2020-2021年江西省鄱阳县某校高一（下）5月月考数学试卷（理）北师大版

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这是一份2020-2021年江西省鄱阳县某校高一（下）5月月考数学试卷（理）北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若原点在圆 x−32+y+42=m 的外部，则实数m的取值范围是( )
A.m>25B.m>5C.0
2. 已知函数fx=sinωx−csωxω∈R的最小正周期为π，则实数ω=（）
A.2B.−2C.±2D.±1

3. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EC→=( )
A.14AB→−34AC→B.−14AB→+34AC→
C.34AB→+14AC→D.34AB→−14AC→

4. 已知|b→|=3，a→在b→方向上的投影为−32，则a→⋅b→的值为( )
A.92B.−92C.2D.−2

5. 已知圆(x−1)2+y2=4内一点P(2, 1)，则过P点最短弦所在的直线方程是( )
A.x−y−1=0B.x+y−3=0C.x+y+3=0D.x=2

6. 已知tanα=2，则sin2α−cs2α+12sin2α+cs2α等于( )
A.89B.119C.67D.47

7. 若α是第三象限角， tanπ3+α=−34，则csπ6−α=( )
A.35B.−35C.45D.−45

8. 已知函数fx=Asinωx+φ(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，将fx的图象向右平移π12个单位长度，得到函数gx的图象，则gx的解析式为( )

A.gx=sin2xB.gx=sin2x−π4
C.gx=sin2x+π6D.gx=sin2x−π6

9. 已知α，β∈0,π，且tanα−β=13，tanβ=17，则2α−β的值是( )
A.π4B.3π4C.5π4D.7π4

10. 若x+1−y2=0，则yx−2的取值范围为( )
A.−33,33B.−∞,−33∪33,+∞
C.−∞,−12∪12,+∞D.−12,12

11. 设函数fx=sinωx−π4ω>0的部分图象如图所示，且满足f2=0．则fx的最小正周期为( )

A.169B.16C.18D.98

12. 已知向量a→，b→，满足|a→+b→|=3，a→⋅b→=0，若c→=λa→+1−λb→且c→⋅a→=c→⋅b→，则|c→|的最大值为( )
A.3B.2C.12D.32
二、填空题

