2022-2023学年辽宁省朝阳市高三（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省朝阳市高三（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了0分， 已知抛物线C， 已知ln>lnb，则等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2022-2023学年辽宁省朝阳市高三（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分     注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知复数是虚数单位，则在复平面内对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.  已知集合，，则等于(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知抛物线：的焦点为，准线为，点为上一点，过作的垂线，垂足为，若的倾斜角为，则(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是(    )A.  B.  C.  D. 6.  在等比数列中则能使不等式成立的正整数的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知函数，若函数在区间上有两个零点，，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）8.  已知，则(    )A.  B.  C.  D. 9.  已知函数，则(    )A. 的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
B. 的图象与的图象关于轴对称
C. 的单调递减区间为
D. 在上有个零点，则实数的取值范围是10.  已知点在直线：上，点在圆：上，则下列说法正确的是(    )A. 点到的最大距离为
B. 若被圆所截得的弦长最大，则
C. 若为圆的切线，则的取值范围为
D. 若点也在圆上，则到的距离的最大值为11.  将，，，，，，这七个数随机地排成一个数列，记第项为，则下列说法正确的是(    )A. 若，，则这样的数列共有个
B. 若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有个
C. 若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有个
D. 若，，，则这样的数列共有个第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）12.  已知向量，若，则        ．13.  若，则        ．14.  已知点，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且满足，，则该椭圆的离心率是        ．15.  如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点且平面，则线段长度的取值范围是        ．
 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
如图，若是外接圆的劣弧上一点，且，，求．
17.  本小题分
在等比数列中，，．
求的通项公式；
设，求的前项和．18.  本小题分
某地区年至年居民家庭人均存款单位：万元数据如表： 年份年份代号人均存款变量，具有线性相关关系．
求关于的线性回归方程，并预测年该地区居民家庭人均存款；
若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差为，则称该数据为“完美数据”现从这些数据中随机抽取个，设为抽到的“完美数据”的个数，求的分布列和数学期望．
参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．19.  本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，，．
求证：；
求二面角的余弦值．20.  本小题分
如图，已知双曲线：的左、右顶点分别为，，，点是上异于左、右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，且．
求的方程；
若点满足，，记，的面积分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21.  本小题分
已知函数．
若在上恒成立，求实数的值；
证明：当时，．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
所以，则在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：．
根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：集合，，
由交集的定义可得：．
故选：．
先求出集合，，然后利用交集的定义即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：设在正四棱台中，取侧面，
则，，，如下图所示：

分别过点、在侧面内作，，垂足分别为、，
因为，，，
所以≌，，
因为，，，故四边形为矩形，故EF，
所以，，
因此该四棱台的表面积为．
故选：．
计算出四棱台侧面的高，再利用梯形和正方形的面积公式可求得该四棱台的表面积．
本题主要考查了四棱台的结构特征，考查了四棱台的表面积公式，属于中档题．
 4.【答案】 【解析】解：由题意得：，准线方程为，
设准线与轴交于点，，故，
因为的倾斜角为，所以，
故，即，
故，解得：，所以．
故选：．
画出图形，得到，从而求出，进而求出，利用焦半径公式求出．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属基础题．
 5.【答案】 【解析】解：记“三人中至少有两人解答正确”为事件，“小陆同学解答不正确”为事件，
则，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式的应用，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：因为，所以公比，则，时，，时，，
又，所以，，，，
则，
又当时，，
所以能使不等式成立的最大正整数是．
故选：．
首先可得，即可得到时，，时，，再根据下标和性质得到，，，，即可得到，从而得解．
本题主要考查等比数列的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：因为函数在区间上有两个零点，即在区间上有两个交点，如图所示：

则的取值范围是，又两个零点为，，
所以令，则，，，，
则令，
，，，，因为的取值范围是，
所以在的范围内单调递增，，
所以在恒成立，即在上单调递增，
又，，则的取值范围是
故选：．
根据函数在区间上有两个零点，，可以求得的取值范围，以及，的值，代入构造新的函数，求导讨论函数的单调性，即可求得新构造函数的值域．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的最值，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：因为，所以，则，
所以，故A正确；
则，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
由，则，所以，故D正确；
故选：．
依题意可得，即可判断、、，再根据指数函数的性质判断．
本题主要考查对数函数单调性的应用，还考查了不等式的性质，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：，
所以，
对于，的图象向右平移个单位长度后得到函数，
即，A正确；
对于，，B正确；
对于，由，，
解得，
所以函数的单调递减区间为，C正确；
因为，
所以，
因为在上有个零点，
