2020-2021学年辽宁省朝阳市高一（上）期中考试数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年辽宁省朝阳市高一（上）期中考试数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合M={0，3}，则M的真子集个数为( )
A.1B.2C.3D.4

2. 函数fx=16−x2+x−2x−3的定义域为（ ）
A.(3,4]B.[2,3)C.2,4D.2,3∪3,4

3. 下列图象不可能成为函数y=fx图象的是( )
A.
B.
C.
D.

4. 下列与函数y=|x|表示同一函数的是( )
A.y=x2B.y=x2xC.y=3x3D.y=(x)2

5. 下列命题中，既是存在量词命题又是假命题的是（ ）
A.三角形内角和为180∘B.有些梯形是平行四边形
C.∃x∈R,3x+2>0D.至少有一个整数m，使得m2<1

6. 已知t>0，则函数y=2t2−t+2t的最小值为( )
A.−2B.12C.3D.2

7. 已知fx是定义在R上的偶函数，当 x<0时，fx=x2−3x−1，则当x>0时，fx=( )
A.−x2−3x+1B.x2+3x−1C.−x2+3x+1D.x2−3x−1

8. 若fx是奇函数，且在0,+∞内是增函数，又f3=0，则x−1fx<0的解集是( )
A.{x|−33}B.{x|x<−3或 1C.{x|x<−3或x>3}D.{x|−3二、多选题

下列函数在0,+∞上为减函数的是( )
A.fx=1−xB.fx=x2−2xC.fx=−2xD.fx=−|x|

下列命题为真命题的是（ ）
A.函数y=|x−1|是偶函数且在区间[1,+∞)上单调递增
B.函数fx=x2+4+1x2+4的最小值为2
C.“x=2”是“|x−2|+2−x=0”的充要条件
D.∃x∈R,1x
已知fx是定义在R上的增函数，则下列结论错误的是( )
A.y=fx2是增函数B.y=1fxfx≠0是减函数
C.y=−fx是减函数D.y=|fx|是增函数

德国数学家狄里克雷（Diricℎlet，Peter Gustav Lejeune，1805∼1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数Dx，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数Dx的性质表述正确的是（ ）
A.Dπ=0B.Dx的值域为0,1
C.Dx为奇函数D.Dx+1=Dx
三、填空题

若x∈R，则“x>1”是“x2>1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

已知f(x−1)=x2+1，则f(x)=________.

函数f(x)=kx2+(3k−2)x−5在[1, +∞)上单调递增，则k的取值范围是________.

已知函数f(x)=ax−x2,x≥0,−2x,x<0,若fx在R上单调递减，则实数a的取值范围为________；若fx在[−1,t)上的值域为0,4，则实数t的取值范围为________．
四、解答题

已知集合A={x|−1(1)当m=2时，求A∩∁RB；

(2)若A∩B={x|−1
已知函数fx=−ax2+2ax+b.
(1)当a=1，b=3时，解不等式fx>0；

(2)若a>0,b>0，且f1=2，求1a+1b的最小值．

设函数fx=x+mxm∈R，且f1=3.
(1)判断fx的奇偶性，并说明理由；

(2)证明：函数fx在区间[2,+∞)上单调递增．

某公司生产一种电子仪器的固定成本为30000元，每生产一台仪器需增加投入150元，总收益（单位：元） Rx=450x−12x2,0≤x≤400,100000,x>400．其中x(单位：台)是仪器的月产量.
注：总收益=总成本+利润
(1)将利润fx表示为月产量x的函数；

(2)求公司所获月利润的最大值．

设函数fx=ax2+ax−1a∈R.
(1)当a=12时，求函数fx的零点；

(2)讨论函数fx零点的个数．

已知函数fx=mx−x|x|，且f2=0.