已知120∘的圆心角所对的弧长为4πm，则这个扇形的面积为________m2.
三、解答题

已知k∈R，向量a→=1,1+k，b→=k,2．
(1)若向量2a→−b→与b→平行，求k的值；

(2)若向量2a→−b→与b→的夹角为锐角，求k的取值范围．

fα=sin5π2+αcsαtanπ−αtanαcs−α．
(1)求fπ3的值．

(2)若α∈0,π2，且sinα−π6=13，求fα的值．

已知函数fx=2sin2ωx−π4ω>0的图象的对称中心到对称轴的最小距离为π4.
(1)求函数fx的解析式和单调递增区间；

(2)求函数fx在区间π8,3π4上的最小值和最大值．

已知0<β<π2<α<π，且csα−β2=1213, sinα2−β=−45 . 求：
(1)tanα−β2的值；

(2)csα+β2的值．

在三角形ABC中， AB=2，AC=1，∠ACD=π2，D是线段BC上一点，且BD→=12DC→，F为线段AB上一点．

(1)若AD→=xAB→+yAC→，求x−y的值；

(2)求CF→⋅FA→的取值范围；

已知圆O:x2+y2=1和点M(1,4)．
(1)过点M向圆O引切线，求切线的方程；

(2)求以点M为圆心，且被直线y=2x−8截得的弦长为8的圆M的方程；

(3)设P为(2)中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021年江西省鄱阳县某校高一（下）5月月考数学试卷（理）
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知，圆心坐标为(3,−4)，半径为m，
则圆心到原点的距离为32+(−4)2=5.
∵ 原点在圆的外部，
∴ 0即0故选C.
2.
【答案】
C
【考点】
三角函数的周期性及其求法
两角和与差的正弦公式
【解析】
先用辅助角公式化简，直接利用周期公式求ω．
【解答】
解：∵fx=sinωx−csωx=2sinωx−π4，
∴ fx的最小正周期T=2π|ω|=π，解得ω=±2.
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
由向量加减法运算法则、平面向量基本定理解决
【解答】
解：因为AD为BC边上的中线，
所以AD→=12AB→+AC→，
因为E为AD的中点，
所以AE→=12AD→，
所以EC→=AC→−AE→=AC→−12AD→
=AC→−12×12AB→+AC→
=−14AB→+34AC→．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的投影
【解析】
由于a→⊥(a→+b→)，可得a→⋅(a→+b→)＝0，解得a→⋅b→=−a→2利用b→在a→方向上的投影=a→⋅b→|a→|=即可得出．
【解答】
解：∵ a→在b→方向上的投影为−32，
∴ |a→|⋅cs=−32，
a→⋅b→=|a→||b→|cs=3×−32=−92.
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
直线与圆相交的性质
圆的标准方程
直线的点斜式方程
【解析】
根据圆的性质，确定最短弦对应的条件，即可得到结论．
【解答】
解：如图：
圆心坐标D(1, 0)，
要使过P点的弦最短，
即DP⊥BC时，满足条件，
此时DP的斜率k=1−02−1=1，
则弦BC的斜率为−1，
则此时对应的方程为：y−1=−1(x−2)，
即x+y−3=0，
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．
【解答】
解：∵ tanα=2，sin2α+cs2α=1，
∴ sin2α−cs2α+12sin2α+cs2α=2sin2α2sin2α+cs2α
=2tan2α2tan2α+1=2×222×22+1=89.
故选A．
7.
【答案】
B
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
直接利用三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果．
【解答】
解：设θ=π3+α，
∴ tanθ=−34=sinθcsθ，
∵ sin2θ+cs2θ=1，
∴ sin2θ=925，
∵ α是第三象限角，
∴ π3+α为第三或第四象限角，
∴ sinθ<0，故sinθ=−35，
∴ csπ6−α=csπ6−θ+π3=sinθ=−35.
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出w，由五点法作图求出p的值，可得fx的解析式，再根据函数y=Asinωx+φ的图象变换规律，求得gx的解析式．
【解答】
解：由图象可，得A=1，14×2πω=π3−π12，
∴ ω=2，
∵ 2×π3+φ=π，
∴ φ=π3，
∴ fx=sin2x+π3，
将fx的图象向右平移π12个单位长度，
得到函数gx=sin2x−π6+π3=sin2x+π6的图象.
故选C．
