2020-2021学年浙江省苍南县某校高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年浙江省苍南县某校高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知向量a→=4,−2，向量b→=x,5，且a→//b→，那么x等于( )
A.10B.5C.−52D.−10

2. 欧拉公式eiθ=csθ+isinθ（e为自然底数，i为虚数单位）是数学界最著名、最美丽的公式之一，根据欧拉公式，复数e2i在复平面内对应点所在的象限是( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 在△ABC中，若a=7，b=8，csB=−17，则∠A的大小为( )
A.π6B.π4C.π3D.π2

4. 若平面向量a→与b→满足： |a→|=2，|b→|=1，|a→+b→|=7，则a→与b→的夹角为( )
A.30∘B.45∘C.60∘D.120∘

5. 下列命题中正确的是( )
A.复数1+i3的虚部是2i
B.|i1+i|=12
C. 复数z=3−i的共轭复数是z¯=−3+i
D.满足|z−3|=1的复数z在复平面上对应点的轨迹是圆

6. 已知sin4π3+α=−55，则csπ6−α=( )
A.55B.−55C.255D.−255

7. 已知f(x)=|x+1|，x≤0，|lg2x|，x>0，若方程f(x)=a有四个不同的解x1A.[0,12)B.(0,12]C.[0,12]D.[0, 1)

8. 已知锐角三角形△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA+C2=bsinA，c=2，则△ABC面积的取值范围为( )
A.(32, 23)B.(3, 23)C.(32, 3)D.(38, 32)
二、多选题

将函数f(x)=csωx（其中ω>0）的图象向右平移π3个单位，若所得图象与原图象重合，则f(π24)可能等于( )
A.0B.1C.22D.32

已知向量a→=(2,1)，b→=(−3,1)，则( )
A.(a→+b→)⊥a→
B.|a→+2 b→|=5
C.向量a→在向量b→上的投影是22
D.向量a→的单位向量是255,55

在锐角三角形△ABC中，A，B，C是其三内角，则下列一定成立的有( )
A.若a>b，则cs2AcsB
C.sinB>csAD.sinA+sinB<2csC

如图，B是AC的中点，BE→=2OB→，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且OP→=xOA→+yOB→(x,y∈R)，则下列结论正确的为( )

A.当x=0时，y∈[2, 3]
B.当P是线段CE的中点时，x=−12，y=52
C.若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
D.x−y的最大值为−1
三、填空题

已知复数z满足2+iz=m+nim,n∈R，且|z|=1，则m2+n2=________ .

如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸B，C的俯角分别为75∘，30∘，则河流的宽度BC等于________m．


已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)−cs(ωx+φ)，ω>0，0<φ<π为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴的距离为π2，则f(−π8)的值为________．

如图，直角△ABC的斜边BC长为2， ∠C=30∘，且点B，C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方，则OA→⋅BC→的取值范围是________.

四、解答题

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a=10，角B是最小的内角，且3c=4asinB+3bcsA .
(1)求sin B的值；

(2)若△ABC的面积为42，求b的值．

某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t（单位：分钟）满足5≤t≤20，t∈N．经测算，该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足：p(t)=60−(t−10)2,5≤t<10,60,10≤t≤20, 其中t∈N．
(1)求p(5)，并说明p(5)的实际意义；

(2)若该路公交车每分钟的净收益y=6p(t)+24t−10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．

