2021年人教版高中数学必修第一册专题强化训练(二)《一元二次函数、方程和不等式》(含答案详解)

专题强化训练(二)　一元二次函数、方程和不等式

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．设a<0,0<b<1，则A＝a，B＝ab，C＝a2b的大小关系是(　　)

A．A>B>C　　　 B．A>C>B

C．C>B>A   D．C>A>B

C　[可以用特殊值法：取a＝－1，b＝.

∴A＝－1，B＝－，C＝，∴C>B>A.]

2．若＜＜0，则下列不等式不正确的是(　　)

A．a＋b＜ab   B.＋＞0

C．ab＜b2   D．a2＞b2

D　[由＜＜0，可得b＜a＜0，故选D.]

3．已知x≥，则y＝有(　　)

A．最大值   B．最小值

C．最大值1   D．最小值1

D　[y＝＝＋.

∵x≥，∴x－2>0，∴y≥2＝1.

当且仅当＝，即x＝3时，取等号．]

4．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于(　　)

A．－3　　　　B．1            C．－1　　　　D．3

A　[由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：

a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.]

5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)

A．60件   B．80件

C．100件   D．120件

B　[设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝＋≥2＝20.

当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.]

二、填空题

6．不等式－3x2－x＋10<0的解集为________．

　[－3x2－x＋10<0，－(3x－5)(x＋2)<0⇒x>或x<－2，

此不等式的解集为.]

7．不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．

a＞2　[不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，

即(a＋2)x2＋4x＋a－1>0对一切x∈R恒成立．

若a＋2＝0，显然不成立；

若a＋2≠0，则

⇔

⇔

⇔a>2.]

8．已知三个不等式：①ab>0，②－<－，③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题．

3　[若①、②成立，则ab<ab.

即－bc<－ad.∴bc>ad.即③成立；

若①、③成立，则>，∴>.

∴－<－，即②成立；

若②、③成立，则由②得>，即>0.

由③得bc－ad>0，

则ab>0，即①成立．

故可组成3个正确命题．]

三、解答题

9．解关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0.

[解]　当a＝0时，解集为R；

当a＞0时，Δ＝－12a＜0，∴解集为R；

当a＜0时，Δ＝－12a＞0，方程ax2－2ax＋a＋3＝0的两根分别为，，

∴此时不等式的解集为

.

综上所述，当a≥0时，不等式的解集为R；

a＜0时，不等式的解集为

.

10．已知关于x的不等式x2－3x＋m<0的解集是{x|1<x<n}．

(1)求实数m，n的值；

(2)若正数a，b满足ma＋2nb＝3，求a·b的最大值．

[解]　(1)由题意可知1，n是x2－3x＋m＝0的两根，由根与系数的关系得

解得

(2)把m＝2，n＝2代入ma＋2nb＝3得a＋2b＝.

因为a＋2b≥2，所以≥2，

故a·b≤，当且仅当a＝2b＝，即a＝，b＝时等号成立，所以a·b的最大值为.

[等级过关练]

1．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)

A.　　　　B.　　　　C．5　　　　 D．6

C　[∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得＝1.∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＝＋≥＋×2＝5，(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.]

2．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为(　　)

A．12元   B．16元

C．12元到16元之间   D．10元到14元之间

C　[设销售价定为每件x元，利润为y元，

则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，

依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，

即x2－28x＋192＜0，

解得12＜x＜16，

所以每件销售价应为12元到16元之间．]

3．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________．

9　[＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，当且仅当x2y2＝时“＝”成立．]

4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．

1　[由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2，

∴＝＝.

又x，y，z为正实数，∴＋≥4，即≤1，

当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2.

∴＋－＝＋－

＝－2＋＝－2＋1，

当＝1，即y＝1时，上式有最大值1.]

5．解关于x的不等式<0(a∈R)．

[解]　原不等式等价于：

(x－a)(x－a2)<0.

其对应方程的两根为x1＝a，x2＝a2.

x2－x1＝a2－a＝a(a－1)．

分情况讨论如下：

①若a<0或a>1，即a2>a时，不等式的解集为{x|a<x<a2}．

②若a＝0或a＝1时，原不等式可化为：x2<0或(x－1)2<0.

此时，不等式的解集为∅.

③若0<a<1，即a2<a时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}．

综上所述：当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a<x<a2}；

当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为∅；

当0<a<1时，原不等式的解集为{x|a2<x<a}．