2020-2021学年河南省南阳市高三（下）3月联考数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高三（下）3月联考数学（文）试卷北师大版，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A=x|2x0，q>1，a3+a5=20，a2a6=64，则S4等于( )
A.15B.20C.31D.32

4. 已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l两两相交”是“m，n，l在同一平面”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5. 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v=a+lg2Q10（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位．若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，其耗氧量至少需要( )个单位．
A.70B.60C.80D.75

6. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A和M．在此图内任取一点，此点取自A区域的概率记为P(A)，取自M区域的概率记为P(M)，则( )

A.P(A)>P(M)
B.P(A)0，ω>0，|φ|0，对于∀x∈[−1,+∞)，均有fx−1≤ax+1，则实数a的取值范围是( )
A.1e2,+∞B.1e,+∞C.[1,+∞)D.1e2,1e

12. 侧棱长为23的正四棱锥V−ABCD内，有一半球，其大圆面落在正四棱锥底面上，且与正四棱锥的四个侧面相切，当正四棱锥的体积最大时，该半球的半径为( )
A.1B.2C.22D.2
二、填空题

已知单位向量e1→，e2→的夹角是2π3，向量a→=3e1→+λe2→，若a→⊥e2→，则实数λ=________.

已知实数x，y满足2x+y−2≥0，3x−y−3≤0，x−2y+4≥0， 则z=x−3y的最小值为________.

在数列{an}中，满足an+1+(−1)nan=2n−1，则数列{an}的前20项之和为________．

已知直线l:x−3y=0交双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)于A，B两点.
(1)已知点P是双曲线上不同于点A，B的任意一点，则kPA⋅kPB=________（结果用a，b表示）；

(2)过点A作直线l的垂线AC交双曲线Γ于点C.若∠ABC=60∘，则双曲线Γ的离心率为________.
三、解答题

如图，DC⊥平面ABC，EB // DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=90∘，P，Q分别为DE，AB的中点．

(1)求证：PQ // 平面ACD；

(2)求几何体B−ADE的体积．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3acsB−bsinA=0.
(1)求角B的大小；

(2)若b=7，a+c=5，求AC边上的高．

近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物．为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲、乙两同学一起收集6家农户的数据，进行回归分析，得到两个回归模型：
模型①y(1)=−1.65x+28.75；模型②：y(2)=26.67x+13.50．
对以上两个回归方程进行残差分析，得到表：

(1)将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好；

(2)视残差ei的绝对值超过1.5的数据为异常数据，针对(1)中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求回归方程．
附： b=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2，a=y¯−bx¯；0.272+0.382+0.972+1.022+0.282≈2.277．

已知函数fx=ex−ax2，其中常数a∈R.
(1)当x∈0,+∞时，不等式fx>0恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若a=1，且x∈[0,+∞)时，求证：fx>x2+4x−14.

设点C(x, y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标系原点），点C到直线y=0的距离比到定点F(0, 1)的距离小
1，动点C的轨迹方程为E．
(1)求曲线E的方程；

(2)若过点F的直线l与曲线E相交于A，B两点．
①若AF​→=2F​B→，求直线l的直线方程；
②分别过点A，B作曲线E的切线且交于点D，是否存在以O为圆心，以OD为半径的圆与经过点F且垂直于直线l的直线l1相交于M，N两点，求|MN|的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+tcsφ，y=1+tsinφ（t为参数，φ∈[0,π)），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4csθ−π3．
(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)设点P的坐标为P1,1，若直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA→−PB→|的最大值．

已知a，b，c为正数，且a+b+c=2，求证：
(1)ab+bc+ac≤43；

(2)2−ab⋅2−bc⋅2−ca≥8.
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高三（下）3月联考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：A=x|2x0，∴ 3csB−sinB=0，
可得tanB=3，B0,π，
∴ B=π3；
(2)设AC边上的高为ℎ，
∵ B=π3，b=7，a+c=5，
∴ b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac，
即7=a+c2−3ac，∴ ac=6，
∵ S△ABC=12acsinB=332=12bℎ=72ℎ，
解得ℎ=3217，即AC边上的高是3217 .
【答案】
解：(1)表格补充如下：
模型①的残差平方和为0.272+0.382+0.972+1.022+0.282+1.682=2.277+1.6829．
∴ 模型①的拟合效果比较好.
(2)应剔除第四组数据，
x¯=15×(2+3+4+7+9)=5，
y¯=15×(25+24+21+16+14)=20，
b=i=15(xi−x¯)(yi−y¯)i=15(xi−x¯)2=−5634=−2817，
a=y¯−bx¯=20−−2817×5=48017，
∴ 所求回归方程为y=−2817x+48017．
【考点】
求解线性回归方程
函数模型的选择与应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)表格补充如下：
模型①的残差平方和为0.272+0.382+0.972+1.022+0.282+1.682=2.277+1.6829．
∴ 模型①的拟合效果比较好.
(2)应剔除第四组数据，
x¯=15×(2+3+4+7+9)=5，
y¯=15×(25+24+21+16+14)=20，
b=i=15(xi−x¯)(yi−y¯)i=15(xi−x¯)2=−5634=−2817，
a=y¯−bx¯=20−−2817×5=48017，
∴ 所求回归方程为y=−2817x+48017．
【答案】
(1)解：由题意知当x∈0,+∞时，不等式fx=ex−ax2>0恒成立，
即a0，则ℎ′x=x−2exx3.
当x∈0,2时，ℎ′x0，函数ℎ(x)单调递增，
所以ℎ(x)的最小值为ℎ2=e24，
故实数a的取值范围为−∞,e24.
(2)证明：由题意得，要证fx>x2+4x−14成立，
即证ex−x2>x2+4x−14成立，
即证ex−2x2−4x+14>0成立．
设gx=ex−2x2−4x+14，其中x∈[0,+∞)，
则g′x=ex−4x−4.
设ℎx=ex−4x−4，则ℎ′x=ex−4．
令ℎ′x>0，得x>2ln2；
令ℎ′x0，得x>2ln2；
令ℎ′x