已知函数fx=3sin2x+π6−2sinxcsx .
(1)求函数fx的单调递增区间；

(2)若不等式|fx−m|<1在x∈π4,π2上恒成立，求实数m的取值范围．

已知函数fx=|x−a|+|x2−b2|，其中a，b， x∈R．
(1)若y=fx是偶函数，求实数a的值；

(2)当a=b=1时，求函数y=fx的单调区间；

(3)若对任意x∈0,1，都有fx≤a+b2恒成立，求实数a+b2的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年浙江省苍南县某校高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若a→//b→，则−2x=4×5，
则x=−10.
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
任意角的三角函数
欧拉公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知： e2i=cs2+isin2，
而π2<2<π，
∴ cs2<0，sin2>0，故e2i对应点在第二象限．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：csB=−17，B∈π2,π，
故sinB=1−cs2B=437，
根据正弦定理： asinA=bsinB，
故sinA=7×4378=32，A∈0,π2，
故A=π3．
故选C ．
4.
【答案】
C
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：|a→+b→|=a→+b→2
=a→2+b→2+2a→⋅b→
=|a→|2+|b→|2+2|a→|⋅|b|→csθ
=4+1+4csθ=7，
解得csθ=12 ，则θ=60∘．
故选C．
5.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的模
共轭复数
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A，复数1+i3=1+2i−11+i=−2+2i，虚部是2，故错误；
对于B，|i1+i|=|i1−i2|=|1+i2|=122+122=22，故错误；
对于C，复数z=3−i的共轭复数是z¯=3+i，故错误；
对于D，正确 .
故选D .
6.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：sin4π3+α=sinπ+π3+α=−sinπ3+α=−55，
所以sinπ3+α=55，
故csπ6−α=csπ2−π3+α=sinπ3+α=55.
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：已知函数图象如下，
方程f(x)=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，
且x1所以x3x4=1，
所以(x1+x2)+1x3+1x4=−2+x3+x4x3x4=−2+x3+x4，
设lg2x3=−a，lg2x4=a，
所以x3+x4=2−a+2a.
因为0所以1<2a≤2，
所以2<2−a+2a≤52，
所以0<−2+x3+x4≤12.
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sinB2=12，即可求解B的值，由题设及三角形的面积公式，正弦定理得a=c⋅sinAsinC=2sin(2π3−C)sinC=3tanC+1，可求范围30∘【解答】
解：∵ asinA+C2=bsinA，
∴ asin(π−B2)=acsB2=bsinA，
∴ 由正弦定理可得：sinAcsB2=sinBsinA.
∵ sinA>0，
∴ 可得：csB2=sinB=2sinB2csB2.
∵ B为锐角，B2也为锐角，
∴ 可得sinB2=12，
可得B2=π6，可得B=π3.
∵ c=2，
又由题设知△ABC的面积S△ABC=12acsinB=32a，
由正弦定理得a=c⋅sinAsinC=2sin(2π3−C)sinC=3tanC+1．
∵ △ABC为锐角三角形，
∴ 0∘∴A+C=180∘−B=120∘，
∴ 30∘∴ tanC∈(33, +∞)，
∴ 1∴ 32∴ △ABC面积的取值范围是(32, 23)．
故选A.
二、多选题
【答案】
A,B,C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
函数图象平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，可求ω=6k(k∈N*)，利用特殊角的三角函数值即可得解．
【解答】
解：由题意π3=2πω⋅k(k∈N*)，
所以ω=6k(k∈N*)，
因此f(x)=cs6kx，
从而f(π24)=cskπ4，
可知f(π24)可能等于0，1，22．
故选ABC．
【答案】
A,B,D
【考点】
向量的加法及其几何意义
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
向量的投影
单位向量
【解析】
对于A，利用向量垂直的条件判断；对于B，利用模的计算公式；对于C，利用投影的计算公式；对于D，直接求单位向量即可．
【解答】
解：A，∵ a→+b→=(−1,2)，
∴ (a→+b→)⋅a→=(−1)×2+2×1=0，
∴ (a→+b→)⊥a→，故选项A正确；
B，∵ a→+2b→=(2,1)+2(−3,1)=(−4,3)，
∴ |a→+2b→|=−42+32=5 ，故选项B正确；
C，向量a→在向量b→上的投影为
a→⋅b→|b→|=2×(−3)+1×1(−3)2+12=−102 ，故选项C错误；
D，向量a→的单位向量是255,55，故选项D正确．
故选ABD．
【答案】
A,B,C
【考点】
诱导公式
二倍角的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若a>b⇔sinA>sinB，则sin2A>sin2B，
