+7=0，
极坐标方程为ρ2−4ρcsθ−4ρsinθ+7=0，
直线C2的方程为y=3x，
极坐标方程为tanθ=3.
(2)直线C2与曲线C1联立，
可得ρ2−(2+23)ρ+7=0，
设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，
则ρ1+ρ2=2+23，ρ1ρ2=7，
∴ 1|OA|+1|OB|=|ρ1+ρ2||ρ1ρ2|=2+237．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
直线与圆相交的性质
【解析】
（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；
（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求1|OA|+1|OB|．
【解答】
解：(1)曲线C1的参数方程为：
x=2+csα,y=2+sinα （α为参数），
直角坐标方程为(x−2)2+(y−2)2=1，
即x2+y2−4x−4y+7=0，
极坐标方程为ρ2−4ρcsθ−4ρsinθ+7=0，
直线C2的方程为y=3x，
极坐标方程为tanθ=3.
(2)直线C2与曲线C1联立，
可得ρ2−(2+23)ρ+7=0，
设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，
则ρ1+ρ2=2+23，ρ1ρ2=7，
∴ 1|OA|+1|OB|=|ρ1+ρ2||ρ1ρ2|=2+237．
【答案】
解：(1)因为|2x−3|≤5，
所以−5≤2x−3≤5，
所以−2≤2x≤8，
所以−1≤x≤4，
所以原不等式的解集为x|−1≤x≤4．
(2)当x>0时，原不等式可化为2x+2+x<4，
解得0当−1≤x≤0时，原不等式可化为2x+2−x<4，
解得−1≤x≤0；
当x<−1时，原不等式可化−2x−2−x<4，
解得−2综上，原不等式的解集为x|−2【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为|2x−3|≤5，
所以−5≤2x−3≤5，
所以−2≤2x≤8，
所以−1≤x≤4，
所以原不等式的解集为x|−1≤x≤4．
(2)当x>0时，原不等式可化为2x+2+x<4，
解得0当−1≤x≤0时，原不等式可化为2x+2−x<4，
解得−1≤x≤0；
当x<−1时，原不等式可化−2x−2−x<4，
解得−2综上，原不等式的解集为x|−2

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