9.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的正切公式
【解析】
利用二倍角的正切可求得tanα=12，再由两角和的正切即可求得tan(2α−β)的值及角2α−β．
【解答】
解：∵ tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=13，tanβ=17，
∴ tanα=12，
∴ tan(2α−β)=tan[α+(α−β)]=tanα+tan(α−β)1−tanαtan(α−β)=1，
又α∈(0,π)，β∈(0, π)，
∴ α∈0,π6，β∈0, π6，
∴ 2α−β∈−π6,π3，
∴ 2α−β=π4．
故选A.
10.
【答案】
D
【考点】
直线与圆的位置关系
直线的斜率
【解析】
将x+1−y2=0化为x2+y2=1x≤0，其表示的是圆心在原点，半径为1的半圆，yx−2的几何意义是点x,y与点2,0连线的斜率，结合图象即可求出其范围．
【解答】
解：因为x+1−y2=0，
所以1−y2=−x，
所以x2+y2=1x≤0，
如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆，
所以yx−2的几何意义是点x,y与点2,0连线的斜率，
由图，得A0,1，B0,−1，P2,0，
kPA=1−00−2=−12，kPB=−1−00−2=12，
所以yx−2的取值范围为−12,12.
故选D.
11.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的图象
正弦函数的周期性
【解析】
根据f(2)=0，可得2ω−π4=kπ，k∈Z，则T=2πω=164k+1，根据k的值结合选项即可得解.
【解答】
解：因为f(2)=0，
所以f(x)=sin(2ω−π4)=0，
所以2ω−π4=kπ，k∈Z，
所以ω=π8+kπ2，k∈Z，
所以T=2πω=164k+1，
当k=0时，T=16，
当k=1时，T=165，
当k=2时，T=169，
当k=3时，T=1613，
结合选项可知，T=169最小.
故选A.
12.
【答案】
D
【考点】
平面向量的综合题
【解析】
令a→=AM→，b→=MB→=AN→ ，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到AC→⊥MN→ ，然后数形结合即可求出|c→|的最大值．
【解答】
解：不妨令a→=AM→，b→=MB→=AN→，
则a→+b→=AM→+MB→=AB→，即|AB→|=3.
因为a→⋅b→=0 ，
所以AM→⊥MB→ ，
记AB的中点为O，
所以点M在以AB为直径的圆O上，如图.
设c→=AC→ ，连接MN，
因为c→=λa→+1−λb→，
所以点C在直线MN上，
又c→⋅a→=c→⋅b→，
所以c→⋅(a→−b→)=0 ，
即AC→⋅NM→=0，
所以AC→⊥MN→.
结合图形可知，当NM→⊥AB→时，
|AC→|即|c→|取得最大值，且|c→|max=|AO→|=32.
故选D.
二、填空题
【答案】
12π
【考点】
扇形面积公式
【解析】
确定扇形的圆心角，半径，即可求出面积.
【解答】
解：∵ 该扇形的圆心角为2π3，半径为r=4π÷2π3=6，
∴ 该扇形的面积为12×4π×6=12πm2.
故答案为：12π.
三、解答题
【答案】
解：(1)因为向量a→=1,1+k，b→=k,2，
所以2a→−b→=2−k,2k，
又2a→−b→与b→平行，
所以22−k−2k2=0，
解得k=−2或k=1.
(2)因为向量2a→−b→与b→的夹角为锐角，
所以(2a→−b→)⋅b→>0，
即2−kk+4k>0，
解得0由(1)知，当k=1时，2a→−b→与b→平行，
所以k的取值范围是0,1∪1,6．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为向量a→=1,1+k，b→=k,2，
所以2a→−b→=2−k,2k，
又2a→−b→与b→平行，
所以22−k−2k2=0，
解得k=−2或k=1.
(2)因为向量2a→−b→与b→的夹角为锐角，
所以(2a→−b→)⋅b→>0，
即2−kk+4k>0，
解得0由(1)知，当k=1时，2a→−b→与b→平行，
所以k的取值范围是0,1∪1,6．
【答案】
解：(1)∵ fα=sin5π2+αcsαtanπ−αtanαcs−α
=csα⋅csα⋅−tanαtanα⋅csα=−csα,
∴ fπ3=−csπ3=−12．
(2)若α∈0,π2，则α−π6∈−π6,π3，
∵ sinα−π6=13，
∴ csα−π6=1−sin2α−π6=223，
∴ fα=−csα=−csα−π6+π6
=−csα−π6csπ6+sinα−π6sinπ6
=−223×32+13×12=1−266．
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
同角三角函数基本关系的运用
两角和与差的余弦公式
【解析】
（1）由诱导公式化简得出fα=−csα，进而得出fπ3的值；