则1−2sin2A<1−2sin2B，即cs2A因为△ABC是锐角三角形，
所以A+B>90∘⇒sinA>sin90∘−B=csB，所以B正确，同理C正确；
由于sinA>csC，sinB>csC⇒sinA+sinB>2csC，所以D错误．
故选ABC.
【答案】
B,C,D
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
利用向量共线的充要条件判断出①错，③对；利用向量的运算法则求出OP→，求出x，y判断出②对．
【解答】
解：对于A，当OP→=yOB→，据共线向量的充要条件得到P在线段BE上，故1≤y≤3，故A错误；
对于B，当P是线段CE的中点时，
OP→=OE→+EP→=3OB→+12(EB→+BC→)
=3OB→+12(−2OB→+AB→)=−12OA→+52OB→，故B正确；
对于C，x+y为定值1时，A，B，P三点共线，
又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，故C正确；
对于D，如图，过P作PM//AO，交OE于M，作PN//OE，交AO的延长线于N，
则：OP→=ON→+OM→，
又OP→=xOA→+yOB→，x≤0，y≥1，
由图形看出，当P与B重合时：OP→=0⋅OA→+1⋅OB→，
此时x取最大值0，y取最小值1，
所以x−y取最大值−1，故D正确.
故选BCD.
三、填空题
【答案】
m2+n2=5
【考点】
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：z=m+ni2+i=2m+n5+2n−m5i，
则|z|=152m+n2+2n−m2
=155m2+5n2=1，
解得m2+n2=5 .
故答案为：m2+n2=5.
【答案】
120(3−1)
【考点】
正弦定理
解三角形的实际应用
【解析】
根据条件由正弦定理可得BC=ACsin∠BACsin∠ABC，代入数值求解即可．
【解答】
解：由∠ACB=30∘得AC=120．
在△ABC中，
∠BAC=75∘−30∘=45∘，∠ABC=105∘，
由正弦定理得BC=ACsin∠BACsin∠ABC=120sin45∘sin105∘
=120×22×42+6=120(3−1)，
∴ 河流的宽度BC等于120(3−1)m．
故答案为：120(3−1).
【答案】
2
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
函数的求值
【解析】
由题意利用两角和差的正弦公式、诱导公式，求出φ的值，利用正弦函数的图象和性质求得ω的值，可得函数的解析式，从而求得f(−π8)的值．
【解答】
解：∵ 函数f(x)=3sin(ωx+φ)−cs(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π6)
(ω>0, 0<φ<π)为偶函数，
∴ φ−π6=kπ+π2，k∈Z，令k=0，可得φ=2π3．
根据其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，
可得12⋅2πω=π2，
∴ ω=2，
则f(x)=2sin(2x+π2)=2cs2x，
∴ f(−π8)=2⋅22=2，
故答案为：2.
【答案】
(−3,1)
【考点】
平面向量数量积的运算
三角函数的恒等变换及化简求值
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意∠BCA=30∘，|BC|=2，∠A=90∘，
所以|AC|=3，|AB|=1.
设∠OCB=α，
则∠ABO的补角即AB与x轴正半轴的夹角∠ABx=α+30∘,0<α<90∘，
则A3sinα+30∘,sinα+30∘，B2sinα,0，C0,2csα，
BC→=−2sinα,2csα，
OA→⋅BC→=−23sinαsinα+30∘+2csαsinα+30∘
=−23sinα32sinα+12csα+2csα32sinα+12csα
=−3sin2α−3sinαcsα+3csαsinα+cs2α
=−3sin2α+cs2α=1−4sin2α，
由于0<α<90∘，
所以0所以−3<1−4sin2α<1，即OA→⋅BC→∈(−3,1) .
故答案为：(−3,1).
四、解答题
【答案】
解：(1)由3c=4asinB+3bcsA，A+B+C=π，及正弦定理可得：
3sinA+B=4sinAsinB+3sinBcsA，
由于sinA>0，整理可得：3csB=4sinB，
又sinB>0，
因此得，sinB=35 .
(2)由(1)知sinB=35，又△ABC的面积为42，且a=10，
从而有12×35×10c=42，解得c=14.
又角B是最小的内角，
所以0由余弦定理得b2=142+102−2×14×10×45=72，
即b=62 .
【考点】
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正弦公式
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由3c=4asinB+3bcsA，A+B+C=π，及正弦定理可得：
3sinA+B=4sinAsinB+3sinBcsA，
由于sinA>0，整理可得：3csB=4sinB，
又sinB>0，
因此得，sinB=35 .
(2)由(1)知sinB=35，又△ABC的面积为42，且a=10，
从而有12×35×10c=42，解得c=14.
又角B是最小的内角，
所以0由余弦定理得b2=142+102−2×14×10×45=72，
即b=62 .
【答案】
解：(1)p(5)=60−(5−10)2=35，
实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35.
(2)∵ y=6p(t)+24t−10，
∴ 当5≤t<10时，y=360−6(t−10)2+24t−10，
即y=−6t2+120t−216t−10=110−(6t+216t)，
∵ 6t+216t≥26t×216t=72，当且仅当6t=216t，即t=6时等号成立，
