2022年中考专题复习类型一 最优方案问题（原卷版）

类型一最优方案问题

【方法总结】

方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问题．

一、主要题型分类

①经济类方案设计题：

根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较来确定最优方案来解决问题；

②操作类方案设计题：

根据实际问题拼接或分割图形．

以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.

二、解题的一般思路

1、解决经济类方案设计题一般过程是：

①阅读，弄清问题背景和基本要求；

②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；

③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；

④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．

2、解决操作类方案设计题一般过程是：

①阅读，弄清问题背景和基本要求；

②慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；

③标上适当的数据，或附上文字说明．

【典例1】 某市继2019年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．

(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？

(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？

【典例2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.

学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要有 2名老师．

(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？

(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车总数为________辆；

(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．

【典例3】有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

方案一

方案二

方案三

小红发现这三种方案都能验证公式：

a2+2ab+b2=(a+b)2

对于方案一，小明是这样验证的：

a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．

【典例4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图 4-1 所示 .

4-1

(1)请说明图中 ①、② 两段函数图象的实际意义；

(2)写出批发该种水果的资金金额 w(元) 与批发量 n(kg) 之间的函数关系式 ；

在图 4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；

4-2

(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图 4-3 所示. 该经销商拟每日售出 60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 .

4-3

【典例5】某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

【典例6】现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：．兰花；．菊花；．月季；．牵牛花．

（1）求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．

（2）当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？

【典例7】某人定制了一批地砖，每块地砖（如图1(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．

(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；

(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

【典例8】一家电脑公司推出一款新型电脑．投放市场以来前3个月的利润情况如图2所示，该图可以近看作为抛物线的一部分．请结合图象，解答以下问题：

（1）求该抛物线对应的二次函数解析式；

（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？

（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析．

【典例9】暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．

方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；

方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．

设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．

（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；

（2）求打折前的每次健身费用和k2的值；

（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．