（2）先由平方关系得出csα−π6，再由fα=−csα=−csα−π6+π6结合两角和的余弦公式求解即可．
【解答】
解：(1)∵ fα=sin5π2+αcsαtanπ−αtanαcs−α
=csα⋅csα⋅−tanαtanα⋅csα=−csα,
∴ fπ3=−csπ3=−12．
(2)若α∈0,π2，则α−π6∈−π6,π3，
∵ sinα−π6=13，
∴ csα−π6=1−sin2α−π6=223，
∴ fα=−csα=−csα−π6+π6
=−csα−π6csπ6+sinα−π6sinπ6
=−223×32+13×12=1−266．
【答案】
解：(1)∵ fx的图象的对称中心到对称轴的最小距离为π4，
∴ T4=π4，
∴ T=π，
∴ 2ω=2πT=2ππ=2，解得ω=1，
∴ 函数fx的解析式为fx=2sin2x−π4．
令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，
解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，
∴ 函数fx的单调递增区间为kπ−π8,kπ+3π8k∈Z .
(2)由(1)知，函数在区间π8,3π8上为增函数，
在区间3π8,3π4上为减函数．
∵ fπ8=0，f3π8=2，
f3π4=2sin3π2−π4=−2csπ4=−1，
∴ 函数fx在区间π8,3π4上的最大值为2，最小值为−1．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的单调性
函数最值的应用
【解析】
（2）由（1）知，函数在区间π8,3π8上为增函数，在区间3π8,3π4上为减函数．
因为fπ8=0，f3π8=2，f3π4=2sin3π2−π4=−2csπ4=−1，
故函数fx在区间π8,3π4上的最大值为2，最小值为−1．
【解答】
解：(1)∵ fx的图象的对称中心到对称轴的最小距离为π4，
∴ T4=π4，
∴ T=π，
∴ 2ω=2πT=2ππ=2，解得ω=1，
∴ 函数fx的解析式为fx=2sin2x−π4．
令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，
解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，
∴ 函数fx的单调递增区间为kπ−π8,kπ+3π8k∈Z .
(2)由(1)知，函数在区间π8,3π8上为增函数，
在区间3π8,3π4上为减函数．
∵ fπ8=0，f3π8=2，
f3π4=2sin3π2−π4=−2csπ4=−1，
∴ 函数fx在区间π8,3π4上的最大值为2，最小值为−1．
【答案】
解：(1)由0<β<π2得−π4<−β2<0，∴ π4<α−β2<π，
∴ sinα−β2=513，∴ tanα−β2=512 .
(2)csα+β2
=csα−β2−α2−β
=csα−β2csα2−β+sinα−β2sinα2−β，
由π2<α<π得π4<α2<π2，−π2<−β<0，
∴−π4<α2−β≤π2，∴ csα2−β=35，
∴ csα+β2 =1213×35+513×−45=1665.
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
三角函数的化简求值
两角和与差的余弦公式
【解析】
（1）由0<β<π2得−π4<−β2<0，∴ π4<α−β2<π，
∴ sinα−β2=513，∴ tanα−β2=512 .
【解答】
解：(1)由0<β<π2得−π4<−β2<0，∴ π4<α−β2<π，
∴ sinα−β2=513，∴ tanα−β2=512 .
(2)csα+β2
=csα−β2−α2−β
=csα−β2csα2−β+sinα−β2sinα2−β，
由π2<α<π得π4<α2<π2，−π2<−β<0，
∴−π4<α2−β≤π2，∴ csα2−β=35，
∴ csα+β2 =1213×35+513×−45=1665.
【答案】
解：(1)因为BD→=12DC→，
所以AD→−AB→=12AC→−AD→，
所以AD→=23AB→+13AC→.
因为AD→=xAB→+yAC→，
所以x=23，y=13，
所以x−y=13．
(2)因为在三角形ABC中，
AB=2，AC=1，∠ACD=π2，
所以∠CAB=π3，BC=3，
所以CF→⋅FA→=CA→+AF→⋅FA→=CA→⋅FA→+AF→⋅FA→，
设|AF→|=x，由题意得x∈0,2，
所以CF→⋅FA→=CA→⋅FA→+AF→⋅FA→
=|CA→|⋅|FA→|cs∠CAB−|AF→|2
=12x−x2=−x−142+116，
因为x∈0,2，
所以−(x−14)2+116∈[−3,116]，
所以CF→⋅FA→的取值范围为[−3,116].
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量数量积的运算
平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为BD→=12DC→，
所以AD→−AB→=12AC→−AD→，