(1)求实数m的值，并判断fx的奇偶性；

(2)作出函数fx的图象，并指出fx的单调减区间；

(3)求x∈[−2,3)时函数的值域．
参考答案与试题解析
2020-2021学年辽宁省朝阳市高一（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
子集与真子集的个数问题
【解析】
无
【解答】
解：集合M有2个元素，
所以集合M的真子集个数为22−1=3个．
故选C．
2.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由题意，得 16−x2≥0x−2≥0,x−3≠0, ∴ 2≤x≤4且x≠3，∴ 定义域为[2,3)∪(3,4)．故选D．
【解答】
解：由题意，得 16−x2≥0,x−2≥0,x−3≠0,
∴ 解得，2≤x≤4且x≠3，
∴ 定义域为[2,3)∪(3,4]．
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
函数的概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由选项中的图象可得，选项A中有一个自变量x的值对应两个函数值y，
所以不可能成为函数y=fx图象．
故选A．
4.
【答案】
A
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
根据确定函数的三要素是定义域、对应法则和值域，若两个函数表示同一函数则函数的定义域和解析式相同，据此可判断出答案．
【解答】
解：对于A，函数y=x2=|x|的定义域为R，
与y=|x|的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于B，函数y=x2x=x的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，
与y=|x|的定义域不同，不是同一函数;
对于C，函数y=3x3=x，与y=|x|的对应关系不同，不是同一函数；
对于D，函数y=(x)2=x的定义域为[0, +∞)，
与y=|x|的定义域不同，不是同一函数.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
无
【解答】
解：A项是全称量词命题且为真命题；
C项与D项为真命题；
B，所有的梯形都不是平行四边形，故该命题既是存在量词命题又是假命题．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
y=2t2−t+2t=2t+2t−1≥22t⋅2t−1=3，当且仅当2t=2t，即t=1时，等号成立．故选C．
【解答】
解：y=2t2−t+2t=2t+2t−1
≥22t⋅2t−1=3，
当且仅当2t=2t，即t=1时，等号成立．
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ fx是定义在R上的偶函数，
∴ f(−x)=f(x).
若x>0，则−x<0．
∵ x<0时，fx=x2−3x−1，
∴ 当−x<0时，f−x=x2+3x−1=fx，
∴ 当x>0时，fx=x2+3x−1．
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：由题意可得，函数f(x)在(−∞,0)上是增函数，
且f(−3)=−f(3)=0，
函数的单调性示意图如图所示：
由不等式(x−1)f(x)<0，
得x−1>0，f(x)<0或x−1<0，f(x)>0，
结合函数f(x)的图象可得，不等式的解集为(−3,0)∪(1,3)．
故选D．
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
函数单调性的判断与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A选项，f(x)在(0,+∞)上递减，符合题意；
对于B选项，f(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，不符合题意；
对于C选项，f(x)在(0,+∞)上为增函数，不符合题意；
对于D选项，fx在(0,+∞)上递减，符合题意．
故选AD .
【答案】
C,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
基本不等式
奇偶性与单调性的综合
【解析】
无
【解答】
解：A,y=|x−1|当x=1时，y=0，
当x=−1时y=2，所以y=|x−1|不是偶函数，故选项A错误；
B,令t=x2+4∈[2,+∞), x2+4+1x2+4=t+1t≥2，
当且仅当t=1t，即t=1时取“=”，显然“=”无法成立．
故x2+4+1x2+4的最小值不为2，
借助函数的单调性可得其最小值为52，故选项B错误；
C,|x−2|+2−x=0，则|x−2|=0,2−x=0,
∴ x=2，故选项C正确；
D,当x=1时，1x故选CD．
【答案】
A,B,D
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
设fx=x在R上递增．对于A选项y=x2在−∞,0上递减，故A选项错误；对于B选项，y=1x在−∞,0和0,+∞上递减，但不能说y=1x是减函数，故B选项错误；对于C选项，y=−x是减函数．下证明一般性：由于fx是定义在R上的增函数，根据复合函数单调性同增异减可知y=−fx是R上的减函数．故C选项正确；对于D选项，y=|x|在−∞,0递减，故D选项结论错误．故选ABD．