所以，当t=6时，y取得最大值38，
当10≤t≤20时，y=6×60+24t−10=384t−10，
则当t=10时，y取得最大值28.4，
综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．
【考点】
函数的求值
函数的最值及其几何意义
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
（1）把t＝5代入分段函数P(t)的解析式即可；
（2）先求出y关于t的函数解析式，再利用基本不等式即可求出结果．
【解答】
解：(1)p(5)=60−(5−10)2=35，
实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35.
(2)∵ y=6p(t)+24t−10，
∴ 当5≤t<10时，y=360−6(t−10)2+24t−10，
即y=−6t2+120t−216t−10=110−(6t+216t)，
∵ 6t+216t≥26t×216t=72，当且仅当6t=216t，即t=6时等号成立，
所以，当t=6时，y取得最大值38，
当10≤t≤20时，y=6×60+24t−10=384t−10，
则当t=10时，y取得最大值28.4，
综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．
【答案】
解：(1)由题意，函数fx=3sin2x+π6−2sinxcsx
=3sin2xcsπ6+cs2xsinπ6−sin2x
=12sin2x+32cs2x
=sin2x+π3，
由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，
即函数fx的单调增区间为−5π12+kπ,π12+kπk∈Z .
(2)因为不等式|fx−m|<1在x∈π4,π2上恒成立，
所以不等式−1+m又由π4≤x≤π2，
所以5π6≤2x+π3≤4π3，
所以−32≤sin2x+π3≤12，
则 m−1<−32,1+m>12, 解得−12所以实数m的取值范围是−12,1−32 .
【考点】
正弦函数的单调性
两角和与差的正弦公式
正弦函数的定义域和值域
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，函数fx=3sin2x+π6−2sinxcsx
=3sin2xcsπ6+cs2xsinπ6−sin2x
=12sin2x+32cs2x
=sin2x+π3，
由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，
即函数fx的单调增区间为−5π12+kπ,π12+kπk∈Z .
(2)因为不等式|fx−m|<1在x∈π4,π2上恒成立，
所以不等式−1+m又由π4≤x≤π2，
所以5π6≤2x+π3≤4π3，
所以−32≤sin2x+π3≤12，
则 m−1<−32,1+m>12, 解得−12所以实数m的取值范围是−12,1−32 .
【答案】
解：(1)y=f(x)是偶函数，故f(−x)=f(x)，
即|−x−a|+|(−x)2−b2|=|x−a|+|x2−b2|，
即|x+a|=|x−a|，解得：a=0．
(2)当a=b=1时，
则y=f(x)=|x−1|+|x2−1|=x2+x−2,x≥1,−x2−x+2,−1结合图象，
易知y=f(x)的单调递增区间为[−1,−12]，[1,+∞)，
y=f(x)的单调递减区间为(−∞,−1]，[−12,1]．
(3)∵ 对任意x∈0,1，都有fx≤a+b2恒成立，
即对任意x∈0,1，都有fx=|x−a|+|x2−b2|≤a+b2恒成立，
∴ f0≤a+b2⇒|a|≤a⇒a≥0，
且对任意实数a，b， f1=|1−a|+|1−b2|≤a+b2恒成立，
①当b2>1,a≥0时，f1=|1−a|+|1−b2|
=|1−a|+b2−1≤|a|+1+b2−1=a+b2恒成立；
②当b2≤1,a>1时，f1=|1−a|+|1−b2|
=a−1+1−b2≤a+b2恒成立；
③当b2≤1，0≤a≤1时，由f1=|1−a|+|1−b2|
=1−a+1−b2≤a+b2恒成立，则a+b2≥1；
④当a=b2=12时，对一切x∈0,1时，fx≤1恒成立，
当a=b2=12时，fx=|x−12|+|x2−12|，x∈0,1，
∴ 0≤x2+x≤2，
∴ fx=|x−12|+|x2−12|≤|x2+x−1|≤1，
综上所述，a+b2的最小值为1.
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的单调性及单调区间
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)y=f(x)是偶函数，故f(−x)=f(x)，
即|−x−a|+|(−x)2−b2|=|x−a|+|x2−b2|，
即|x+a|=|x−a|，解得：a=0．
(2)当a=b=1时，
则y=f(x)=|x−1|+|x2−1|=x2+x−2,x≥1,−x2−x+2,−1结合图象，
易知y=f(x)的单调递增区间为[−1,−12]，[1,+∞)，
y=f(x)的单调递减区间为(−∞,−1]，[−12,1]．
(3)∵ 对任意x∈0,1，都有fx≤a+b2恒成立，
即对任意x∈0,1，都有fx=|x−a|+|x2−b2|≤a+b2恒成立，
∴ f0≤a+b2⇒|a|≤a⇒a≥0，
且对任意实数a，b， f1=|1−a|+|1−b2|≤a+b2恒成立，
①当b2>1,a≥0时，f1=|1−a|+|1−b2|
=|1−a|+b2−1≤|a|+1+b2−1=a+b2恒成立；
②当b2≤1,a>1时，f1=|1−a|+|1−b2|
=a−1+1−b2≤a+b2恒成立；
③当b2≤1，0≤a≤1时，由f1=|1−a|+|1−b2|
=1−a+1−b2≤a+b2恒成立，则a+b2≥1；
④当a=b2=12时，对一切x∈0,1时，fx≤1恒成立，
当a=b2=12时，fx=|x−12|+|x2−12|，x∈0,1，
∴ 0≤x2+x≤2，
∴ fx=|x−12|+|x2−12|≤|x2+x−1|≤1，
综上所述，a+b2的最小值为1.