所以AD→=23AB→+13AC→.
因为AD→=xAB→+yAC→，
所以x=23，y=13，
所以x−y=13．
(2)因为在三角形ABC中，
AB=2，AC=1，∠ACD=π2，
所以∠CAB=π3，BC=3，
所以CF→⋅FA→=CA→+AF→⋅FA→=CA→⋅FA→+AF→⋅FA→，
设|AF→|=x，由题意得x∈0,2，
所以CF→⋅FA→=CA→⋅FA→+AF→⋅FA→
=|CA→|⋅|FA→|cs∠CAB−|AF→|2
=12x−x2=−x−142+116，
因为x∈0,2，
所以−(x−14)2+116∈[−3,116]，
所以CF→⋅FA→的取值范围为[−3,116].
【答案】
解：(1)若过点M的直线斜率不存在，
直线方程为x=1，为圆O的切线；
当切线l的斜率存在时，
设直线方程为：y−4=k(x−1)，
即kx−y−k+4=0，
∴ 圆心O到切线的距离为：|−k+4|k2+1=1，
解得：k=158.
∴ 直线方程为：15x−8y+17=0．
综上所述，切线的方程为：x=1或15x−8y+17=0.
(2)点M(1, 4)到直线2x−y−8=0的距离为：
d=|2−4−8|5=25，
又∵ 圆被直线y=2x−8截得的弦长为8，
∴ r=(25)2+42=6，
∴ 圆M的方程为：(x−1)2+(y−4)2=36.
(3)假设存在定点R，使得PQPR为定值，
设R(a, b)，P(x, y)，PQ2PR2=λ.
∵ 点P在圆M上，
∴ (x−1)2+(y−4)2=36，
则x2+y2=2x+8y+19，
∵ PQ为圆O的切线，
∴ OQ⊥PQ，
∴ PQ2=PO2−1=x2+y2−1，
PR2=(x−a)2+(y−b)2，
∴ x2+y2−1=λ[(x−a)2+(y−b)2]，
即2x+8y+19−1=λ(2x+8y+
19−2ax−2by+a2+b2)，
整理得：(2−2λ+2aλ)x+(8−8λ+2bλ)y+
(18−19λ−a2λ−b2λ)=0，
若使以上式子对任意x，y恒成立，
则2−2λ+2aλ=0，8−8λ+2bλ=0，18−19λ−a2λ−b2λ=0，
∴ a=λ−1λ，b=4λ−4λ，
代入得：18−19λ−(λ−1λ)2λ−(4λ−4λ)2λ=0，
整理得：36λ2−52λ+17=0，
解得：λ=12或λ=1718.
∴ λ=12，a=−1，b=−4，或λ=1718，a=−117，b=−417，
∴ 存在定点R(−1, −4)，此时PQPR为定值22；
或存在定点R(−117,−417)，此时PQPR为定值346．
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
直线和圆的方程的应用
圆的切线方程
点到直线的距离公式
【解析】
（1）M(1, 4)在圆外，切线有两条；
（2）求出点M(1, 4)到直线2x−y−8=0的距离，利用弦长，可求圆M的方程；
（3）假设存在定点R，使得PQPR为定值，设R(a, b)，P(x, y)，PQ2PR2=λ，可得(2−2λ+2aλ)x+(8−8λ+2bλ)y+(18−19λ−a2λ−b2λ)=0(*)，若使(*)对任意x，y恒成立，则2−2λ+2aλ=08−8λ+2bλ=018−19λ−a2λ−b2λ=0，即可得出结论．
【解答】
解：(1)若过点M的直线斜率不存在，
直线方程为x=1，为圆O的切线；
当切线l的斜率存在时，
设直线方程为：y−4=k(x−1)，
即kx−y−k+4=0，
∴ 圆心O到切线的距离为：|−k+4|k2+1=1，
解得：k=158.
∴ 直线方程为：15x−8y+17=0．
综上所述，切线的方程为：x=1或15x−8y+17=0.
(2)点M(1, 4)到直线2x−y−8=0的距离为：
d=|2−4−8|5=25，
又∵ 圆被直线y=2x−8截得的弦长为8，
∴ r=(25)2+42=6，
∴ 圆M的方程为：(x−1)2+(y−4)2=36.
(3)假设存在定点R，使得PQPR为定值，
设R(a, b)，P(x, y)，PQ2PR2=λ.
∵ 点P在圆M上，
∴ (x−1)2+(y−4)2=36，
则x2+y2=2x+8y+19，
∵ PQ为圆O的切线，
∴ OQ⊥PQ，
∴ PQ2=PO2−1=x2+y2−1，
PR2=(x−a)2+(y−b)2，
∴ x2+y2−1=λ[(x−a)2+(y−b)2]，
即2x+8y+19−1=λ(2x+8y+
19−2ax−2by+a2+b2)，
整理得：(2−2λ+2aλ)x+(8−8λ+2bλ)y+
(18−19λ−a2λ−b2λ)=0，
若使以上式子对任意x，y恒成立，
则2−2λ+2aλ=0，8−8λ+2bλ=0，18−19λ−a2λ−b2λ=0，
∴ a=λ−1λ，b=4λ−4λ，
代入得：18−19λ−(λ−1λ)2λ−(4λ−4λ)2λ=0，
整理得：36λ2−52λ+17=0，
解得：λ=12或λ=1718.
∴ λ=12，a=−1，b=−4，或λ=1718，a=−117，b=−417，
∴ 存在定点R(−1, −4)，此时PQPR为定值22；
或存在定点R(−117,−417)，此时PQPR为定值346．