【解答】
解：设fx=x在R上递增，
A，y=x2在−∞,0上递减，故A错误；
B，y=1x在−∞,0和0,+∞上递减，但不是减函数，故B错误；
C，y=−x是减函数，由于fx是定义在R上的增函数，
根据复合函数单调性同增异减可知y=−fx是R上的减函数．故C正确；
D，y=|x|在−∞,0递减，故D错误．
故选ABD．
【答案】
A,B,D
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的求值
函数的值域及其求法
【解析】
∵ π为无理数，∴ Dπ=0，A正确；∵ 有理数和无理数构成了全体实数，∴ D(x)的值域为{0,1}，B正确；若x为有理数，则−x为有理数，则Dx=D−x=1；若x为无理数，则−x为无理数，则Dx=D(−x)=0，∴ D(x)为偶函数，C错误；若x为有理数，则x+1为有理数，Dx+1=Dx=1，若x为无理数，则x＋1为无理数，D(x+1)=D(x)=0 ，∴ ∀x∈R,Dx+1=D(x)，D正确．故选ABD．
【解答】
解：∵ π为无理数，∴ Dπ=0，A正确；
∵ 有理数和无理数构成了全体实数，
∴ D(x)的值域为{0,1}，B正确；
若x为有理数，则−x为有理数，则Dx=D−x=1,
若x为无理数，则−x为无理数，则Dx=D(−x)=0，
∴ D(x)为偶函数，C错误；
若x为有理数，则x+1为有理数，Dx+1=Dx=1，
若x为无理数，则x＋1为无理数，D(x+1)=D(x)=0 ，
∴ ∀x∈R,Dx+1=D(x)，D正确．
故选ABD．
三、填空题
【答案】
充分不必要
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：“x>1”则“x2>1”，但是“x2>1”可得“x>1或x<−1”，
∴ “x>1”是“x2>1”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要.
【答案】
x2+2x+2
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
利用换元法进行求解即可．
【解答】
解：设x−1=t，则x=1+t，
则函数f(x−1)=x2+1等价为f(t)=(t+1)2+1，
即f(x)=(x+1)2+1=x2+2x+2，
故答案为：x2+2x+2.
【答案】
[25,+∞)
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
讨论k是否为0，当k＝0时，f(x)为一次函数，判定是否满足条件，当k≠0时，函数f(x)是二次函数，然后根据二次函数性质建立关系式，从而求出所求．
【解答】
解：当k=0时，f(x)=−2x−5在R上单调递减，不符合题意，
当k≠0时，函数f(x)=kx2+(3k−2)x−5，在[1, +∞)上单调递增，
∴ k>0，2−3k2k≤1，
解得：k≥25.
故答案为：[25, +∞).
【答案】
(−∞,0]
,(2,4]
【考点】
分段函数的应用
函数单调性的性质
函数的值域及其求法
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：根据题意，作出函数图象如下：
当a≤0时，f(x)在R上单调递减.
∵ f(−1)=2<4，
∴ a>0且fa2=4，
解得a=4，
结合图象可知2故答案为：(−∞,0] ; (2,4].
四、解答题
【答案】
解：(1)当m=2时，
B={x|(x+1)(x−2)<0}={x|−1则∁RB={x|x≤−1或x≥2}，
∴ A∩∁RB=x|2≤x≤4.
(2)A=x|−1∴ 有32−3−m=0解得m=6．
此时B={x|−2故实数m的值为6.
【考点】
交、并、补集的混合运算
集合关系中的参数取值问题
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解：(1)当m=2时，
B={x|(x+1)(x−2)<0}={x|−1则∁RB={x|x≤−1或x≥2}，
∴ A∩∁RB=x|2≤x≤4.
(2)A=x|−1∴ 有32−3−m=0解得m=6．
此时B={x|−2故实数m的值为6.
【答案】
解：(1)由题可得−x2+2x+3>0，
则x2−2x−3<0，
即x−3x+1<0，
解得−1所以fx>0的解集为−1,3.
(2)由f1=2，得a+b=2，
1a+1b=121a+1ba+b=122+ba+ab≥2，
当且仅当a=b=1时，等号成立，
所以1a+1b的最小值为2．
【考点】
一元二次不等式的解法
绝对值三角不等式
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
解：(1)由题可得−x2+2x+3>0，
则x2−2x−3<0，
即x−3x+1<0，
解得−1所以fx>0的解集为−1,3.
(2)由f1=2，得a+b=2，
1a+1b=121a+1ba+b=122+ba+ab≥2，
当且仅当a=b=1时，等号成立，
所以1a+1b的最小值为2．
【答案】
(1)解：由f1=3，得1+m=3，则m=2，
所以fx=x+2x．
fx=x+2x为奇函数，
理由如下：fx的定义域为−∞,0∪0,+∞，
f−x=−x+2−x=−x+2x=−fx．
(2)证明：设x1，x2∈[2,+∞)且x1 则fx1−fx2=x1+2x1−x2+2x2