所以，解得，D错误．
故选：．
根据三角恒等变换求出，根据三角函数的图象性质即可求解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：直线：恒过定点，当时，圆心到直线的距离最大，
最大距离为，故到直线的最大距离为，故A正确；
被圆所截得的弦长最大时，则过圆的圆心，所以，解得，故B正确；
若为圆的切线，，解得，故C错误；
若点也在圆上，则圆与直线有公共点，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为圆的半径，
所以到的距离的最大值为，故D正确．
故选：．
直线：恒过定点，当时，圆心到直线的距离最大，可判断；被圆所截得的弦长最大时，则过圆的圆心，可求，可判断；由，可求判断；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为圆的半径，可判断．
本题考查直线与圆的位置关系，以及点到线的距离的最大值，属中档题．
 11.【答案】 【解析】解：对于：由于为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确；
对于：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，
则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故B错误；
对于：从，，，，，中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从，，，，，中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从，，，，，中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从，，，，，中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从，，，，，中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
故满足条件的总个数为：个，故C错误．
对于：若则这样的数列有个，
若则这样的数列有个，
若则这样的数列有个，
所以满足条件的这样的数列共有个，故D正确．
故选：．
根据对称性可得，即可判断，
对于：则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判断，
对于：对的位置分类讨论，
对于，分、、三种情况讨论．
本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：因为，且，
所以，解得，
所以，，
则，
所以．
故答案为：．
根据平面向量共线的坐标表示得到方程，求出的值，即可得到、的坐标，再求出，最后根据向量模的坐标表示计算可得．
本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
 13.【答案】 【解析】解：因为，即，所以，
即．
故答案为：．
根据题意，由指对数的相互转化，以及指数运算即可得到结果．
本题主要考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：如图所示，设，，则，
，，
又，，
，，
由勾股定理可得，
，，
该椭圆的离心率为．
故答案为：．
设，则，利用勾股定理可求得，再利用椭圆的定义可得出，求出、，利用勾股定理结合离心率公式可求得结果．
本题考查椭圆的几何性质，勾股定理的应用，方程思想，属中档题．
 15.【答案】 【解析】解：如图，取的中点，的中点，的中点，连接、、、，
根据正方体的性质可得，平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
又，，平面，
所以平面平面，又平面平面，
且平面，平面，
点是侧面上的动点，所以在线段上，
又，所以，，，
所以，则，
所以线段长度的取值范围是．
故答案为：．
取的中点，的中点，的中点，连接、、、，根据正方体的性质得到，即可得到平面，同理可证平面，从而证明平面平面，即可得到在线段上，再求出、，即可求出的取值范围．
本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，运动变化思想，属中档题．
 16.【答案】解：，
则由正弦定理可得，，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
在中，由余弦定理得，
所以，
由圆的内接四边形的性质可知，
在中，由余弦定理得，
即，解得或舍． 【解析】利用正弦定理边化角结合三角恒等变换即可求解；
利用余弦定理分别在和解三角形可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 17.【答案】解：由题意可得：
，又，，
解得，
的通项公式；
由可得：，
若为奇数，可得，则有：
当为奇数时，则；
当为偶数时，则，
综上所述：． 【解析】根据等比数列的通项公式列式运算求解；
根据题意可得：，利用并项求和运算求解．
本题考查等比数列的通项公式，并项求和法，方程思想，分类讨论思想，属中档题．
 18.【答案】解：，，，，
所以线性回归方程为，时，，即年该地区居民家庭人均存款预测为万元；
由知“完美数据”有两个，，
因此可能值是，，，，，，
的分布列为： ． 【解析】根据线性回归方程中系数的计算公式计算系数得回归方程，令代入回归方程可得预测值；
由回归方程确定“完美数据”有两个，得的可能值，计算出概率得分布列，再由期望公式计算期望．
本题主要考查了求线性回归方程，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 19.【答案】证明：平面，平面，，
又，，，所以，
，
，，平面，平面，
又平面，；
解：以点为坐标原点，，所在直线分别为，轴，以过点平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
则，，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，
所以平面的一个法向量，
设平面的法向量，
同理可得平面的一个法向量，
则，
由图易知二面角为锐角，
二面角的余弦值为． 【解析】由线面垂直的性质可得，再利用勾股定理可得，从而可证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
本题主要考查异面直线垂直的证明，空间向量及其应用，空间想象能力的培养，二面角的向量求法等知识，属于中等题．
 20.【答案】解：由题意可得，即，
双曲线的方程为，
设，则，，
又，，
可得，
即有，
所以双曲线的方程为；
由，可得，，，四点共圆，且以为直径，
设，圆心为，则，
圆的方程为，
由于圆经过，，可得，
化为，
即为，
由于，所以，
又．
即为定值． 【解析】由题意可得，由直线的斜率公式和双曲线的方程解方程可得，进而得到所求方程；
首先判断四点，，，共圆，设出，的坐标，求得圆的方程，代入，的坐标，再由三角形的面积公式，计算可得所求定值．
本题考查双曲线的方程和性质，以及圆的方程和运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 21.【答案】解：当时，，当时，，不符合题意；
当时，，又时，，不符合题意；
当时，，令，解得：，令，解得：，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
令，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为，
所以．
证明：由知：时，在上恒成立，即，
所以当时，，即，
又当时，，
所以，
所以要证，
只需证，
即证，
令，则有，
又，
所以，，
所以在上恒成立，即在上单调递减，则，
所以当时，． 【解析】分，和三种情况讨论，当时，求导利用函数的单调性和最值进行求解即可；
结合的结论，将不等式进行等价转化证明，构造函数，对函数求导，利用函数的单调性即可证明．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．