=x1−x2⋅x1x2−2x1x2 ，
因为2≤x1所以x1−x2<0 ，x1x2−2>0，
所以fx1故fx在[2,+∞)上单调递增．
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
【解析】
答案未提供解析。
答案未提供解析。
【解答】
(1)解：由f1=3，得1+m=3，则m=2，
所以fx=x+2x．
fx=x+2x为奇函数，
理由如下：fx的定义域为−∞,0∪0,+∞，
f−x=−x+2−x=−x+2x=−fx．
(2)证明：设x1，x2∈[2,+∞)且x1 则fx1−fx2=x1+2x1−x2+2x2
=x1−x2⋅x1x2−2x1x2 ，
因为2≤x1所以x1−x2<0 ，x1x2−2>0，
所以fx1故fx在[2,+∞)上单调递增．
【答案】
解：(1)由于月产量为x台，则月总成本为30000+150x元，
∴ 利润fx=300x−12x2−30000,0≤x≤400,70000−150x,x>400．
(2)当0≤x≤400时，fx=300x−12x2−30000
=−12x−3002+15000，
∴ 当x=300时，有最大值15000；
当x>400时，fx=70000−150x，
70000−150x<15000，
∴ 当x=300时，有最大值15000.
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，且最大利润是15000元．
【考点】
函数模型的选择与应用
分段函数的解析式求法及其图象的作法
函数最值的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由于月产量为x台，则月总成本为30000+150x元，
∴ 利润fx=300x−12x2−30000,0≤x≤400,70000−150x,x>400．
(2)当0≤x≤400时，fx=300x−12x2−30000
=−12x−3002+15000，
∴ 当x=300时，有最大值15000；
当x>400时，fx=70000−150x，
70000−150x<15000，
∴ 当x=300时，有最大值15000.
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，且最大利润是15000元．
【答案】
解：(1)当a=12时，fx=12x2+12x−1，
令fx=0，得12x2+12x−1=0，
即x2+x−2=0，
整理得x+2x−1=0，
即x=−2或x=1，
故当a=12时，函数fx的零点为−2和1.
(2)①a=0时，fx=−1，无零点；
②a≠0时，fx=ax2+ax−1，Δ=a2+4a．
(i)Δ=a2+4a>0时，即a<−4或a>0时，
fx有两个不相等的实数根，即fx有两个零点；
(ii)Δ=a2+4a=0，
即a=−4或a=0时，由①得a=0时fx无零点，
所以a=−4时，fx有一个零点；
(iii)Δ=a2+4a<0，即−4综上所述，当−4当a=−4时，fx有一个零点；
当a<−4或a>0时，fx有两个零点.
【考点】
函数的零点
函数零点的判定定理
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当a=12时，fx=12x2+12x−1，
令fx=0，得12x2+12x−1=0，
即x2+x−2=0，
整理得x+2x−1=0，
即x=−2或x=1，
故当a=12时，函数fx的零点为−2和1.
(2)①a=0时，fx=−1，无零点；
②a≠0时，fx=ax2+ax−1，Δ=a2+4a．
(i)Δ=a2+4a>0时，即a<−4或a>0时，
fx有两个不相等的实数根，即fx有两个零点；
(ii)Δ=a2+4a=0，
即a=−4或a=0时，由①得a=0时fx无零点，
所以a=−4时，fx有一个零点；
(iii)Δ=a2+4a<0，即−4综上所述，当−4当a=−4时，fx有一个零点；
当a<−4或a>0时，fx有两个零点.
【答案】
解：(1)由函数fx=mx−x|x|，且f2=0，可得2m−4=0，
∴ m=2，
∴ 函数fx=2x−x|x|，
∵fx的定义域为R，
且f(−x)=2⋅(−x)−(−x)⋅|−x|=−2x+x|x|=−fx，
∴ fx为奇函数．
(2)fx=2x−x|x|=2x−x2,x≥0,2x+x2,x<0,
它的图象如图所示：
结合图象可得fx的单调减区间为−∞,−1，1,+∞．
(3)当x∈[−2,3)时，结合函数的图象可得，
f−1=−1，f1=1，
f3=−3，
可知x∈[−2,3)时，函数的值域为(−3,1]．
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的单调性及单调区间
函数的求值
函数的图象
函数的值域及其求法
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)由函数fx=mx−x|x|，且f2=0，可得2m−4=0，
∴ m=2，
∴ 函数fx=2x−x|x|，
∵fx的定义域为R，
且f(−x)=2⋅(−x)−(−x)⋅|−x|=−2x+x|x|=−fx，
∴ fx为奇函数．
(2)fx=2x−x|x|=2x−x2,x≥0,2x+x2,x<0,
它的图象如图所示：
结合图象可得fx的单调减区间为−∞,−1，1,+∞．
(3)当x∈[−2,3)时，结合函数的图象可得，
f−1=−1，f1=1，
f3=−3，
可知x∈[−2,3)时，函数的值域为(−3,1]．